目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16065" 【典型例題】 PAGEREF _Tc16065 \h 1
\l "_Tc31786" 【考點(diǎn)一 利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】 PAGEREF _Tc31786 \h 1
\l "_Tc16562" 【考點(diǎn)二 利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】 PAGEREF _Tc16562 \h 3
\l "_Tc10568" 【考點(diǎn)三 利用垂徑定理求值】 PAGEREF _Tc10568 \h 5
\l "_Tc1959" 【考點(diǎn)四 利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】 PAGEREF _Tc1959 \h 8
\l "_Tc13329" 【考點(diǎn)五 垂徑定理的推論】 PAGEREF _Tc13329 \h 11
\l "_Tc26736" 【考點(diǎn)六 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc26736 \h 13
\l "_Tc11757" 【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 PAGEREF _Tc11757 \h 15
【典型例題】
【考點(diǎn)一 利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解】
例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（ ）

A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則的度數(shù)為（ ）

A．B．C．D．
2．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列說(shuō)法：
①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；
②平分弦的直徑垂直于弦；
③過(guò)直線上兩點(diǎn)和直線外一點(diǎn)，可以確定一個(gè)圓；
④圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，直徑是它的對(duì)稱(chēng)軸．
其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【考點(diǎn)二 利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證】
例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知 的半徑 ，， 在 上， 于點(diǎn) ， 于點(diǎn) ，且 ，求證：．

【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·廣東惠州·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．
2．（2023秋·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，C是弧AB中點(diǎn)．求證：∠A＝∠B．
【考點(diǎn)三 利用垂徑定理求值】
例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長(zhǎng)為 ．

【變式訓(xùn)練】
1．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的半徑為，弦的長(zhǎng)為，則圓心到的距離為 ．
2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長(zhǎng)為 寸．

【考點(diǎn)四 利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】
例題：（2023秋·天津和平·九年級(jí)?？计谀┌霃綖?，弦，，，則與間的距離為（ ）
A．1B．7C．1或7D．3或4
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是 ．
2．（2023春·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．
【考點(diǎn)五 垂徑定理的推論】
例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測(cè)得其同一水平線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為 米．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起 厘米．
2．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是 寸．
【考點(diǎn)六 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】
例題：（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）
A．B． C． D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（ ）
①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦
②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧
③垂直于弦的直線必過(guò)圓心
④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧
A．②③B．①③C．②④D．①④
2．（2023·四川攀枝花·校聯(lián)考二模）下列說(shuō)法中正確的說(shuō)法有（ ）個(gè)
①對(duì)角線相等的四邊形是矩形
②在同圓或等圓中，同一條弦所對(duì)的圓周角相等
③相等的圓心角所對(duì)的弧相等
④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧
⑤到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)
A．1B．2C．3D．4
【過(guò)關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關(guān)于圓的說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．過(guò)三點(diǎn)可以作一個(gè)圓B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦D．圓的直徑所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸
2．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知弦AB把圓周分成兩部分，則弦AB所對(duì)圓心角的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
3．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，線段是的直徑，于點(diǎn)E，若長(zhǎng)為16，長(zhǎng)為6，則半徑是（ ）
A．5B．6C．8D．10
4．（2023秋·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦垂直于點(diǎn)，連接，，，，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）一次綜合實(shí)踐的主題為：只用一張矩形紙條和刻度尺，如何測(cè)量一次性紙杯杯口的直徑？小聰同學(xué)所在的學(xué)習(xí)小組想到了如下方法：如圖，將紙條拉直緊貼杯口上，紙條的上下邊沿分別與杯口相交于，，，四點(diǎn)，利用刻度尺量得該紙條寬為，，．請(qǐng)你幫忙計(jì)算紙杯的直徑為（ ）

A．B．C．D．
二、填空題
6．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）為的直徑，弦于，且，，則 ．
7．（2023春·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是 ．
-
8．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）半徑為的內(nèi)有一點(diǎn)，且，則過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)是 ，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)是 ．
9．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考二模）已知半徑為5的圓O中有一條長(zhǎng)度為8的弦，分別以A，B為圓心，長(zhǎng)度大于4為半徑作圓弧交于點(diǎn)M，N，連接，點(diǎn)C為直線與圓O的交點(diǎn)，點(diǎn)D為直線與弦的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為 ．
10．（2023·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）圖1是小文家的木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點(diǎn)是所在圓的圓心，，點(diǎn)，點(diǎn)離地高度均為，水平距離．則 ．當(dāng)半徑轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，木馬就有翻倒的風(fēng)險(xiǎn)，為安全起見(jiàn)，點(diǎn)離地高度應(yīng)小于 ．
三、解答題
11．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，是的直徑，，，求的度數(shù)．

12．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，交于點(diǎn)，，是半徑，且于點(diǎn)F．
(1)求證：．
(2)若，，求的半徑．
13．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，．
(1)求的半徑長(zhǎng)；
(2)連接，作于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)．
14．（2023·河北衡水·?？寄M預(yù)測(cè)）圖1是某種型號(hào)圓形車(chē)載手機(jī)支架，由圓形鋼軌、滑動(dòng)桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動(dòng)桿的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動(dòng)，支撐桿的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動(dòng)桿的中點(diǎn)，（即當(dāng)支架水平放置時(shí)直線平行于水平線，支撐桿垂直于水平線），通過(guò)滑動(dòng)A、B可以調(diào)節(jié)的高度．當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，它的寬度達(dá)到最大值，在支架水平放置的狀態(tài)下：
(1)當(dāng)滑動(dòng)桿的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時(shí)，求此時(shí)支撐桿的高度．
(2)如圖3，當(dāng)某手機(jī)被支架鎖住時(shí)，鎖住高度與手機(jī)寬度恰好相等（），求該手機(jī)的寬度．
15．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖1，是的弦，點(diǎn)C在外，連接、分別交于D、E，
(1)求證：．
(2)如圖2，過(guò)圓心O作，交于P、Q兩點(diǎn)，交、于M、N兩點(diǎn)，求證：．
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接、，，若，，求弦的長(zhǎng)．

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