2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)講與練模型17 全等三角形—

【條件】如圖，AB=AC，點(diǎn)P在線段BC上（P不是線段BC的中點(diǎn)）
胖瘦模型——兩條邊對(duì)應(yīng)相等，一組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)角互補(bǔ)

分析：△APB與△APC并不全等
AB＝AC 2條邊對(duì)應(yīng)相等
AP＝AP 1個(gè)角相等胖瘦模型
∠B＝∠C 2個(gè)角互補(bǔ)
∠APC＋∠APC＝180°
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
變胖（加等腰）
變瘦（減等腰）
找中間（加減后得直角三角形）
◎結(jié)論1：（變胖）如圖， △ABQ≌△ACP ,AP=AQ

思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，
AP＝AQ,△ABQ≌△ACP,
相當(dāng)于△ABP(加了△APQ）變胖了，
進(jìn)而△ABQ≌△ACP
◎結(jié)論2：（變瘦）如圖， △ABP≌△ACQ ,AP=AQ

思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，
AP＝AQ,
相當(dāng)于△ACP(減了△APQ）變瘦了，
進(jìn)而△ABP≌△ACQ

◎結(jié)論3：（找中間狀態(tài)）如圖， △ABM≌△ACM

思路：
過(guò)A作AM⊥BC，垂足為M，則△ABM≌△ACM
相當(dāng)于△ABP（加了△APM）變胖了，
相當(dāng)于△ACP（減了△APM）變瘦了
胖的比瘦的多一個(gè)等腰三角形，
瘦的加了一個(gè)直角三角形，
胖的減了一個(gè)直角三角形
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
見(jiàn)胖瘦，
變胖加等腰，變瘦減等腰，
中間狀態(tài)加、減直角三角形。
【總結(jié)】滿(mǎn)足的條件為 SSA.
1． (2023·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點(diǎn)H．
(1)求證：；
(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的長(zhǎng)．
2． (2023·江西吉安·八年級(jí)期末）如圖，AD平分∠MAN，，，垂足分別為B，C，E為線段AB上一點(diǎn)，在射線AN上有一點(diǎn)F，并使得與全等，若，則線段AE與AF的有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
3． (2023·江西撫州·八年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)C是的平分線上一點(diǎn)，于E，B、D分別在AM、AN上，且．問(wèn)：和有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
1． (2023·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）已知：如圖，△ABC中∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
(1)求證：BE＝CF；
(2)若AB=16，CF=2，求AC的長(zhǎng)．
2． (2023·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD 與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（用含a的式子表示）
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE．
①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
3． (2023·吉林四平·八年級(jí)期末）如圖，已知BN平分∠ABC，P為BN上的一點(diǎn)，PF⊥BC于F，PA=PC．
(1)求證：∠PCB+∠BAP=180°；
(2)線段BF、BC、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你探究的結(jié)論：_____________________．
1．如圖，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)證明：；
(2)如果，，求AE、BE的長(zhǎng)．
2．如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)到直線的距離為5cm，求點(diǎn)到直線的距離；
(2)求證：點(diǎn)在的平分線上．
3．如圖，在四邊形中，平分于F，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)猜想與存在的的數(shù)量關(guān)系并證明；
(3)若，請(qǐng)用含有m，n的式子直接寫(xiě)出的值．
全等三角形
模型（十七）——胖瘦模型（SSA）

【條件】如圖，AB=AC，點(diǎn)P在線段BC上（P不是線段BC的中點(diǎn)）
胖瘦模型——兩條邊對(duì)應(yīng)相等，一組角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)角互補(bǔ)

分析：△APB與△APC并不全等
AB＝AC 2條邊對(duì)應(yīng)相等
AP＝AP 1個(gè)角相等胖瘦模型
∠B＝∠C 2個(gè)角互補(bǔ)
∠APC＋∠APB＝180°
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
變胖（加等腰）
變瘦（減等腰）
找中間（加減后得直角三角形）
◎結(jié)論1：（變胖）如圖， △ABQ≌△ACP ,AP=AQ

思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，
AP＝AQ,△ABQ≌△ACP,
相當(dāng)于△ABP(加了△APQ）變胖了，
進(jìn)而△ABQ≌△ACP
◎結(jié)論2：（變瘦）如圖， △ABP≌△ACQ ,AP=AQ

思路：取CQ＝BP,△ABP≌△ACQ，
AP＝AQ,
相當(dāng)于△ACP(減了△APQ）變瘦了，
進(jìn)而△ABP≌△ACQ

◎結(jié)論3：（找中間狀態(tài)）如圖， △ABM≌△ACM

思路：
過(guò)A作AM⊥BC，垂足為M，則△ABM≌△ACM
相當(dāng)于△ABP（加了△APM）變胖了，
相當(dāng)于△ACP（減了△APM）變瘦了
胖的比瘦的多一個(gè)等腰三角形，
瘦的加了一個(gè)直角三角形，
胖的減了一個(gè)直角三角形
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,記) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,訣)
見(jiàn)胖瘦，
變胖加等腰，變瘦減等腰，
中間狀態(tài)加、減直角三角形。
【總結(jié)】滿(mǎn)足的條件為 SSA.
1． (2023·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在△ABE中，D、C分別在AE、BE上且CD＝CB，AC平分∠EAB，CH⊥AB于點(diǎn)H．
(1)求證：；
(2)若AD＝3，AB＝8，求AH的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此即可得證；
（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，再根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，據(jù)此建立方程，解方程即可得．
（1）
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵平分，，
∴，
在與中，，
∴，
，
，
．
（2）
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
由（1）已證：，
，
設(shè)，則，
，
，
在和中，，
，
，
，
解得，
即的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
2． (2023·江西吉安·八年級(jí)期末）如圖，AD平分∠MAN，，，垂足分別為B，C，E為線段AB上一點(diǎn)，在射線AN上有一點(diǎn)F，并使得與全等，若，則線段AE與AF的有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】或，理由見(jiàn)解析
【分析】分點(diǎn)F在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)和點(diǎn)F在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)兩種情況，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：有兩種情況：或，
理由：∵AD平分，，，
∴，∠DCA=∠DCN=∠DBE=90°，
當(dāng)=3時(shí)，，
此時(shí)，點(diǎn)F可在C點(diǎn)左側(cè)，也可在C點(diǎn)右側(cè)，如圖，
當(dāng)點(diǎn)F可在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵DB=BC,AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴AB=AC，
∴；
當(dāng)點(diǎn)F可在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，由（1）知，AC=AB=AE+3，
∴AE+6=AF，
即；
∴線段AE與AF的數(shù)量關(guān)系是：或．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理，利用角平分線的性質(zhì)證得DB=DC是解題關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．
3． (2023·江西撫州·八年級(jí)期中）如圖，已知點(diǎn)C是的平分線上一點(diǎn)，于E，B、D分別在AM、AN上，且．問(wèn)：和有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
【答案】∠1與∠2互補(bǔ)，理由見(jiàn)解析
【分析】作CF⊥AN于F，證明Rt△ACF≌Rt△ACE得到AF=AE，再證明△DFC≌△BEC，得到AF=AE，由已知條件從而證得．
【詳解】解：∠1與∠2互補(bǔ)，理由是：
如圖，作CF⊥AN于F，
∵∠3=∠4，CE⊥AM，
∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF=AE，
∵AE=（AD+AB）=（AF-DF+AE+EB）=AE+（BE-DF），
∴BE-DF=0，
∴BE=DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5=∠2，
∵∠1+∠5=180°，
∴∠1+∠2=180°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用角平分線性質(zhì)，作輔助線得到三角形全等，并利用已知條件來(lái)求解是解題的關(guān)鍵．
1． (2023·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）已知：如圖，△ABC中∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
(1)求證：BE＝CF；
(2)若AB=16，CF=2，求AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)12
【分析】（1）連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，DC=DB，利用HL可證Rt△DCF≌Rt△DBE，從而證出結(jié)論；
（2）利用HL可證Rt△ADF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．
（1）
連接DB，
∵點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，
∴DB=DC，
在Rt△DCF與Rt△DBE中，
DE=DF，DB=DC，
∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），
∴CF=BE；
（2）
∵CF=BE=2，AB=16，
∴AE=AB-BE=16-2=14，
在Rt△ADF與Rt△ADE中，
DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE=14，
∴AC=AF-CF=14-2=12．
【點(diǎn)睛】此題考查的是角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2． (2023·江蘇·八年級(jí)單元測(cè)試）在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，AD 與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____；（用含a的式子表示）
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接DE．
①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)AD⊥CB′；；
(2)①∠BAC=2∠DAE，理由見(jiàn)解析；②BE=CD+DE，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）先證明∠ADC=90°，再過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；
（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，進(jìn)一步計(jì)算即可求解；
②在BC上截取BG=CD，先后證明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE (SAS)，即可求解．
（1）
解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CB′；
過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，
∵AB=AC，
∴CF=BF=BC=，
∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，
∴AF= AD，
∴△ADC≌△AFC(HL)，
∴CD=CF=，
故答案為：AD⊥CB′；；
（2）
解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：
設(shè)∠ACB′=∠ACB=α=∠B，
∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，
∵∠DAE+∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°-∠DAE=α，
∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，
∴∠BAC=2∠DAE；
②BE=CD+DE，理由如下：
在BC上截取BG=CD，
在△ABG和△ACD中，，
∴△ABG≌△ACD(SAS)，
∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，
∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，
∴∠BAC=∠GAD，
∵∠BAC=2∠DAE，
∴∠GAD=2∠DAE，
∴∠GAE=∠DAE，
在△GAE和△DAE中，，
∴△GAE≌△DAE (SAS)，
∴GE=DE，
∴BE=BG+GC=CD+DE．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
3． (2023·吉林四平·八年級(jí)期末）如圖，已知BN平分∠ABC，P為BN上的一點(diǎn)，PF⊥BC于F，PA=PC．
(1)求證：∠PCB+∠BAP=180°；
(2)線段BF、BC、AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你探究的結(jié)論：_____________________．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)2BF=AB+BC
【分析】（1）過(guò)作PD⊥AB于點(diǎn)D，由角平分線的性質(zhì)可得PD=PF，由“HL”可證RtΔADP≌RtΔCFP，可得∠1=∠BAP，即可得結(jié)論；
（2）由Rt△ADP≌Rt△CFP可得出AD=CF，PD=PF，結(jié)合PB=PB即可證出Rt△BPD≌Rt△BPF，進(jìn)而得出BD=BF，再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系即可得出2BF=AB+BC．
（1）證明：作PD⊥AB于點(diǎn)D，∵BN平分∠ABC，PF⊥BC，∴PD=PF．又∵PA=PC，∴Rt△ADP≌Rt△CFP(HL)，∴∠1=∠BAP，∵∠PCB+∠1=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；
（2）解：2BF=AB+BC．由（1）知：Rt△ADP≌Rt△CFP，PD=PF，∴AD=CF，∵BP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPF（HL），∴BD=BF，∴2BF=BD+BF=AB-AD+BC+CF=AB+BC，∴2BF=AB+BC．故答案為：2BF=AB+BC．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定于性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是：（1）利用HL證明Rt△ADP≌Rt△CFP；（2）利用HL證明Rt△BPD≌Rt△BPF．
1．如圖，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．
(1)證明：；
(2)如果，，求AE、BE的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)AE=4，BE=1
【分析】（1）連接BD、CD，先由垂直平分線性質(zhì)得BD=CD，再由角平分線性質(zhì)得DE=CF，然后證Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出結(jié)論；
（2）證明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，則CF=AF-AC=AE-AC，又因?yàn)锽E=AB-AE，由（1）知BE=CF，則AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE長(zhǎng)，繼而求得BE長(zhǎng)．
（1）
證明：如圖，連接BD、CD，
∵且平分BC，
∴BD=CD，
∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BED與Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）
解：∵AD平分，于E，于F，
∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△AED與Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴CF=AF-AC=AE-AC，
由（1）知：BE=CF，
∴AB-AE=AE-AC
即5-AE=AE-3，
∴AE=4，
∴BE=AB-AE=5-4=1，
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定義和線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，在中，的平分線與的外角的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)到直線的距離為5cm，求點(diǎn)到直線的距離；
(2)求證：點(diǎn)在的平分線上．
【答案】(1)5cm；
(2)見(jiàn)解析．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可解答；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，根據(jù)角平分線的判定定理即可證明．
（1）
解：過(guò)點(diǎn)作于，
點(diǎn)在的平分線，，，
cm，
即點(diǎn)到直線的距離為；
（2）
證明：點(diǎn)在的平分線，，，
，
同理：，
，
，，
點(diǎn)在的平分線上．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，熟知角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵．
3．如圖，在四邊形中，平分于F，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
(1)求證：；
(2)猜想與存在的的數(shù)量關(guān)系并證明；
(3)若，請(qǐng)用含有m，n的式子直接寫(xiě)出的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)，理由見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，由等量代換即可證明；
（2）先由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，結(jié)合圖形利用等量代換即可證明；
（3）設(shè)，由全等的性質(zhì)可得，然后結(jié)合圖形求解即可．
（1）證明：∵平分于F，∴在和中∴∴又∵∴
（2）在和中∴∴又由（1）得∴又∴∴
（3）解：設(shè)，由（1）得：，∴，同理：，即即m+s=n-s，∴s=，即．
【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的計(jì)算，三角形面積的計(jì)算等，理解題意，熟練掌握運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多