費(fèi)馬點(diǎn)：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).
當(dāng)PA+PB+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)P叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn).
◎結(jié)論：如圖,△ABC的三個(gè)內(nèi)角均不大于120°，點(diǎn)P在形內(nèi)，
當(dāng)∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120時(shí)，PA+PB+PC的值最小.

【證明】如圖，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到△A1BP1，
連接 PP1，則△BPP1是等邊三角形，所以 PB=PP1.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA+PB+PC ＝ P1A1+PP1+PC≥A1C,
∴當(dāng)A1、P1、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，
∵△BPP1是等邊三角形，∠BPP1＝60o，
∴∠BPC＝120o，
∵∠APB＝∠A1P1B，∠BP1P＝60o，
∴∠APB＝180o－60o＝120o
則∠CPA＝360o－120o－120o＝120o，
故∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o.
費(fèi)馬點(diǎn)作法：

分別以AC、BC、AB為邊作等邊△ACD、△BCE、△ABF,連接CF,BD,AE,
由手拉手可得△ACE≌△DCB，△ABE≌△FBC,
∴AE＝BD，AE＝CF，
∴AE＝BD＝CF
旋轉(zhuǎn)角：∠BPE＝∠EPC＝∠CPD＝60°
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
有等邊，求長度，不好求，作等邊
1．(2023·四川·成都實(shí)外九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．
2．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM 的最小值為________．
1．(2023·福建三明·八年級期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．
如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．
(1)【拓展應(yīng)用】
如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．
①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；
②當(dāng)，，時(shí)，求的大小；
(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．
2．(2023·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．
(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；
知識生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請同學(xué)們探索以下問題．
(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．
(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．
(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長；求的最小值．
3．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.
（1）求拋物線的解析式；
（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長；
（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長.
2．(2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．
旋轉(zhuǎn)
模型（三十四）——費(fèi)馬點(diǎn)模型
費(fèi)馬點(diǎn)：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為三角形的費(fèi)馬點(diǎn).
當(dāng)PA+PB+PC取最小值時(shí)，點(diǎn)P叫三角形的費(fèi)馬點(diǎn).
◎結(jié)論：如圖,△ABC的三個(gè)內(nèi)角均不大于120°，點(diǎn)P在形內(nèi)，
當(dāng)∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120時(shí)，PA+PB+PC的值最小.

【證明】如圖，將△ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到△A1BP1，
連接 PP1，則△BPP1是等邊三角形，所以 PB=PP1.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA+PB+PC ＝ P1A1+PP1+PC≥A1C,
∴當(dāng)A1、P1、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，
∵△BPP1是等邊三角形，∠BPP1＝60o，
∴∠BPC＝120o，
∵∠APB＝∠A1P1B，∠BP1P＝60o，
∴∠APB＝180o－60o＝120o
則∠CPA＝360o－120o－120o＝120o，
故∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o.
費(fèi)馬點(diǎn)作法：

分別以AC、BC、AB為邊作等邊△ACD、△BCE、△ABF,連接CF,BD,AE,
由手拉手可得△ACE≌△DCB，△ABE≌△FBC,
∴AE＝BD，AE＝CF，
∴AE＝BD＝CF
旋轉(zhuǎn)角：∠BPE＝∠EPC＝∠CPD＝60°
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
有等邊，求長度，不好求，作等邊
1．(2023·四川·成都實(shí)外九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．
答案:
分析將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長；根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長線于點(diǎn)E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等邊三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴，
∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長；
∵，∠CAD=，
∴∠EAD=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線段的長轉(zhuǎn)化到一條直線上．
2．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM 的最小值為________．
答案:
分析以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，如圖，則△BCM≌△BEN，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到CM=NE，進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BH⊥AE，AH=EH，根據(jù)30°直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．
【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．難度比較大．作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．
1．(2023·福建三明·八年級期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．
如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．
(1)【拓展應(yīng)用】
如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．
①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；
②當(dāng)，，時(shí)，求的大??；
(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．
答案:(1)①3；②150°；
(2)
分析（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求出的值；
②先證△ABP≌，利用全等的性子求出對應(yīng)的邊長，通過勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小；
（2）將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，先求出，然后證明為等邊三角形，當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，和最小，用勾股定理求出的值即可．
（1）
①如圖，將繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，
則，，
∴為等邊三角形，
；
②∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAP+∠PAC=60°，
又∵是等邊三角形，
∴∠PAC+=60°，
∴∠BAP=，
在△ABP與中，，
∴△ABP≌（SAS），
∴
∴，，
，
又∵旋轉(zhuǎn)，∴；
（2）
如圖，將△APC繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
則，
在中，，
，
，
又∵，
，，
過作⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，
則，
，
（30°所對的直角邊等于斜邊的一半），
，
，為等邊三角形，
當(dāng)B、P、、四點(diǎn)共線時(shí)，和最小，
在中，，
，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠添加輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．
2．(2023·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，則取得最小值．
(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出_______；
知識生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120°的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)．請同學(xué)們探索以下問題．
(2)如圖3，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費(fèi)馬點(diǎn)．
(3)如圖4，在中，，，，點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接、、，求的值．
(4)如圖5，在正方形中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接、、，且邊長；求的最小值．
答案:(1)150°；
(2)見詳解；
(3)；
(4)．
分析（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出≌，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股定理逆定理，得出△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，可求∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°即可；
（2）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，根據(jù)△APB≌△AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，點(diǎn)P在CB′上即可；
（3）將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，得出△APB≌△AP′B′，可證△APP′和△ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)，可得點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，利用30°直角三角形性質(zhì)得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在Rt△CBB′中，B′C=即可；
（4）將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出△BCE≌△CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，，得出點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)得出BF=，勾股定理BF=，可求AF=AB+BF=2+，再根據(jù)勾股定理AB′=即可．
(1)
解：連結(jié)PP′，
∵≌，
∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°
∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，
∴△APP′為等邊三角形，
,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
在△P′PC中，PC=5，
，
∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，
∴∠APB=∠AP′C=150°，
故答案為150°；
(2)
證明：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AB′P′，連結(jié)PP′，
∵△APB≌△AB′P′，
∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，
∴PP′=AP，
∵，
∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，
∴點(diǎn)P在CB′上，
∴過的費(fèi)馬點(diǎn)．
(3)
解：將△APB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B′，連結(jié)BB′，PP′，
∴△APB≌△AP′B′，
∴AP′=AP，AB′=AB，
∵∠PAP′=∠BAB′=60°，
∴△APP′和△ABB′均為等邊三角形，
∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，
∵
∴點(diǎn)C，點(diǎn)P，點(diǎn)P′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=CB′，
∵，，，
∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=
∴BB′=AB=2，
∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，
∴在Rt△CBB′中，B′C=
∴最小=CB′=；
(4)
解：將△BCE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CE′B′，連結(jié)EE′，BB′，過點(diǎn)B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，
∴△BCE≌△CE′B′，
∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，
∵∠ECE′=∠BCB′=60°，
∴△ECE′與△BCB′均為等邊三角形，
∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，
∵，
∴點(diǎn)C，點(diǎn)E，點(diǎn)E′，點(diǎn)B′四點(diǎn)共線時(shí)，最小=AB′，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，
∵B′F⊥AF，
∴BF=，BF=，
∴AF=AB+BF=2+，
∴AB′=，
∴最小=AB′=．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，四點(diǎn)共線，正方形性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
3．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值
答案:
分析將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，
過點(diǎn)P作PE⊥A于E，
∴AE=，
∴E=A-AE=，
∴P=，
當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，
∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，
∴．
∴=B=
【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.
（1）求拋物線的解析式；
（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長；
（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長.
答案:(1) (2) ；或 （3）可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長為
分析（1）已知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通過解直角三角形即可求得OD的長，也就得到了點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，由此確定拋物線的解析式；
（2）過E作EG⊥x軸于G，根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長；過O作AE的垂線，設(shè)垂足為K，易證得△AOK∽△AEG，通過相似三角形所得比例線段即可求得OK的長；在Rt△OMK中，通過解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長；
（3）由于點(diǎn)P到△ABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是△ABO的費(fèi)馬點(diǎn)，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易證得△OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE的長；求AP的長時(shí)，可作△OBE的外接圓（設(shè)此圓為⊙Q），那么⊙Q與AE的交點(diǎn)即為m取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置；設(shè)⊙Q與x軸的另一交點(diǎn)（O點(diǎn)除外）為H，易求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長，相對于⊙Q來說，AE、AH都是⊙Q的割線，根據(jù)割線定理（或用三角形的相似）即可求得AP的長．
【詳解】（1）過E作EG⊥OD于G
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵點(diǎn)B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，OD＝2；
∵E為BD中點(diǎn)，
∴=
∴EG=1，GD＝
∴OG＝
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，1)
∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，
∴.
可得.
∴拋物線的解析式為.
（2）∵拋物線與軸相交于、，在的左側(cè)，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
過E作EG⊥x軸于G
∴,
∴在△AGE中，,
.
過點(diǎn)作⊥于，
可得△∽△．
∴．
∴．
∴
∴.
∵△是等邊三角形,
∴．
∴．
∴,或
（3）如圖；
以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；
易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；
連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′為等邊三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE=
如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，
根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知∠BPO=120°，則∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四點(diǎn)共圓；
易求得Q（，1），則H（，0）；
∴AH=；
由割線定理得：AP?AE=OA?AH，
即：AP=OA?AH÷AE=×÷=
故： 可以取到的最小值為．
當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長為
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及費(fèi)馬點(diǎn)位置的確定和性質(zhì)，能力要求極高，難度很大．
2．(2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．
答案:
分析如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2，連接MC，證明AM垂直平分BC，證明AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，
∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，
∴△BQN是等邊三角形，
∴BQ=QN，
∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，
此時(shí)，如圖2，連接MC
∵將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，
∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，
∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，
∴AM垂直平分BC，
∵AD⊥BC，∠BQD=60°，
∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，
∴x=，
∴x=3+，
∴PD=3+．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．

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