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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31892" 【典型例題】 PAGEREF _Tc31892 \h 1
\l "_Tc22888" 【類型一 有切點，連半徑，證垂直】 PAGEREF _Tc22888 \h 1
\l "_Tc26962" 【類型二 無切點，作垂直，證半徑】 PAGEREF _Tc26962 \h 13
【典型例題】
【類型一 有切點，連半徑，證垂直】
例題：（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，C，D都是上的點，平分，過點D作的垂線交的延長線于點E，交的延長線于點F．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)2
【分析】（1）如圖1，連接，由平分，可得，由，可得，，則，，進而結(jié)論得證；
（2）如圖2，連接，交于H，由是的直徑，可得，由勾股定理得，，由，可得，，即，，是的中位線，則，，證明四邊形是矩形，則．
【詳解】（1）證明：如圖1，連接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：如圖2，連接，交于H，
∵是的直徑，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵
∴是的中位線，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴．
【點睛】本題考查了切線的判定，角平分線，等邊對等角，垂徑定理，平行線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，中位線，勾股定理，直徑所對的圓周角為直角等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
【變式訓練】
1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，是的直徑，半徑為2，交于點D，且D是的中點，于點E，連接．

(1)求證：是的切線．
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，利用三角形的中位線定理和平行線的性質(zhì)得到，利用圓的切線的判定定理解答即可；
（2）利用線段 垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)求，利用勾股定理求得，則．
【詳解】（1）證明：連接，如圖，

∵D是的中點，
∴，
∵，
∴為的中位線，
∴，
∵，
∴，
∵為的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵是的直徑，
∴，
∵D是的中點，
∴為的垂直平分線，
∴，
∴，
∵是的直徑，半徑為2，
∴．
在中，．
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，三角形的中位線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，圓的切線的判定定理，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，連接經(jīng)過切點的半徑是解決此類問題常添加的輔助線．
2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，以為直徑的與交于點D，與邊交于點E，過點D作的垂線，垂足為F．
(1)求證：為的切線；
(2)若，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，根據(jù)是的直徑，可得，再由三角形中位線定理可得，從而得到，即可求證；
（2）連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而得到，進而得到，繼而得到的長，即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
∵是的直徑，
∴，
∵，
∴點D是的中點，
∵點O是的中點，
∴是的中位線，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴為的半徑；
（2）解：連接，
∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半徑是．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點，交于點，連接，作，交的延長線于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)15
【分析】（1）連接，根據(jù)平分，，，證明即可；
（2）設(shè)的半徑為，則有，在中，，根據(jù)勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）解：連接，

是的直徑，
，即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線．
（2）設(shè)的半徑為，
則有，
∵是的切線．
∴，
在中，，
，
解得，
的半徑為．
【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·山西朔州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，，的平分線交于點E，過點E作的垂線交于點F，是的外接圓．
(1)求證：是的切線；
(2)過點E作于點H，若，求的半徑．
【答案】(1)見解析；
(2)5；
【分析】（1）連接，由于是角平分線，則有再證得，根據(jù)平行線的性質(zhì)和切線的判定即可解答；
（2）先證明，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可；
【詳解】（1）證明：連接
∵平分
∴
又
∴
∴
∴，
又，即
∴
∴是的切線
（2）∵平分
設(shè)
解得：
故的半徑為5
【點睛】本題主要考查了切線的證明、角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)勾股定理，掌握切線的證明、角平分線的性質(zhì)定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解題關(guān)鍵．
5．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，在中，，點在邊上，平分，交于，是的外接圓．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的半徑長．
【答案】(1)詳見解析
(2)3
【分析】（1）連接，由于是角平分線，則有；而，就有，等量代換有，那么利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可得；又，所以，即是的切線；
（2）利用勾股定理即可求出半徑．
【詳解】（1）證明：連接．
平分，
．
又，
，
，
，
．
又點在上，
是的切線．
（2）解：設(shè)的半徑為，
，
，
即，
解得，
的半徑為3．
【點睛】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理．
6．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖，以線段為直徑作，交射線于點，平分交于點，過點作直線于點，交的延長線于點．連接并延長交于點M．
(1)求證：直線是的切線；
(2)求證：；
(3)若，，求的長．
【答案】(1)詳見解析
(2)詳見解析
(3)2
【分析】（1）連接，由證明，得，即可證明直線是的切線；
（2）由線段是的直徑證明，再根據(jù)等角的余角相等證明，則；
（3）由，證明，則是等邊三角形，所以，則，所以，再證明，得．
【詳解】（1）證明：連接，則，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半徑，且，
直線是的切線．
（2）證明：線段是的直徑，
，
，
，，
，
，
．
（3）解：，，
，
是等邊三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【點睛】此題重點考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
【類型二 無切點，作垂直，證半徑】
例題：（2022春·廣東廣州·九年級廣州市第八十九中學?？奸_學考試）如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作，求證：是的切線．

【答案】證明過程見解析；
【分析】題目并沒有說明直線與有沒有交點，所以過點作于點，然后證明即可．
【詳解】證明：如圖：過點作于點，

是的角平分線，，，
，
是的切線．
【點睛】本題考查圓的切線的判定知識．結(jié)合角平分線的性質(zhì)，正確構(gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練】
1．（2023秋·廣東河源·九年級?？计谀┤鐖D，為的角平分線上的一點， 于點，以為圓心為半徑作，求證：與相切．
【答案】見解析
【分析】過點作于，根據(jù)證明，推出，即可證明與相切．
【詳解】證明：如圖，過點作于，
平分，
，
又，，
，
在與中，
，
，
，
點D在上，
又，
與相切于點．
【點睛】本題考查切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定方法．
2．（2022秋·福建福州·九年級?？茧A段練習）如圖中，，平分交于點，以點為圓心，為半徑作交于點．
(1)求證：與相切；
(2)若，，試求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）過作于，利用角平分線的性質(zhì)定理可得即可證明：與相切；
（2）在Rt中，由勾股定理可求出的長，設(shè)圓的半徑為，利用切線長定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，進而求出的長．
【詳解】（1）證明：過作于，
，
，
平分交于點，
，
與相切；
（2）解：設(shè)圓的半徑為，
，，，
，
，是圓的切線，
，
，
，
，
在Rt中，，
解得：，
．
【點睛】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、切線長定理以及勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程．
3．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰直角三角形，，點O為的中點，連接交于點E， 與相切于點D．
(1)求證：是的切線；
(2)延長交于點G，連接交于點F，若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）連接，過點O作于點P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，的長，勾股定理求出，連接，過O作于點H，利用面積法求出，勾股定理求出，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長．
【詳解】（1）證明：連接，過點O作于點P，
∵與相切于點D．
∴，
∵是等腰直角三角形，，點O為的中點，
∴，
∴，即是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，，，
∴，，
∵點O為的中點，
∴，
∵
∴，
在中，
連接，過O作于點H，
∴，
∴
∵，
∴．

【點睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，是的直徑，，分別切于點，，交，于點，，平分．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）過點作于點，根據(jù)切線的性質(zhì)由切于點可得，再根據(jù)角平分線定理得到，然后根據(jù)切線的判定定理得到是的切線；
（2）過作于，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，則得到四邊形為矩形，得到，所以，再利用切線長定理得，，所以，在中，利用勾股定理計算出，則，所以，然后中，利用勾股定理可計算出．
【詳解】（1）證明：如圖，過點作于點，
，
切于點，
，
平分，
，
為的半徑，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：如圖，過作于，
，
是的直徑，，分別切于點，，
，，
四邊形為矩形，
，
，
，，為的切線，
，
，
在中，，
，
，
在中，．
【點睛】本題主要考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，也考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理．
5．（2023春·湖南長沙·九年級長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？茧A段練習）如圖，點為正方形對角線上一點，以為圓心，的長為半徑的與相切于點．
(1)求證：與相切；
(2)若的半徑為，求正方形的邊長．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）過O作于H， 由正方形，可得， 證明，再證明從而可得結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理求出，從而可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理即可得答案．
【詳解】（1）解：如下圖，過O作于H，
正方形，
，
是⊙O的切線，
，
，
為的半徑，
為的半徑，
與相切；
（2）的半徑為，
，
由（1）可知， ，
，
，
四邊形是正方形，
，
則在中，
，即，
，
解得：，
故正方形的邊長為．
【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，圓的切線的判定，勾股定理的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

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