蘇科版數(shù)學(xué)七上期末壓軸題訓(xùn)練專題15 有關(guān)角的問題壓軸題八種模型全攻略（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考點一角的表示方法考點二鐘面角
考點三與方向角有關(guān)的計算題考點四角的單位與角度制
考點五三角板中角度計算問題考點六角平分線的有關(guān)計算
考點七幾何圖形中角度計算問題考點八角n等分線的有關(guān)計算
典型例題

考點一角的表示方法
例題：（2021·江蘇·南通市北城中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列四個圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個角的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)角的三種表示方法，可得正確答案．
【詳解】A、因為頂點O處有四個角，所以這四個角均不能用∠O表示，故本選項錯誤；
B、因為頂點O處只有一個角，所以這個角能用∠1，∠AOB，∠O表示，故本選項正確；
C、因為頂點O處有三個角，所以這三個角均不能用∠O表示，故本選項錯誤；
D、因為頂點O處有三個角，所以這三個角均不能用∠O表示，故本選項錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查了角的概念，熟記角的表示方法是解題關(guān)鍵．在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個大寫字母來記這個角．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東泰安·期末）下列選項中，能用∠1，∠APB，∠P三種方法表示同一個角的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)角的表示方法即可求解；
【詳解】解：當(dāng)以點P為頂點的角有多個時，不能用∠P表示∠APB，故A、C、D不符合題意；
故選：B
【點睛】本題主要考查角的表示，掌握角的表示方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如下圖，下列說法正確的是（）
A．與表示同一個角B．
C．圖中共有兩個角：，D．表示
【答案】A
【分析】根據(jù)角的表示方法表示各個角，再判斷即可．
【詳解】解：A．∠1與∠AOB表示同一個角，正確，故本選項符合題意；
B．不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；
C．圖中共有三個角：，，∠AOC，故選項錯誤，不符合題意；
D．表示，故選項錯誤，不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查了對角的表示方法的應(yīng)用，正確表示角是解題的關(guān)鍵．
考點二鐘面角
例題：（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級階段練習(xí)）時間為7點30分時，時針和分針形成的小于的角為___________°
【答案】
【分析】利用分針和時針的速度求夾角即可．
【詳解】解：分針?biāo)俣龋海ǘ?分），時針?biāo)俣龋海ǘ?分）
則7點30分時夾角為：．
故答案為：
【點睛】本題主要考查時鐘上的角度問題，搞清楚時針，分針的轉(zhuǎn)動速度，并轉(zhuǎn)化為行程問題是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東·曹縣第二初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）上午6點20分，鐘面上的時針與分針的夾角是__________．
【答案】70°##70度
【分析】利用鐘表表盤的特征進行分析：鐘表上有12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30°，即一個大格是30°，一個大格之間有5個小格，一個小格是6°，當(dāng)時針走30°，分針360°，時針是分針的，解答即可．
【詳解】解：6點20分，分針走了30°×4=120°，時針走了120°÷12=10°，
30°×2+10°=70°，
∴鐘面上的時針與分針的夾角是70°，
故答案為：70°．
【點睛】此題考查了鐘面角的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是掌握鐘表上從1到12一共有12格，每個大格30°，以及時針與分針走的度數(shù)之間的關(guān)系．
2．（2022·甘肅·甘州中學(xué)七年級期末）鐘表上的時針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，從8點到8點40分，時針轉(zhuǎn)了_____度，分針轉(zhuǎn)了_____度，8點40分時針與分針?biāo)傻慕鞘莀____度．
【答案】 20 240 20
【分析】根據(jù)分針每分鐘走6度，時針每分鐘走0.5度，乘以走的時間即可求解
【詳解】鐘表上的時針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，鐘表一圈有360度、60分鐘、12個小時，所以分針轉(zhuǎn)動的速度等于度/分鐘，時針轉(zhuǎn)動的速度等于度/分鐘．由題意可知，時針和分針都走了40分鐘，所以時針轉(zhuǎn)了度，分針轉(zhuǎn)了度，8點時時針與分針?biāo)纬傻慕鞘?20度，所以8點40分時針與分針?biāo)纬傻慕鞘?度．
故答案為：20；240；20
【點睛】本題考查鐘面角，需注意一開始時針與分針的位置不一定重合
考點三與方向角有關(guān)的計算題
例題：（2021·廣東廣州·七年級期中）如圖，點M位于點O的( )
A．東偏北35°方向B．北偏東35°方向
C．東偏北55°方向D．北偏東55°方向
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得出∠1=90°-35°=55°，再由方位角的表示方法即可得出結(jié)果．
【詳解】如圖，∠1=90°-35°=55°，
所以，點M位于點O的北偏東55°方向．
故選D．
【點睛】題目主要考查角度的計算及方位角的表示，熟練掌握方位角的表示方法是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東東營·期末）如圖，海上有兩艘軍艦和，由測得的方向是（）
A．北偏西B．北偏西C．南偏東D．南偏東
【答案】D
【分析】根據(jù)方向角的分類及已知角度即可求解．
【詳解】解：由圖可得A在B的北偏西的方向上，
故B在A的南偏東的方向上．
故選：D．
【點睛】本題考查了方向角的分類及表示，熟練掌握方向角的概念及分類是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，是表示北偏東的一條射線，是表示北偏西的一條射線，若，則表示的方向是（）
A．北偏東B．北偏東
C．北偏東D．北偏東
【答案】C
【分析】根據(jù)題意求得∠AOB的度數(shù)，根據(jù)角的和差以及，可得∠DOC的度數(shù)，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，
∵是表示北偏東的一條射線，是表示北偏西的一條射線，
∴，
∴，
∵，
，
，
．
故選C．
【點睛】本題考查了方位角的表示，幾何圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
考點四角的單位與角度制
例題：（2021·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)七年級階段練習(xí)）用度、分、秒表示34.18°＝_____°_____′_____″；用度表示45°19′12″＝_____°
【答案】 34 10 48 45.32
【分析】1°=60′，1′=60″，據(jù)此計算即可．
【詳解】34.18°中，整數(shù)部分是34，即有34°，
0.18×60=10.8′，整數(shù)部分為10，即有10′，
0.8×60=48″，即有48秒；
12″÷60=0.2′，
(19′+0.2′)÷60=0.32°，
即45°19′12″=45.32°．
故答案為：34,10,48,45.32．
【點睛】本題考查了角度的換算，掌握1°=60′，1′=60″，是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·黑龍江·蘭西縣崇文實驗學(xué)校期末）用度表示__________．
【答案】
【分析】根據(jù)度分秒的進制，進行計算即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴用度表示，
故答案為：．
【點睛】本題考查度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東·萬杰朝陽學(xué)校期中）=____度____分____秒；=______度．
【答案】 55 39 36 43.54
【分析】根據(jù)“60進制”的特點進行轉(zhuǎn)換，整數(shù)部分即是度的數(shù)值，小數(shù)部分乘以60得到的數(shù)的整數(shù)部分即是分的數(shù)值，再將此時的小數(shù)部分乘以60即是秒的數(shù)值；將秒的值除以3600加上分的數(shù)值除以60，再加上度的數(shù)值即可．
【詳解】解：，則度的數(shù)值為55，
，則分的數(shù)值為39，
，即秒的數(shù)值為36；
根據(jù)1°=，得，
，，
所以，
故答案為：55，39，36，43.54．
【點睛】本題主要考查了度、分、秒之間的轉(zhuǎn)化，掌握“60”進制是解答本題的關(guān)鍵．
考點五三角板中角度計算問題
例題：（2021·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)七年級階段練習(xí)）將一副三角尺按如圖所示的方式放置，∠BOC＝35°，∠AOD的度數(shù)是_____．
【答案】145°##度
【分析】根據(jù)三角板可得∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC=35°，可求出∠BOD=55°，∠AOC=55°，根據(jù)角的和差關(guān)系即可求出∠AOD．
【詳解】解：∵∠BOC+∠BOD=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠BOC=35°，
∴∠BOD=55°，∠AOC=55°，
∴∠AOD=∠AOC+∠BOC+∠BOD=55°+35°+55°=145°．
故答案為：145°．
【點睛】本題主要考查余角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出∠BOD=55°，∠AOC=55°．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣西河池·七年級期末）一副三角板擺放在一起的示意圖如下，若，則∠2的度數(shù)是______．
【答案】35°##35度
【分析】根據(jù)圖形直接用平角減去一個直角及∠1即可得出結(jié)果．
【詳解】解：根據(jù)圖形可得：
∠2=180°-90°-∠1=35°，
故答案為：35°．
【點睛】題目主要考查簡單的三角板中的角度計算，結(jié)合圖形進行求解是解題關(guān)鍵．
3．（2022·江蘇淮安·七年級期末）如圖，將一副三角板疊在一起，使它們的直角頂點O重合，若∠AOB=165°，則∠COD的度數(shù)為____．
【答案】15°##15度
【分析】先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出∠AOD+∠COB＝180°，進而可得出∠COD的度數(shù)．
【詳解】解：∵△AOD與△BOC是一副直角三角板，
∴∠AOD+∠COB＝180°，
∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°．
∵∠AOB＝165°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣165°＝15°．
故答案為15°．
【點睛】本題考查了角度的計算，熟知直角三角板的特點，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．
考點六角平分線的有關(guān)計算
例題：（2021·山東·濟南市萊蕪區(qū)方下魯西學(xué)校期中）如圖，OB是的平分線，OD是的平分線，，．求的度數(shù)．
【答案】
【分析】先由OB是的平分線求出，從而求出，再用OD是的平分線求出，最后用計算即可．
【詳解】∵OB是的平分線，，
∴，
∴．
又∵OD是的平分線，
∴，
又∵，
∴．
【點睛】本題考查與角平分線有關(guān)的角度計算，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·新疆·庫車市第七中學(xué)七年級期末）如圖，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．
【答案】120°，30°
【分析】先根據(jù)角平分線，求得的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關(guān)系，求得的度數(shù)，最后根據(jù)角平分線，求得、的度數(shù)．
【詳解】解：∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠BOE=∠AOB =45°，
又∵∠EOF=60°，
∴∠BOF=∠EOF－∠BOE= 15°，
又∵OF平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠BOF=30°，
∴∠AOC=∠AOB＋∠BOC=120°，
故∠AOC=120°，∠COB=30°．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算是解題的關(guān)鍵，注意：也可以根據(jù)的度數(shù)是度數(shù)的2倍進行求解．
2．（2021·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，已知∠AOB＝160°，OD是∠AOB內(nèi)一條射線，OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．
(1)若∠AOE＝55°，求∠EOC的度數(shù)；
(2)若∠BOC＝19°，求∠EOD的度數(shù)．
【答案】(1)∠EOC=80°
(2)∠EOD=61°
【分析】（1）先根據(jù)角平分線定義，結(jié)合∠AOE＝55°得到∠EOD＝∠AOE=55°，∠AOD=110°，求出∠DOB=50°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠DOC＝25°，根據(jù)∠EOC=∠EOD+∠DOC＝80°；
（2）先根據(jù)角平分線定義得到∠DOB＝2∠BOC＝38°，再求出∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝122°，然后根據(jù)角平分線定義得出∠EOD＝∠AOD＝61°．
（1）
解：∵OE平分∠AOD，∠AOE＝55°，
∴，，
∵∠AOB＝160°，
∴，
∵OC平分∠BOD，
∴，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC=55°+25°=80°．
（2）
解：∵OC平分∠BOD，∠BOC＝19°，
∴∠DOB＝2∠BOC＝38°，
∵∠AOB＝160°，
∴∠AOD＝∠AOB-∠DOB＝122°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠EOD＝∠AOD＝61°．
【點睛】本題主要考查角平分線的定義與角度的計算，仔細觀察圖形找到數(shù)量關(guān)系，是解答關(guān)鍵．
考點七幾何圖形中角度計算問題
例題：（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點重合．
(1)寫出以為頂點的相等的角；
(2)若，求度數(shù)；
(3)寫出與之間所具有的數(shù)量關(guān)系；
(4)當(dāng)三角板繞點旋轉(zhuǎn)時，你所寫出的（3）中的關(guān)系是否變化？請說明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)與互補
(4)不變，見解析
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等作答；
（2）由圖得∠DCE＝90°?∠ACE，求∠ACE的度數(shù)即可；
（3）∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；
（4）由（3）可得，當(dāng)三角板ACD繞點C旋轉(zhuǎn)時，不變化．
（1）
解：根據(jù)同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）
解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝150°?90°＝60°，
∴∠DCE＝90°?∠ACE＝90°?60°＝30°．
（3）
解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴∠ACB與∠DCE互補．
（4）
解：不變化．
∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴無論如何旋轉(zhuǎn)，∠ACB與∠DCE互補．
【點睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計算，解答本題需要熟悉一副三角板各角之間的關(guān)系．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·山東淄博·期中）如圖，以直線上一點為端點作射線，使，將一個直角三角形的直角頂點放在點處．（注：
(1)如圖①，若直角三角板的一邊放在射線上，則；
(2)如圖②，將直角三角板繞點逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若恰好平分，求的度數(shù)；
(3)如圖③，將直角三角板繞點轉(zhuǎn)動，如果始終在的內(nèi)部，試猜想和有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【答案】(1)20
(2)
(3)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)圖形得出，代入求出即可；
（2）根據(jù)角平分線定義求出，代入，求出，代入求出即可；
（3）根據(jù)圖形得出，，相減即可求出答案．
（1）
解：．
故答案為：20．
（2）
解：平分，，
，
，
，
，
．
（3）
解：，理由如下：
，，
，
即．
【點睛】本題主要考查了角平分線定義，角的計算的應(yīng)用，能根據(jù)圖形求出各個角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．
考點八角n等分線的有關(guān)計算
例題：（2021·黑龍江哈爾濱·七年級期末）若，為的三等分線，則_______．
【答案】或
【分析】分當(dāng)OC是∠AOB靠近OA的三等分線和當(dāng)OC時∠AOB靠近OB的三等分線兩種情況討論求解即可．
【詳解】解：如圖所示，當(dāng)OC是∠AOB靠近OA的三等分線，
∴；
如圖所示，當(dāng)OC時∠AOB靠近OB的三等分線，
，
故答案為：40°或80°．
【點睛】本題主要考查了角三等分線的定義，熟知定義是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖南長沙·七年級期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，則∠DOE＝________°．（用含n的代數(shù)式表示）
【答案】
【分析】根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵∠BOE=∠BOC，
∴∠BOC=n∠BOE，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=70°+n∠BOE，
∴∠BOD=∠AOB=+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=，
故答案為：．
【點睛】本題考查了角的計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·貴州畢節(jié)·七年級階段練習(xí)）如圖，點A、C、B三點在一直線上，從點C引射線CD、CE、CF，∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB．
(1)求∠DCF的大小，并說明理由；
(2)當(dāng)∠DCE＝∠ECA，∠FCE＝∠ECB時，直接寫出∠DCF的大小（用含n的代數(shù)式表示）．
【答案】(1)∠DCF=60°，理由見解析
(2)∠DCF=．
【分析】（1）利用角的和與角的差，平角的定義來計算即可；
（2）根據(jù)（1）的計算模式，把換成就可得出結(jié)果．
（1）
解：∵點A、C、B三點在一直線上，從點C引射線CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=60°；
（2）
解：∵點A、C、B三點在一直線上，從點C引射線CD、CE、CF，∠DCE=∠ECA，∠FCE=∠ECB，
∴∠DCF=∠DCE+∠FCE=（∠ECA+∠ECB）=×180°=．
【點睛】本題考查了角的計算、列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是掌握角的計算和根據(jù)題意列代數(shù)式．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2022·山東聊城·七年級期末）如圖，下列各個圖形中，能用，，三種方法表示同一個角的圖形是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)角的表示方法判斷即可．
【詳解】解：A、圖形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本選項不符合題意；
B、圖形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本選項不符合題意；
C、圖形中的∠1，能用∠AOB，∠O表示，本選項符合題意；
D、圖形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查的是角的表示方法，注意：唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角．
2．（2022·山東濟南·期末）如圖，OC是的平分線，，，則的度數(shù)為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義即可得．
【詳解】解：∵，，
，
是的平分線，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了角的和差、角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題關(guān)鍵．
3．（2022·浙江金華·一模）小明從A處出發(fā)沿北偏東50°方向行走至B處，又從B處沿南偏東70°方向行走至C處，則∠ABC等于（）
A．20°B．100°C．120°D．160°
【答案】C
【分析】根據(jù)方向角求出∠EBC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ABE即可得出答案．
【詳解】解：如圖：
∵小明從A處沿北偏東50°方向行走至點B處，又從點B處沿南偏東70°方向行走至點C處，
∴∠DAB=50°，∠CBE=70°，
∵向北方向線是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE=∠DAB=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=50°+70°=120°．
故選C．
【點睛】本題主要考查了方向角及平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行線的性質(zhì)．
4．（2022·河南三門峽·七年級期末）如圖，將一副三角板疊在一起，使它們的直角頂點重合于O點，已知∠AOB =160°，則∠COD的度數(shù)為( )
A．20°B．30°C．40°D．50°
【答案】A
【分析】先根據(jù)直角三角板的性質(zhì)得出，進而可得出的度數(shù)．
【詳解】解：，是一副直角三角板，
，
，
，
，
故選：．
【點睛】本題考查的是角的計算，余角，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角板的特點．
5．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）
A．165B．186C．199D．210
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件得出規(guī)律為從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是，代入即可得到答案．
【詳解】在銳角∠AOB內(nèi)部，
畫出1條射線，可以畫出3個銳角；
畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；
畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角；
……
從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是

畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為
故選：D．
【點睛】本題考查了角的概念，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律．
二、填空題
6．（2022·陜西咸陽·七年級期末）將28°36'用度表示為_____________°．
【答案】28.6
【分析】根據(jù)1°=60′，1′=60″，進行計算即可解答．
【詳解】解：28°36′=28.6°
故答案為：28.6
【點睛】本題考查了度分秒之間的換算，解決本題的關(guān)鍵是熟記1°=60′，1′=60″．
7．（2022·山東威?！て谀┤鐖D，∠AOB=160°，∠COB=20°．若OD平分∠AOC，則∠AOD的大小為______．
【答案】70°##70度
【分析】由∠AOB=160°，∠COB=20°，得∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°，又OD平分∠AOC，即得∠AOD=∠AOC=70°．
【詳解】解：∵∠AOB=160°，∠COB=20°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠AOC=70°，
故答案為：70°．
【點睛】本題考查角的和差，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的定義及角的加減．
8．（2022·河南駐馬店·七年級期末）如果一個角α的度數(shù)為13°14′，那么關(guān)于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解為______．
【答案】76°46′
【分析】將α的值代入一元一次方程，再解一元一次方程，即可解答．
【詳解】解：將α的值代入x的方程中，得：
2×13°14′﹣x＝180°﹣3x，
2x＝180°﹣2×13°14′，
2x＝153°32′，
x＝76.5°16′，
x＝76°46′，
關(guān)于x的方程2α﹣x＝180°﹣3x的解為：x＝76°46′，
故答案為：x＝76°46′．
【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
9．（2022·河北石家莊·七年級期末）在同一平面內(nèi)，若，，則____________．
【答案】或
【分析】分OC在∠AOB內(nèi)和OC在∠AOB外兩種情況考慮，依此畫出圖形，根據(jù)角與角之間結(jié)合∠AOB、∠AOC的度數(shù)，即可求出∠BOC的度數(shù)．
【詳解】解：當(dāng)OC在∠AOB內(nèi)時，如圖所示，
∵∠AOB=75°，∠AOC=27°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=75°-27°=48°；
當(dāng)OC在∠AOB外時，如圖所示，
∵∠AOB=75°，∠AOC=27°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=75°+27°=102°．
故答案為：48°或102°．
【點睛】本題考查了角的計算，分OC在∠AOB內(nèi)和OC在∠AOB外兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·遼寧·沈陽市第七中學(xué)七年級期中）已知，射線從與射線重合位置開始繞點O以每秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時射線從與射線重合位置開始繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線再次與射線更合時．兩條射線同時停止旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時，兩條射線旋轉(zhuǎn)的時間t的值為___．
【答案】10或20或70
【分析】根據(jù)時間和速度分別得和的度數(shù)，再由角的和與差表示出，即可列方程求解可得結(jié)論，需要注意分類討論．
【詳解】由題意得：
當(dāng)與沒有相遇前，此時，，
，
∴，
解得：；
當(dāng)與相遇以后在右邊時，此時，，
，
∴，
解得：；
當(dāng)與相遇以后在左邊時，此時，，
，
∴，
解得：；
綜上所述，當(dāng)時，兩條射線旋轉(zhuǎn)的時間t的值為10或20或70．
故答案為：10或20或70．
【點睛】本題考查了角度運動問題，分類討論并畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·河北·邯鄲市永年區(qū)教育科學(xué)研究所七年級期中）計算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)度分秒的進制進行計算即可解答；
（2）根據(jù)度分秒的進制進行計算即可解答；
【詳解】（1）解：

（2）解：原式
【點睛】此題考查度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進制是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·新疆·烏市八中七年級期中）如圖，已知，平分，且，求的度數(shù)．
【答案】108°
【分析】設(shè)，則、、均可用x表示出來，由來列方程，求出x，即可得出答案．
【詳解】解：設(shè)，則，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
解得，，
∴．
【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，正確理清角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·全國·七年級單元測試）時鐘上的分針和時針像兩個運動員，繞著它們的跑道晝夜不停地運轉(zhuǎn)．以下請你解答有關(guān)時鐘的問題：
(1)分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？
(2)中午12時整后再經(jīng)過幾分鐘，分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于？
(3)在(2)中所述分針與時針?biāo)傻拟g角等于后，再經(jīng)過幾分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)分針一小時轉(zhuǎn)一圈即360°，用360°除以60計算即得；
（2）根據(jù)分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°，時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差是，列方程解答即可；
（3）相對于12時整第二次所成的鈍角第二次等于時，時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差超過180°，這個差與之和是360°．
【詳解】（1）解：∵分針一小時轉(zhuǎn)一圈即360°,
∴分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是： ,
答：分針每分鐘轉(zhuǎn)了6度；
（2）設(shè)中午12時整后再經(jīng)過x分鐘，分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于121°，
∵時針一小時轉(zhuǎn)動角度為：，
時分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是：；
∵分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于，
∴時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差是，
∴，
解得：，
答：中午12時整后再經(jīng)過22分鐘，分針與時針?biāo)傻拟g角會第一次等于121°；
（3）設(shè)經(jīng)過y分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于，
則從12時算起經(jīng)過(y+22)分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于，
因為時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差超過180°，這個差與之和是360°，
故列得方程：，
解得：，
解得：，
答：經(jīng)過分鐘兩針?biāo)傻拟g角會第二次等于．
【點睛】本題通過鐘面角考查一元一次方程，掌握時針分針的轉(zhuǎn)動情況，會根據(jù)已知條件列方程是解題的關(guān)鍵．選擇合適的初始時刻會簡化理解和運算難度，起到事半功倍的效果．
14．（2022·遼寧·沈陽市第一二六中學(xué)七年級期中）如圖，，，平分，平分，
(1)求的度數(shù)=___________．
(2)如果將題目條件中“”改為“”，其他條件不變，求的度數(shù)=___________．
(3)如果將題目條件中“”改為“（為銳角）”，其他條件不變，求的度數(shù)=___________．
(4)從（1）（2）（3）所求的結(jié)果中你能看出與的關(guān)系___________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由已知結(jié)合圖形可求得的度數(shù)，再由角平分線的定義可分別求得與的度數(shù)，再由角的差的關(guān)系即可得結(jié)果；
（2）分析與（1）相同；
（3）分析與（1）相同；
（4）設(shè)，（為銳角），余下與（1）相同．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案為：．
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案為：．
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案為：．
（4）解：設(shè)，（為銳角），
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差運算等知識，結(jié)合圖形確定角的和差關(guān)系是關(guān)鍵．本題也體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．
15．（2022·河南·鄭州市第四初級中學(xué)七年級期末）【閱讀理解】
如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．
(1)∠AOB的角平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC＝．
【問題解決】
(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時，運動停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為t（s），當(dāng)t為何值時，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運線？試說明理由．
【答案】(1)是；
(2)40°或60°或80°；
(3)或或3．
【分析】（1）由角平分線的定義可得；
（2）分三種情況討論，即∠AOC=2∠BOC，2∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC三種情況，結(jié)合∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°可以求出∠AOC．
（3）分三種情況討論，由“幸運線”的定義，列出方程可求t的值．
（1）
解：∵一個角的平分線平分這個角，且這個角是所分兩個角的兩倍，
∴一個角的角平分線是這個角的“幸運線”，
故答案為：是．
（2）
解：∵射線OC在∠AOB內(nèi)部，
∴∠AOC+∠BOC=∠AOB =120°．
①當(dāng)∠AOC=2∠BOC時，∠AOC+∠BOC=3∠BOC =120°，
∴∠BOC=40°，
∴∠AOC=80°．
②當(dāng)2∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=3∠AOC =120°，
∴∠AOC=40°．
③當(dāng)∠AOB=2∠AOC或∠AOB=2∠BOC時，OC平分∠AOB，
∴∠AOC =∠AOB =60°．
綜上所述：∠AOC=40°或60°或80°．
故答案為： 40°或60°或80°．
（3）
解：∵射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的“幸運線”，
∴射線OP在以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的內(nèi)部．如下圖所示：
∴∠AOP=20t°，∠BOQ =10t°，
∴∠POQ=∠AOB-∠AOP-∠BOQ= (150-20t-10t)°=(150-30t)°,
∠AOQ=∠AOB -∠BOQ==(150-10t)°．
①當(dāng)∠AOP=2∠POQ時，則20t =2×(150-30t)，
∴t=．
②若∠POQ=2∠AOP，則150-30t =2×20t，
∴t=．
③若2∠AOP=∠AOQ或2∠POQ=∠AOQ，則2×20t=150-10t，
∴t=3．
綜上所述：t=或或3．
【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)，找等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．

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