考點(diǎn)一 有理數(shù)冪的概念 考點(diǎn)二 科學(xué)記數(shù)法
考點(diǎn)三 有理數(shù)的乘方運(yùn)算 考點(diǎn)四 有理數(shù)的乘方的逆運(yùn)算
考點(diǎn)五 乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律 考點(diǎn)六 新定義有理數(shù)的運(yùn)算
考點(diǎn)七 有理數(shù)的混合運(yùn)算
典型例題

考點(diǎn)一 有理數(shù)冪的概念
例題：（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）討論：觀察下面兩個(gè)式子有什么不同？
(1)（－4）2與－42； (2)與
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)乘方的定義，即可求解；
（2）根據(jù)乘方的定義，即可求解；
(1)
解：∵（－4）2表示－4的平方，－42表示4的平方的相反數(shù)，
∴（－4）2與－42 互為相反數(shù)；
(2)
解：表示的平方，表示除以5．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了乘方的定義，熟練掌握熟練掌握n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，記作，其中a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)；注意的意義是-a的n次方”， 的意義是“a的n次方的相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）與有什么不同？結(jié)果相等嗎？
【答案】表示2個(gè)-3相乘，而表示2個(gè)3的乘積的相反數(shù)；它們的結(jié)果不相等．
【解析】
【分析】
根據(jù)乘方的意義，即可求解．
【詳解】
解：表示2個(gè)-3相乘，而表示2個(gè)3的乘積的相反數(shù)；
它們的結(jié)果不相等，理由如下：
∵，，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了乘方的運(yùn)算及其意義，熟練掌握乘方的運(yùn)算法則及其意義是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）（1）中，底數(shù)、指數(shù)各是什么？
（2）中叫做什么數(shù)？8叫做什么數(shù)？是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？
【答案】（1）底數(shù)是，指數(shù)是8；（2）中叫做底數(shù)，8叫做指數(shù)，是正數(shù)．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)乘方的定義，a?a?...?a（n個(gè)a）=an，a是底數(shù)，n是指數(shù)，進(jìn)而解決本題；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘方的概念即可回答．
【詳解】
解：（1）中，底數(shù)是，指數(shù)是8；
（2）中叫做底數(shù)，8叫做指數(shù)，是正數(shù)．
【點(diǎn)睛】
本題考查有理數(shù)的乘方，關(guān)鍵是根據(jù)有理數(shù)的乘方的概念解答．注意：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)．
3．（2019·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）填表：
【答案】見解析
【解析】
【分析】
根據(jù)有理數(shù)乘方的定義解答即可．
【詳解】
解：填表如下：
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)乘方的定義，屬于應(yīng)知應(yīng)會(huì)題型，熟知概念是關(guān)鍵．
考點(diǎn)二 科學(xué)記數(shù)法
例題：（北京市門頭溝區(qū)2021-2022學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）《北京市“十四五”時(shí)期能源發(fā)展規(guī)劃》中提出制定推廣新能源車實(shí)施方案，到2025年，全市新能源汽車?yán)塾?jì)保有量力爭(zhēng)達(dá)到200萬(wàn)輛，將200萬(wàn)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示（ ）
A．2×104B．2×105C．2×106D．2×107
【答案】C
【解析】
【分析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．
【詳解】
200萬(wàn)=2000000=2×106．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河北·張家口市宣化區(qū)教學(xué)研究中心七年級(jí)期末）國(guó)家衛(wèi)健委每日都會(huì)公布全國(guó)31個(gè)?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗劑次．至2021年12月15日，31個(gè)?。ㄗ灾螀^(qū)、直轄市）和新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)累計(jì)報(bào)告接種新冠病毒疫苗26.4億劑次．其中26.4億用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a10n的形式，其中1≤＜10，n為正整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】
26.4億＝2640000000＝2.64109
故選D
【點(diǎn)睛】
本題考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a10n，其中1≤＜10，n可以用整數(shù)位數(shù)減去1來(lái)確定，用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．
2．（2022·黑龍江牡丹江·模擬預(yù)測(cè)）在2022年3月13日北京冬殘奧會(huì)閉幕當(dāng)天，奧林匹克官方旗艦店再次發(fā)售1000000只“冰墩墩”，很快便售罄．?dāng)?shù)據(jù)1000000用科學(xué)記數(shù)法表示為______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得．
【詳解】
解：科學(xué)記數(shù)法：將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法，
則（這里省略不寫），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義（將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法）是解題關(guān)鍵．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
3．（2022·青海·中考真題）習(xí)近平總書記指出“善于學(xué)習(xí)，就是善于進(jìn)步”.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)上線的某天，全國(guó)大約有124600000人在平臺(tái)上學(xué)習(xí)，將這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為______.
【答案】
【解析】
【分析】
科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】
解：124600000=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
考點(diǎn)三 有理數(shù)的乘方運(yùn)算
例題：（2021·上海青浦·期末）計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
【詳解】
解：原式=
=．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算
(1)； (2)．
【答案】(1)-27；
(2)-57.5．
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．
(1)
解：
．
(2)
解：
．
【點(diǎn)睛】
本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的法則，正確計(jì)算即可．
2.（2021·河南安陽(yáng)·七年級(jí)期中）閱讀下列材料：求的值．
解：設(shè)①，
將等式兩邊同時(shí)乘以得：②
將②減去①得：，即，
即．
請(qǐng)仿照上述方法計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，然后兩邊同乘以3，進(jìn)而按照題中所給方法進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：設(shè)①，
將等式兩邊同時(shí)乘以3得：②，
將②減去①得：，即，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是理解題中所給運(yùn)算方法．
考點(diǎn)四 有理數(shù)的乘方的逆運(yùn)算
例題：（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．9B．C．2D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】
解：原式=
故選B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查有理數(shù)乘方的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，掌握乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）（1）計(jì)算下面兩組算式：
①與；②與；
（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開去：等于什么?（直接寫出結(jié)果）
（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)， 等于什么? 請(qǐng)你利用乘方的意義說(shuō)明理由．
（4）利用上述結(jié)論，求的值．
【答案】（1）
①225，225,=;②36，36，=，
（2）
（3）見詳解
（4）．
【解析】
【分析】
（1）①先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，再算平方；先算平方，再計(jì)算乘法即可，比較計(jì)算結(jié)果，
②先算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，再算平方；先算平方，再計(jì)算乘法即可，比較計(jì)算結(jié)果，
（2）直接按（1）寫結(jié)果即可，
（3）利用乘方的意義寫成n個(gè)數(shù)相乘，利用交換律轉(zhuǎn)化為與乘積即可．
（4）利用積的乘方的逆運(yùn)算把，然后=，再簡(jiǎn)便運(yùn)算即可．
【詳解】
（1）①=152=225，
=9×25=225，
=，
②=(-6)2=36，
=4×9=36，
=，
（2）
（3）．
（4）=．
【點(diǎn)睛】
本題考查有理數(shù)乘法法則問題，先通過(guò)不同形式的計(jì)算，驗(yàn)證結(jié)果相同，達(dá)到初步認(rèn)證，再次認(rèn)證結(jié)果，通過(guò)證明先算計(jì)積再算乘法，與先算每個(gè)數(shù)的乘方再算積，驗(yàn)證結(jié)論成立，會(huì)逆用積的乘方運(yùn)算來(lái)簡(jiǎn)便運(yùn)算是解題關(guān)鍵．
2．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀計(jì)算：
閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三個(gè)問題：
(1)驗(yàn)證：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通過(guò)上述驗(yàn)證，歸納得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
【答案】(1)1，1；
(2)ab，anbn，abc，anbncn；
(3)﹣0.125
【解析】
【分析】
（1）先算括號(hào)內(nèi)的，再算乘方；先乘方，再算乘法．
（2）根據(jù)有理數(shù)乘方的定義求出即可；
（3）根據(jù)根據(jù)閱讀材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再計(jì)算，即可得出答案．
(1)
解：（4×0.25）100＝1100＝1；
4100×0.25100＝1，
故答案為：1，1．
(2)
解：（ab）n＝anbn，（abc）n＝anbncn，
故答案為：ab，anbn，abc，anbncn．
(3)
解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）
＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）
＝（﹣1）2014×（﹣0.125）
＝1×（﹣0.125）
＝﹣0.125
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力，理解閱讀材料是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)五 乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律
例題：（2022·全國(guó)·七年級(jí)）填一填：
（1）______，______，______，______；
（2）______，______，______，______．
【答案】（1）100；1000；10000；100000（2）100；-1000；10000；-100000
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)計(jì)算可得結(jié)果．
【詳解】
解：（1），
，
，
，
故答案為：100；1000；10000；100000；
（2），
，
，
，
故答案為：100；-1000；10000；-100000．
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)的乘方，正確計(jì)算各乘方的結(jié)果是關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2020·山東·周村二中階段練習(xí)）已知a＝110，b＝（﹣2）6，c＝（﹣3）5，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．a(chǎn)＜b＜cB．a(chǎn)＜c＜bC．c＜b＜aD．c＜a＜b
【答案】D
【解析】
【分析】
先根據(jù)有理數(shù)的乘方的運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后再比較大小即可．
【詳解】
解：∵a＝110＝1，b＝（﹣2）6＝26，c＝（﹣3）5＝﹣35，
∴c＜a＜b．
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了有理數(shù)乘方的運(yùn)算，掌握有理數(shù)乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律成為解答本題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）觀察下列三組數(shù)的運(yùn)算：，；，；，．聯(lián)系這些具體數(shù)的乘方，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律．下列用字母表示的式子：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，．其中表示的規(guī)律正確的是（ ）
A．①B．②C．①、②都正確D．①、②都不正確
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)三組數(shù)的運(yùn)算的規(guī)律逐個(gè)判斷即可得．
【詳解】
解：由三組數(shù)的運(yùn)算得：，
，
，
歸納類推得：當(dāng)時(shí)，，式子①錯(cuò)誤；
由三組數(shù)的運(yùn)算得：，
，
，
歸納類推得：當(dāng)時(shí)，，式子②正確；
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)六 新定義有理數(shù)的運(yùn)算
例題：（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）定義一種新運(yùn)算（a，b），若ac＝b，則（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），則x的值為 __．
【答案】56
【解析】
【分析】
設(shè)4m＝8，4n＝7，根據(jù)新運(yùn)算可得m+n＝（4，x），從而得到4m+n＝x，即可求解．
【詳解】
解：設(shè)4m＝8，4n＝7，
∵（4，8）+（4，7）＝（4，x），
∴m+n＝（4，x），
∴4m+n＝x，
∴4m×4n＝x，
∴8×7＝x，
∴x＝56，
故答案為：56．
【點(diǎn)睛】
本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，會(huì)用新定義解答問題．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江蘇·七年級(jí)）如果xn＝y(tǒng)，那么我們記為：（x，y）＝n．例如32＝9，則（3，9）＝2．
(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：（2，8）＝_______，（2，）＝_______；
(2)若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．
【答案】(1)3，
(2)4
【解析】
【分析】
（1）這個(gè)定義括號(hào)內(nèi)第一個(gè)數(shù)為底數(shù)，第二個(gè)數(shù)為冪，結(jié)果為指數(shù)，根據(jù)有理數(shù)的乘方及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算即可；
（2）根據(jù)定義先求出a，b的值，再求（b，a）的值．
(1)
解：因?yàn)?3＝8，
所以（2，8）＝3；
因?yàn)?﹣2＝，
所以（2，）＝﹣2．
故答案為：3，﹣2；
(2)
解：根據(jù)題意得a＝42＝16，b3＝8，
所以b＝2，
所以（b，a）＝（2，16），
因?yàn)?4＝16，
所以（2，16）＝4．
答：（b，a）的值為4．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，考核學(xué)生的運(yùn)算能力，熟悉乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·江西南昌·七年級(jí)期中）定義一種新的運(yùn)算a△b＝ab，如2△3＝23＝8，求
（1）3△2；
（2）（3△2）△2；
（3）3△（2△2）．
【答案】（1）9，（2）81，（3）81；
【解析】
【分析】
根據(jù)新定義運(yùn)算法則，把新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘方運(yùn)算即可．
【詳解】
（1）3△2＝32＝9；
（2）（3△2）△2＝（32）△2＝9△2＝92＝81；
（3）3△（2△2）＝3△（22）＝3△4＝34＝81．
【點(diǎn)睛】
本題考查了新定義運(yùn)算，解題關(guān)鍵是明確題意，把新定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘方．
考點(diǎn)七 有理數(shù)的混合運(yùn)算
例題：（河南省南陽(yáng)市油田2021-2022學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)-5
(2)
【解析】
【分析】
（1）先算乘方，絕對(duì)值，除法轉(zhuǎn)化為乘法，最后算加減即可；
（2）先算乘方，括號(hào)里的運(yùn)算，再算乘法，最后算加減即可．
(1)
解：
；
(2)
解：．
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的乘方、絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
【變式訓(xùn)練】
1．（重慶市梁平區(qū)2021-2022學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）計(jì)算
(1)
(2)
【答案】(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）先計(jì)算有理數(shù)的乘方、乘除，再計(jì)算加減；
（2）將分?jǐn)?shù)除法變形為分?jǐn)?shù)乘法，再進(jìn)行乘法和加減運(yùn)算．
(1)
解：
(2)
解：
【點(diǎn)睛】
本題考查帶乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則并正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）計(jì)算：．
【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
解：原式＝
＝﹣16÷（﹣12+4）
＝﹣16÷（﹣8）
＝2．
【點(diǎn)睛】
本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則．
3．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)（）÷；
(2)．
【答案】(1)1
(2)-3
【解析】
【分析】
（1）先化除為乘，再用乘法的分配率計(jì)算即可；
(2)按照有理數(shù)的混合運(yùn)算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減即可；
(1)
解：
＝×24
＝×24+×24﹣×24
＝6+9﹣14
＝1；
(2)
（﹣1）2021×|﹣1|+0.5÷（﹣）
＝（﹣1）×+×（﹣3）
＝﹣+（﹣）
＝﹣3．
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及有理數(shù)的乘法分配率，解題的關(guān)鍵是熟悉有理數(shù)的混合運(yùn)算順序．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2021·四川成都·七年級(jí)期中）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】
解：A、，故本選項(xiàng)正確；
B、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的除法，注意分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的乘方要加括號(hào)，這也是初學(xué)者最容易出錯(cuò)的地方．
2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）近日，恩施州發(fā)改委公布2021年度恩施州旅游景區(qū)免費(fèi)開放日的執(zhí)行情況，截止到2021年12月31日，恩施州18家景區(qū)落實(shí)了此計(jì)劃，門票以外項(xiàng)目實(shí)現(xiàn)綜合收入237.3萬(wàn)元以上，且沒有發(fā)生任何安全事故，也沒有接到價(jià)格違法行為舉報(bào)和投訴．將數(shù)237.3萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．2.373×105B．23.73×104C．2.373×106D．0.2373×106
【答案】C
【解析】
【分析】
用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
【詳解】
解：237.3萬(wàn)＝2373000＝2.373×106．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）下列各對(duì)數(shù)中互為相反數(shù)的是（ ）
A．32與﹣23B．﹣23與（﹣2）3
C．（﹣3×2）2與23×（﹣3）D．﹣32與（﹣3）2
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)相反數(shù)的意義逐一判斷即可求解．
【詳解】
解：A．根據(jù)有理數(shù)的乘方、相反數(shù)的定義，32＝9，﹣23＝﹣8，那么32與﹣23不是相反數(shù)，故A不符合題意；
B．根據(jù)有理數(shù)的乘方、相反數(shù)的定義，﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，那么﹣23與（﹣2）3不是相反數(shù)，故B不符合題意；
C．根據(jù)有理數(shù)的乘方、相反數(shù)的定義，（﹣3×2）2＝36，23×（﹣3）＝﹣24，那么（﹣3×2）2與23×（﹣3）不是相反數(shù)，故C不符合題意；
D．根據(jù)有理數(shù)的乘方、相反數(shù)的定義，﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，那么﹣32與（﹣3）2互為相反數(shù)，故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了相反數(shù)、有理數(shù)乘方的運(yùn)算，熟練掌握相反數(shù)的定義及有理數(shù)乘方的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）下列各式x、x2、、x2+2、|x+2|中，值一定是正數(shù)的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)有理數(shù)的乘方、絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．
【詳解】
解：x不一定是正數(shù)；x2不一定是正數(shù)；
一定是正數(shù)；x2+2一定是正數(shù)；
|x+2|不一定是正數(shù)；
所以值一定是正數(shù)的有2個(gè)，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值．掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·山東青島·七年級(jí)期末）按照如圖所示的計(jì)算程序，若x=3，則輸出的結(jié)果是（ ）
A．1B．9C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
將x的值代入程序圖中的程序按要求計(jì)算即可．
【詳解】
解：當(dāng)x=3時(shí)，10-x2=10-9=1＞0，
于是再把x=1輸入，10-x2=10-1=9＞0，不合題意；
再把x=9輸入，10-x2=10-81=-71＜0，符合題意，
因此輸出的數(shù)為：-71，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了求代數(shù)式的值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，本題是操作型題目，按程序圖的要求運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校期中）若，則______．
【答案】
【解析】
【分析】
由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得且 再求解a，b的值，代入計(jì)算即可得到答案．
【詳解】
解：
且
解得：，

故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，乘方的含義，求解是解本題的關(guān)鍵．
7．（2022·全國(guó)·七年級(jí)）歷經(jīng)183天，2022年4月16日，太空“出差”三人組順利凱旋，平安降落在內(nèi)蒙古東風(fēng)著陸場(chǎng)．三人順利回家，這也意味著，我國(guó)將進(jìn)入空間站工程的建造階段．中國(guó)空間站離地球有400千米遠(yuǎn)．400千米用科學(xué)記數(shù)法表示為 _____米．
【答案】4×105
【解析】
【分析】
根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式即可求解．
【詳解】
解：400千米＝400000米＝4×105米，
故答案為：4×105．
【點(diǎn)睛】
本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：，根據(jù)新運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算＝__．
【答案】﹣25
【解析】
【分析】
根據(jù)新定義的運(yùn)算法則，列式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】
解：∵
∴
＝﹣28+3
＝﹣25，
故答案為：﹣25．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是新定義運(yùn)算，有理數(shù)的加減乘法運(yùn)算，掌握“新定義的含義，有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵.
9．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知m、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為2，則代數(shù)式+2022pq+x的值是 __．
【答案】2024或2020##2020或2024
【解析】
【分析】
根據(jù)題意可知m+n＝0，pq＝1，x＝±2，將原式化簡(jiǎn)代入即可．
【詳解】
∵m、n互為相反數(shù)，p、q互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值為2，
∴m+n＝0，pq＝1，x＝±2．
則+2022pq+x＝+2022×1±2
＝0+2022±2
＝2022±2．
∴原式＝2022+2＝2024或原式＝2022﹣2＝2020．
故答案為：2024或2020．
【點(diǎn)睛】
本題考查相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的概念，能夠掌握整體代入思想是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2022·山東濟(jì)寧·二模）現(xiàn)定義一種新運(yùn)算，若，則，例如：∵，∴．依據(jù)上述運(yùn)算規(guī)則，計(jì)算的結(jié)果是______．
【答案】5
【解析】
【分析】
根據(jù)新運(yùn)算定義求出（5，125）=3，=2，代入計(jì)算即可．
【詳解】
解：∵，
∴（5，125）=3，
∵，
∴=2，
∴=3+2=5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】
此題考查了新定義運(yùn)算，正確掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）若（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)．求xy的值．
【答案】9
【解析】
【分析】
根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】
解：∵（x+3）2與|y﹣2|互為相反數(shù)，
∴（x+3）2+|y﹣2|＝0，
∴x+3＝0且y﹣2＝0，
∴x＝﹣3，y＝2，
∴xy＝（﹣3）2＝9；
【點(diǎn)睛】
本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0．
12．（2021·江蘇·無(wú)錫市江南中學(xué)七年級(jí)期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并用“＜”號(hào)把它們按照從小到大的順序排列．
1.5，﹣（﹣1）100，﹣（﹣2），﹣22，﹣|﹣2|．
【答案】在數(shù)軸上表示見解析；﹣22＜﹣|﹣2|＜﹣（﹣1）100＜1.5＜﹣（﹣2）．
【解析】
【分析】
先將各數(shù)化簡(jiǎn)，再在數(shù)軸上表示出來(lái)，并結(jié)合數(shù)軸用“＜”號(hào)連接即可求解．
【詳解】
解：﹣（﹣1）100=-1，﹣（﹣2）=2，﹣22=-4，﹣|﹣2|=-2，
將1.5，﹣（﹣1）100，﹣（﹣2），﹣22，﹣|﹣2|在數(shù)軸上表示為：
，
用“＜”號(hào)把它們按照從小到大的順序排列﹣22＜﹣|﹣2|＜﹣（﹣1）100＜1.5＜﹣（﹣2）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)、有理數(shù)的大小比較，乘方的意義，絕對(duì)值、相反數(shù)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，準(zhǔn)確將各數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．
13．（2021·福建三明·七年級(jí)期中）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右爬了2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為n．
（1）求n的值．
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意得出B表示的數(shù)，確定出n的值即可；
（2）根據(jù)n的范圍確定出n-1的正負(fù)，原式利用絕對(duì)值的代數(shù)意義化簡(jiǎn)，將n的值帶入（n-2）2即可得到結(jié)果．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意得：，
則n的值為；
（2）當(dāng)n=時(shí)，
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值的性質(zhì)和有理數(shù)的乘方，理解數(shù)軸上的數(shù)向右移動(dòng)加是解題的關(guān)鍵．
14．（2021·山東德州·七年級(jí)期中）計(jì)算：
（1）12+（﹣13）+8+（﹣7）；
（2）（﹣）×÷（﹣2）；
（3）﹣5+2×（﹣3）﹣（﹣12）÷（﹣2）；
（4）﹣12014+|﹣5|×（﹣）﹣（﹣4）2÷（﹣8）．
【答案】（1）0；（2）；（3）-17；（4）-7．
【解析】
【分析】
（1）利用有理數(shù)的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（2）利用有理數(shù)的乘除運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（3）利用有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；
（4）先計(jì)算乘方再利用有理數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可；
【詳解】
解：（1）12+（﹣13）+8+（﹣7）；
=12-13+8-7
=0
（2）（﹣）×÷（﹣2）；
=（﹣）××（﹣）
=
（3）﹣5+2×（﹣3）﹣（﹣12）÷（﹣2）；
=-5-6-6
=-17
（4）﹣12014+|﹣5|×（﹣）﹣（﹣4）2÷（﹣8）．
=-1-8-16÷（﹣8）
=-7
【點(diǎn)睛】
此題考查了有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算以及含乘方的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
15．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：
(1)（﹣3）2×[﹣+（﹣）]；
(2)﹣14+（﹣3）×[（﹣4）2+2]﹣（﹣2）3÷4；
(3)（﹣10）3+[（﹣4）2+（1﹣32）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×（﹣1）2020．
【答案】(1)﹣11；
(2)﹣53；
(3)﹣993
【解析】
【分析】
（1）先化簡(jiǎn)，利用乘法分配律計(jì)算即可；
（2）運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算：先乘方、后乘除、最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的；
（3）運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算：先乘方、后乘除、最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的．
(1)
原式＝9×（﹣﹣）
＝9×（﹣）+9×（﹣）
＝﹣6﹣5
＝﹣11；
(2)
原式＝﹣1﹣3×（16+2）﹣（﹣8）÷4
＝﹣1﹣3×18+8÷4
＝﹣1﹣54+2
＝﹣53；
(3)
原式＝﹣1000+[16+（1﹣9）×2]﹣（﹣0.28）÷0.04×1
＝﹣1000+（16﹣8×2）﹣（﹣7）×1
＝﹣1000+（16﹣16）+7
＝﹣1000+7
＝﹣993．
【點(diǎn)睛】
本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵，其中每一項(xiàng)的符號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn)．
16．（2021·四川成都·七年級(jí)期中）（1）（－6）－（－11）－7＋（－5）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）-7；（2）-84；（3）；（4）-19
【解析】
【分析】
先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．
【詳解】
解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=
=
=-84；
（3）原式=
=
=；
（4）原式=
=
=
=
=-19
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，注意運(yùn)算過(guò)程中運(yùn)用簡(jiǎn)便方法可以減小計(jì)算量．
17．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請(qǐng)按要求抽出卡片，完成下列問題：
(1)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，最大值是多少？
答：乘積最大值為 ．
(2)從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，最小值是多少？答：商的最小值為 ．
(3)從中取出2張卡片，用學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法，使結(jié)果最大，如何抽取？寫出運(yùn)算式子．寫出完整算式及運(yùn)算過(guò)程．
【答案】(1)15
(2)﹣
(3)選取﹣5和+4；（﹣5）4＝54＝625
【解析】
【分析】
（ 1）根據(jù)兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘，任何數(shù)和0相乘都得0，取絕對(duì)值盡量打且同號(hào)的相乘即可得答案．
（2 ）根據(jù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，則取絕對(duì)值盡量接近且異號(hào)的兩數(shù)相除即可得答案．
（ 3）學(xué)過(guò)的運(yùn)算方法有加減乘除、乘方運(yùn)算，使結(jié)果最大，可選絕對(duì)值較大的數(shù)進(jìn)行偶次方運(yùn)算即可．
(1)
解：從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，
可取﹣3和﹣5，
，
故答案為：15．
(2)
解：從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，可取﹣5和+3，
，
故答案為：﹣；
(3)
解：選取﹣5和+4
．
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)的乘除法及乘方運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
18．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列兩個(gè)等式：2，5．給出定義如下：使等式a﹣b＝ab+1成立的對(duì)有理數(shù)a，b為“共生有理數(shù)對(duì)”，記為（a，b）．如：數(shù)對(duì)（2，），（5，）都有“共生有理數(shù)對(duì)”．
(1)數(shù)對(duì)（﹣2，1），（3，）中是“共生有理數(shù)對(duì)”的是 ；
(2)請(qǐng)?jiān)賹懗隽硗庖粚?duì)符合條件的“共生有理數(shù)對(duì)” （不能與題目中已有的重復(fù)）．
(3)小丁說(shuō)：“若（a，b）是‘共生有理數(shù)對(duì)’，則（﹣b，﹣a）一定是‘共生有理數(shù)對(duì)’．”小丁說(shuō)的正確嗎？如果正確，請(qǐng)驗(yàn)證他的說(shuō)法；如果不正確，請(qǐng)舉出反例．
【答案】(1)（3，）
(2)（﹣2，3）（答案不唯一）
(3)小丁說(shuō)法是正確的
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)“共生有理數(shù)對(duì)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（2）對(duì)于有理數(shù)對(duì)，只要滿足新定義即可；
（3）用新定義驗(yàn)證即可．
(1)
∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣1，
∴﹣2﹣1≠﹣2×1+1．
∴（﹣2，1）不是“共生有理數(shù)對(duì)”．
∵3﹣，3×+1＝，
∴3﹣＝3×+1．
∴（3，）是“共生有理數(shù)對(duì)”，
故答案為：（3，）；
(2)
∵﹣2﹣3＝﹣5，
﹣2×3+1＝﹣6+1＝﹣5，
∴（﹣2，3）是“共生有理數(shù)對(duì)”，
故答案為：（﹣2，3）（答案不唯一）；
(3)
若（a，b）是‘共生有理數(shù)對(duì)’，
則a﹣b＝ab+1，
﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝ab+1，
∴（﹣b，﹣a）是‘共生有理數(shù)對(duì)’，
∴小丁說(shuō)法是正確的．
【點(diǎn)睛】
本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，能夠看懂定義并會(huì)運(yùn)用定義解決問題是解題的關(guān)鍵．乘方
65
(－5)4
－27
底數(shù)
指數(shù)

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