◎結(jié)論：如圖 ,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，
則①∠APB=150o， ②S△ABC＝AB2＝

關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)可以讓線段動(dòng)起來
①【證明】以AP為邊向左側(cè)作等邊△APD，連接BD,
∵△ABC,△ADP為等邊三角形
∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP
∴∠DAB＝∠PAC
可得△DAB≌△PAC
∴DB＝PC＝5
∵DP2＋BP2＝DB2，
∴∠DPB＝90°，∠APB＝150°
②過B作BQ⊥AP于Q,
∵∠APB＝150°
∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2
∴PQ＝＝2
∴AB2＝AQ2＋BQ2＝25＋12
∴AB2＝
各種旋法：


超酷炫又實(shí)用：S=a2

1． (2023·黑龍江佳木斯·九年級(jí)期中）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則以下結(jié)論中不正確是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·廣西桂林·八年級(jí)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的度數(shù)為（ ）
A．160°B．155°C．150°D．145°
4． (2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB的大小是（ ）
A．150°B．120°C．100°D．以上都不對(duì)
1． (2023·遼寧·丹東第九中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)為______．
2． (2023·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P到等邊三角形ABC各頂點(diǎn)的距離分別是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．則∠APB的度數(shù)是______度．
3． (2023·廣東順德德勝學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連接、、，若，，．
(1)則線段、、構(gòu)成的三角形是______三角形（填“鈍角、直角、銳角”）；
(2)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的，并由此求出的度數(shù)；
(3)求三角形的面積．
1．（1）如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，冰墩墩同學(xué)作了如圖的輔助線，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)、如圖所示，連接，請(qǐng)你按照冰墩墩的方法求出的度數(shù)．
（2）如圖，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，類比第（1）題的方法．
求的度數(shù)；
與的面積之和．
（3）如圖，在（2）的基礎(chǔ)上請(qǐng)求出正方形的面積．
2．如圖，點(diǎn)是等邊三角形外一點(diǎn)，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到．
(1)求證：是直角三角形；
(2)求的面積．
旋轉(zhuǎn)
模型（三十三）——奔馳模型

◎結(jié)論1：如圖 ,等邊△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，
則①∠APB=150o， ②S△ABC＝AB2＝

關(guān)鍵：旋轉(zhuǎn)可以讓線段動(dòng)起來
①【證明】以AP為邊向左側(cè)作等邊△APD，連接BD,
∵△ABC,△ADP為等邊三角形
∴∠DAB＝60°-∠BAP,∠PAC＝60°-∠BAP
∴∠DAB＝∠PAC
可得△DAB≌△PAC
∴DB＝PC＝5
∵DP2＋BP2＝DB2，
∴∠DPB＝90°，∠APB＝150°
②過B作BQ⊥AP于Q,
∵∠APB＝150°
∴∠BPQ＝30°，BP＝4，BQ＝2
∴PQ＝＝2
∴AB2＝AQ2＋BQ2＝25＋12
∴AB2＝
各種旋法：


超酷炫又實(shí)用：S=a2

1． (2023·黑龍江佳木斯·九年級(jí)期中）如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如圖，連接PQ．由題意△PQA是等邊三角形，利用勾股定理的逆定理證明∠PQB＝90°即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接PQ．
∵△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABQ，
∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，
∴△PAQ是等邊三角形，
∴PQ＝PA＝2，
∵PB＝4，
∴，
∴∠PQB＝90°，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則以下結(jié)論中不正確是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)以及勾股定理的逆定理，即可判斷A、D；依據(jù)△BPQ是等邊三角形，即可得到∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，進(jìn)而得出∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，即可判斷C、B選項(xiàng)．
【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∵將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△CBQ位置，
∴△BQC≌△BPA，
∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，△BPQ的面積=，故A正確，D錯(cuò)誤；
∴PQ=BP=4，
∵，，
∴，
∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形，△PQC的面積=×3×4=6，故C正確，
∵△BPQ是等邊三角形，
∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，
∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°，故B正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理．
3． (2023·廣西桂林·八年級(jí)期末）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，，，，則的度數(shù)為（ ）
A．160°B．155°C．150°D．145°
【答案】C
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PAE=60°，AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，可證△PAE是等邊三角形，可得PE=AE=3，∠AEP=60°，由勾股定理的逆定理可求∠PEB=90°，即可求解．
【詳解】解：如圖，將△ACP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ABE，連接PE，
∴△ACP≌△ABE，∠PAE=60°，
∴AP=AE=3，CP=BE=4，∠AEB=∠APC，
∴△PAE是等邊三角形，
∴PE=AE=3，∠AEP=60°，
∵=25，+=9+16=25，
∴=+，
∴∠PEB=90°，
∴∠AEB=150°=∠APC，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，熟練利用勾股定理逆定理得出是解題關(guān)鍵．
4． (2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離PA=3，PB=4，PC=5，則∠APB的大小是（ ）
A．150°B．120°C．100°D．以上都不對(duì)
【答案】A
【分析】將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，則△BPE為等邊三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度數(shù)
【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，
可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，
如圖②，連接EP，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE為等邊三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE為直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．
1． (2023·遼寧·丹東第九中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，則的度數(shù)為______．
【答案】##150度
【分析】將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可得為等邊三角形，由勾股定理的逆定理可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的．

≌，
，，
為等邊三角形，
，，
，，
，
為直角三角形，
，
；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的逆定理得到為直角三角形是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·浙江溫州·八年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)P到等邊三角形ABC各頂點(diǎn)的距離分別是PA＝2，PB＝1.5，PC＝2.5．若將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接BQ．則∠APB的度數(shù)是______度．
【答案】150
【分析】連接PQ，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AP＝PQ＝2，∠PAQ＝60°，則可判斷△APQ為等邊三角形，所以PQ＝AP＝2，接著證明△APC≌△ABQ得到PC＝QB＝2.5，然后利用勾股定理的逆定理證明△PBQ為直角三角形，于是得到結(jié)論．
【詳解】連接PQ，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，AP=2，PB=1.5，PC=2.5，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，
∴AP＝AQ＝2，∠PAQ＝60°，
∴△APQ為等邊三角形，∠APQ＝60°，
∴PQ＝AP＝2，
∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△AQB中，
∴△APC≌△AQB（SAS），
∴PC＝QB＝2.5，
∵在△BPQ中，，，，
而，
∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴∠APB＝90°＋60°＝150°．
故答案為：150．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；還考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理以及等邊三角形的知識(shí)．證明△BPQ是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
3． (2023·廣東順德德勝學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連接、、，若，，．
(1)則線段、、構(gòu)成的三角形是______三角形（填“鈍角、直角、銳角”）；
(2)將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的，并由此求出的度數(shù)；
(3)求三角形的面積．
【答案】(1)直角；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，證明是等邊三角形，，進(jìn)而可得的度數(shù)；
（3）將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，根據(jù)是等邊三角形，是直角三角形，求出＝，同理，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，可得＝，＝，求出的面積，進(jìn)而根據(jù)得出答案．
（1）
解：∵，，，
∴，，
∴，
∴線段、、構(gòu)成的三角形是直角三角形，
故答案為：直角；
（2）
解：如圖，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，點(diǎn)與點(diǎn)C重合，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，
∴是等邊三角形，
∴，，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：如圖，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，點(diǎn)與點(diǎn)C重合，
由（2）可得是等邊三角形，是直角三角形，，，
過點(diǎn)P作PH⊥，則BH＝，
∴PH＝，
∴，
∴＝，
將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
同理可得，是以PC＝10為邊的等邊三角形，是以6、8、10為邊的直角三角形，＝，
將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
同理可得，是以AP＝6為邊的等邊三角形，是以6、8、10為邊的直角三角形，＝，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用等知識(shí)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出等邊三角形和直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
1．（1）如圖，在等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，冰墩墩同學(xué)作了如圖的輔助線，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)、如圖所示，連接，請(qǐng)你按照冰墩墩的方法求出的度數(shù)．
（2）如圖，在正方形內(nèi)有一點(diǎn)，且，，，類比第（1）題的方法．
求的度數(shù)；
與的面積之和．
（3）如圖，在（2）的基礎(chǔ)上請(qǐng)求出正方形的面積．
【答案】（1）150°；（2）①135°；②；（3）5
【分析】（1）將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖，連接，可得△是等邊三角形，而△又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以，而；
（2）①求出，根據(jù)勾股定理的逆定理求出，推出；
②由（1）知，，，，，即可求出答案．
（3）過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求出，，關(guān)鍵勾股定理即可求出，即可求出答案．
【詳解】解：（1）是等邊三角形，
，
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得出，
，，，，
，
，
是等邊三角形，
，，
，，
，
，則△是 直角三角形；
；
（2）①如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
與（1）類似：可得：，，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
；
②由①知，，，，，
，
與的面積之和為
；
（3）由（2）知，，，
過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)；
，
，
；
在中，由勾股定理，得；
正方形的面積為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解題的關(guān)鍵是正確作輔助線并能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行證明．
2．如圖，點(diǎn)是等邊三角形外一點(diǎn)，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到．
(1)求證：是直角三角形；
(2)求的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)后所得的圖形與原圖形大小相等，可得BD、AD的長(zhǎng)和，可證明是等邊三角形，得到，利用勾股定理得出即可證明；
（2）通過求解，作AP邊上的高BH，則 ，根據(jù)即可求出．
(1)
由題意得：，，
是等邊三角形
，
是直角三角形；
(2)
是等邊三角形
是直角三角形，
作．則
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形和旋轉(zhuǎn)，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)特殊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

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