人教版數(shù)學(xué)九上期末復(fù)習(xí)講練專項(xiàng)09 二次函數(shù)的字母系數(shù)的相關(guān)問(wèn)題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.二次函數(shù)中a、b、c及b2-4ac的符號(hào)之間的關(guān)系
根據(jù)二次函數(shù)圖像判斷a，b，c的關(guān)系式與0的關(guān)系
【考點(diǎn)1 對(duì)稱軸】
【典例1】如圖，二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) （1，0），（4，0），下列說(shuō)法正確的是（）
A．B．
C．圖象的對(duì)稱軸是直線 D．圖象的對(duì)稱軸是直線
【答案】D
【解答】解：二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) （1，0），（4，0），
＞故不符合題意，
當(dāng) 時(shí)，
由函數(shù)圖像可得：在第三象限，
所以＜故不符合題意，
二次函數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) （1，0），（4，0），
圖象的對(duì)稱軸是直線故不符合題意，符合題意，
故答案為：D
【變式1-1】二次函數(shù) 的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是，下列結(jié)論正確的是（）．
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴ ，
∴ ，
故A不符合題意；
∵ ，
∴ ，
故B不符合題意；
∵ 時(shí)，
y=a-b+c ，
∴2a-2b+2c ，
∵ ，
∴ ，
∴-b-2b+2c ，
∴3b-2c ，
故C不符合題意；
∵ 時(shí)，
y=a-b+c ，
∵ ，
∴ ，
∴3a+c ，
故D符合題意；
故答案為：D．
【變式1-2】若與在拋物線的圖象上，則其對(duì)稱軸是（）
A． B． C．D．
【答案】C
【解答】解：∵A（m，6）與B（4-m，6）在拋物線的圖象上，
∴A（m，6），B（4-m，6）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
即對(duì)稱軸過(guò)A（m，6），B（4-m，6）的中點(diǎn)，
，
故答案為：C．
【考點(diǎn)2 a、b、c及b2-4ac對(duì)圖像的影響】
【典例2】拋物線y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b＋c＝0；④8a﹣2b＋c＞0；⑤若點(diǎn)（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在拋物線上，則y1＞y2，其中正確的有（）
A．②③④B．①②③C．②④⑤D．②③
【答案】A
【解答】解：∵圖象開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵圖象與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0，①不符合題意．
由圖象可知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，②符合題意，
由圖象可知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣3，0），
當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y＝0，
∴9a﹣3b+c＝0，③符合題意，
8a﹣2b＋c中：a＞0、b＝2a＞0；c＜0
由（1,0）在拋物線上，可得a+b+c=0 c=-a-b
所以8a﹣2b＋c=a＞0，④復(fù)合題
∵|﹣2﹣（﹣1）|＝1，|﹣0.5﹣（﹣1）|＝0.5，
∵1＞0.5，
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)的函數(shù)值大于x＝﹣0.5時(shí)的函數(shù)值，
∴y1＜y2，⑤不符合題意，
∴正確的有②③④，
故答案為：A．
【變式2-1】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④當(dāng)y＞0時(shí)，﹣1＜x＜3；⑤b＜c.其中正確的個(gè)數(shù)是（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，所以②正確；
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，0），
∴x＝﹣2時(shí)，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，所以③錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸的2個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），（3，0），
∴﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0，所以④正確；
∵x＝﹣1時(shí)，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴c＝﹣3a，
∴b﹣c＝﹣2a+3a＝a＜0，
即b＜c，所以⑤正確.
故答案為：B.
【變式2-2】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，有以下結(jié)論：①該拋物線的最大值為a-b+c；②a+b+c>0；③b2-4ac>0；④2a+b=0，其中正確的有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x=-1，y有最大值，最大值y=a-b+c，故①正確；
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴B（2，0），
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c＞0，故②正確；
∵ 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴ b2-4ac>0，故③正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∴-=-1，
∴2a-b=0，故④錯(cuò)誤，
∴正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故答案為：C
【變式2-3】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列結(jié)論：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③abc＞0；④b2+8a＞4ac．其中正確的是（）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：如圖：
∵x＝-2時(shí)，y＜0，
∴4a－2b＋c＜0，所以①符合題意；
∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴-2＜x1+x2＜0
∴﹣1＜＜0，
∵對(duì)稱軸x=，
∴，
∴2a－b＜0，故②符合題意；
∵，，
∴，
∵拋物線與y軸交于正半軸，
∴，
∴，故③符合題意；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，2），對(duì)稱軸在-1和0之間，
∴頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于2，
∴，
∵a＜0，
∴b2＋8a＞4ac，所以④符合題意．
∴正確的選項(xiàng)有4個(gè)；
故答案為：D．
【變式2-4】如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：
①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＞0；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根分別為3和1；④若點(diǎn)（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)）．
其中正確的結(jié)論有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】A
【解答】解：①∵二次函數(shù)圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴當(dāng)x=1時(shí)，，
故結(jié)論①符合題意；
②根據(jù)函數(shù)圖像可知，
當(dāng)，即，
對(duì)稱軸為，即，
根據(jù)拋物線開(kāi)口向上，得，
∴，
∴，
即，
故結(jié)論②不符合題意；
③根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，
對(duì)稱軸為可知：拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為(-3，0)，
∴關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為-3和1，
故結(jié)論③不符合題意；
④根據(jù)函數(shù)圖像可知：，
故結(jié)論④不符合題意；
⑤當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
故結(jié)論⑤不符合題意，
綜上：①符合題意，
故答案為：A．
【變式2-5】如圖，已知拋物線（a，b，c為常數(shù)，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線，有下列結(jié)論：
①；②；③；④無(wú)論a，b，c取何值，拋物線一定經(jīng)過(guò)；⑤．其中正確結(jié)論有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【解答】①圖像開(kāi)口朝下，故，根據(jù)對(duì)稱軸可知，
圖像與y軸交點(diǎn)位于x軸上方，可知c>0
故①不符合題意；
②得
故②不符合題意；
③經(jīng)過(guò)
又由①得c>0
故③不符合題意；
④根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，得到與時(shí)的函數(shù)值相等
當(dāng)時(shí)，即
即
經(jīng)過(guò)，即經(jīng)過(guò)
故④符合題意；
⑤當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
函數(shù)有最大值
化簡(jiǎn)得，
故⑤符合題意．
綜上所述：④⑤符合題意．
故答案為：B．
1．（2021秋?密山市校級(jí)期末）拋物線y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①abc＜0；②b2＜4ac；③b+2a＝0；④3a+c＝0；其中正確的是（）
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴b+2a＝0，③正確．
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正確．
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
∴②錯(cuò)誤．
∵x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0，b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，④正確．
故選：A．
2．（2021秋?瀘西縣期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸是x＝1，下列結(jié)論：①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中正確的是（）
A．①③④B．①②③C．①③D．②③
【答案】C
【解答】解：由拋物線的開(kāi)口向上，得到a＞0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
由拋物線與y軸交于負(fù)半軸，得到c＜0，
∴abc＞0，選項(xiàng)①正確；
∵對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，選項(xiàng)②錯(cuò)誤；
根據(jù)圖象知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＞0，
即a﹣b+c＞0．選項(xiàng)③正確；
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴x＝3與x＝﹣1時(shí)函數(shù)值相等，
又∵x＝﹣1時(shí)，y＞0，
∴x＝3時(shí)，y＝9a+3b+c＞0，選項(xiàng)④錯(cuò)誤．
則其中正確的選項(xiàng)有①③．
故選：C．
3．（2021秋?仁壽縣期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線x＝1，有下列結(jié)論：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y隨x的增大而增大．其中正確的有（）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】C
【解答】解：①由x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c，由圖象知：y＝4a+2b+c＞0，故錯(cuò)誤；
②拋物線過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵﹣＝1，a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴a+c＝b＞0，故正確；
③∵拋物線交y軸的正半軸，
∴c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝c＞0，故正確；
④拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x＝1，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，故錯(cuò)誤；
故正確的共有2個(gè)，
故選：C．
4．（2021秋?沈北新區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤是（）
A．a(chǎn)﹣b+c＞0B．a(chǎn)bc＞0C．4a﹣2b+c＜0D．2a﹣b＝0
【答案】C
【解答】解：由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞1，故A項(xiàng)正確，不符合題意；
∵拋物線開(kāi)口向下，﹣＝﹣1，與y軸的交點(diǎn)為（0，1），
∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0，
∴2a﹣b＝0，abc＞0，故B、D項(xiàng)正確，不符合題意；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在原點(diǎn)和點(diǎn)（1，0）之間，
∴另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣2，0）與（﹣3，0）之間，
∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝4a﹣2b+c＞0，故C項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意，
故選：C．
5．（2022?深圳模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對(duì)稱軸為x＝﹣1，有下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b＜﹣c；③4a﹣2b+c＞0；④3b+2c＜0；⑤a﹣b＜m（am+b）（其中m為任意實(shí)數(shù)），其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】C
【解答】解：∵開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線和y軸的正半軸相交，
∴c＞0，
∵對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正確；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，則a+b+c＜0，
∴a+b＜﹣c，故②正確；
由圖象可知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故③正確；
∵當(dāng)x＝1時(shí)，a+b+c＜0，b＝2a，
∴a＝b，
∴b+b+c＜0，
∴3b+2c＜0，故④正確；
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)有最大值，
所以當(dāng)m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a﹣b+c≥am2+bm+c，
所以a﹣b≥m（am+b），故⑤錯(cuò)誤．
故選：C．
6．（2022?日照一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2，
其中正確的結(jié)論有（）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】A
【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①錯(cuò)誤．
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②錯(cuò)誤．
∵x＝﹣1時(shí)，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣b+c＜0，
∴2c＜3b，③正確．
∵x＝1時(shí)，y＝a+b+c為函數(shù)最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正確．
方程|ax2+bx+c|＝1的四個(gè)根分別為ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，
∵拋物線y＝ax2+bx+c關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，
∴拋物線與直線y＝1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為之和為2，
拋物線與直線y＝﹣1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為之和為2，
∴方程|ax2+bx+c|＝1的四個(gè)根的和為4，⑤錯(cuò)誤．
故選：A．
7．（2022?鄞州區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示．下列結(jié)論：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③m為任意實(shí)數(shù)，則a+b＞am2+bm；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，則x1+x2＝2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【解答】解：①圖象開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，∴abc＞0，錯(cuò)誤；
②∵對(duì)稱軸是直線x＝1，與x軸交點(diǎn)在（3，0）左邊
∴二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（﹣1，0）與（0，0）之間，
∴a﹣b+c＜0，∴②錯(cuò)誤；
③∵對(duì)稱軸是直線x＝1，圖象開(kāi)口向下，
∴x＝1時(shí)，函數(shù)最大值是a+b+c；
∴m為任意實(shí)數(shù)，則a+b+c≥am2+bm+c，∴③錯(cuò)誤；
④∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，∴④正確；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，
∵x1+x2＝﹣，b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，∴⑤正確；
故選：B．
8．（2021秋?薛城區(qū)期末）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：①abc＞0；②b＝﹣a；③9a﹣3b+c＝0；④m（am+b）≥a﹣b（m為任意實(shí)數(shù)）；⑤4ac﹣b2＜0，其中正確的命題有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【解答】解：∵拋物線開(kāi)口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對(duì)稱軸是x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵拋物線交于y軸的負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0，①說(shuō)法錯(cuò)誤；
∵b＝2a，
∴②說(shuō)法錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸交于（1，0），對(duì)稱軸是x＝﹣1，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，③說(shuō)法正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸是x＝﹣1，且開(kāi)口向上，
∴函數(shù)最小值為a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴m（am+b）≥a﹣b，④說(shuō)法正確；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，⑤說(shuō)法正確；
故選：C．
項(xiàng)目
字母
字母的符號(hào)
圖象的特征
a
a＞0
開(kāi)口向上
a＜0
開(kāi)口向下
b
ab＞0(a，b同號(hào))
對(duì)稱軸在y軸左側(cè)
ab＜0(a，b異號(hào))
對(duì)稱軸在y軸右側(cè)
c
c=0
圖象過(guò)原點(diǎn)
c＞0
與y軸正半軸相交
c＜0
與y軸負(fù)半軸相交
b2-4ac
b2-4ac=0
與x軸有唯一交點(diǎn)
b2-4ac＞0
與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
b2-4ac＜0
與x軸沒(méi)有交點(diǎn)
關(guān)系式
實(shí)際比較
2a+b
比較
2a+b
比較
a+b+c
令x=1，看縱坐標(biāo)
a-b+c
令x=-1，看縱坐標(biāo)
4a+2b+c
令x=2，看縱坐標(biāo)
4a-2b+c
令x=-2，看縱坐標(biāo)

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