專題04 指數函數與對數函數（知識梳理+考點精講精練+實戰(zhàn)訓練）-2025年高中數學學業(yè)水平合格性考試總復習（全國通用）.zip-試卷下載-教習網

1、了解指數冪的拓展過程，掌握指數冪的運算性質；
2、了解指數函數的實際意義，理解指數函數的概念；
3、能用描點法畫出具體指數函數的圖象，探索并理解指數函數的單調性與特殊點；
4、理解對數的概念和運算性質，能用換底公式將一般對數轉化為自然對數或常用對數；
5、了解對數函數的概念；
6、能用描點法畫出具體對數函數的圖象，探索并理解對數函數的單調性與特殊點；；
7、指導對數函數與指數函數互為反函數（且）
基礎知識梳理
1、根式的概念及性質
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指數，叫做被開方數．
（2）性質：
①(且)；
②當為奇數時，；當為偶數時，
2、分數指數冪
①正數的正分數指數冪的意義是(，，且)；
②正數的負分數指數冪的意義是(，，且)；
③0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義．
3、指數冪的運算性質
①；
②；
③.
4、指數函數及其性質
（1）指數函數的概念
函數(，且)叫做指數函數，其中指數是自變量，函數的定義域是．
（2）指數函數的圖象和性質
5、對數的概念
（1）對數：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作，其中叫做對數的底數，叫做真數.
（2）牢記兩個重要對數：常用對數，以10為底的對數；自然對數，以無理數e=2.71828…為底數的對數.
（3）對數式與指數式的互化：.
6、對數的性質、運算性質與換底公式
（1）對數的性質
根據對數的概念，知對數具有以下性質：
①負數和零沒有對數，即；
②1的對數等于0，即；
③底數的對數等于1，即；
④對數恒等式.
（2）對數的運算性質
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）對數的換底公式
對數的換底公式：.
換底公式將底數不同的對數轉化為底數相同的對數，進而進行化簡、計算或證明.換底公式應用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數或以為底的自然對數.
換底公式的變形及推廣：
①；
②；
7、對數函數及其性質
（1）對數函數的定義
形如(，且)的函數叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是．
（2）對數函數的圖象與性質
8、函數的零點
對于一般函數，我們把使成立的實數叫做函數的零點．注
意函數的零點不是點，是一個數.
9、函數的零點與方程的根之間的聯系
函數的零點就是方程的實數根，也就是函數的圖象與軸的交點的橫坐標
即方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．
10、零點存在性定理
如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數在區(qū)間內有零點，即存在，使得，這個也就是方程的根.
注：上述定理只能判斷出零點存在，不能確定零點個數.
11、常見函數模型
（1）指數函數模型（且，）
（2）對數函數模型（且，）
12、指數、對數、冪函數模型性質比較
考點精講講練
考點一：指數
【典型例題】
例題1．（2022天津）已知，，則的值為（）
A．B．2C．8D．15
例題2．（多選）（2024浙江）下列各式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
例題3．（2023山西）．
【即時演練】
1．已知，，化簡：．
2．若代數式有意義，則．
3．計算：
(1)；
(2)（，）.
考點二：指數函數的概念
【典型例題】
例題1．（2024安徽）若函數是指數函數，則有（）
A．B．
C．或D．，且
例題2．（2023新疆）設函數（且），滿足.
(1)求的值；
(2)若，求使不等式對任意實數恒成立的的取值范圍．
例題3．（2022江蘇）已知定義在上的奇函數f（x）滿足：時，.
(1)求的表達式；
(2)若關于的不等式恒成立，求的取值范圍.
【即時演練】
1．已知函數（且）是奇函數，則（）
A．2B．3C．D．4
2．已知指數函數，則的值為 .
3．已知函數為奇函數．
(1)求的值；
(2)判斷并證明的單調性；
(3)若存在實數，使得成立，求的取值范圍．
考點三：指數函數的圖象和性質
【典型例題】
例題1．（2024北京）在區(qū)間上，的最大值是其最小值的倍，則實數（）
A．B．C．D．
例題2．（2024云南）函數的最小值為（）
A．0B．1C．2D．3
例題3．（2024浙江）已知定義域為的函數，若對任意，，均有恒成立，則下列情形可能成立的是（）
A．B．C．D．
例題4．（2023海南）已知函數是奇函數.
(1)求實數的值；
(2)判斷函數的單調性，并用函數單調性的定義證明；
(3)若對于任意都有恒成立，求實數的取值范圍
例題5．（2020貴州）已知定義在上的函數.
（1）寫出的單調區(qū)間；
（2）已知，對所有，恒成立，求的取值范圍.
【即時演練】
1．已知，則的大小關系為（）
A．B．
C．D．
2．函數的大致圖象是（）
A．B．
C．D．
3．函數的圖象恒過定點，則點坐標為 .
4．已知定義域為的函數是奇函數.
(1)求實數的值；
(2)判斷函數的單調性，并用定義加以證明；
(3)若對任意的，不等式成立，求實數的取值范圍.
5．已知函數是定義在R上的奇函數．
(1)求的解析式；
(2)求當時，函數的值域．
考點四：對數
【典型例題】
例題1．（2024云南）已知.若，則（）
A．0B．1C．2D．3
例題2．（2024福建）若，，則等于（）
A．B．C．D．
例題3．（2024湖北）已知，則 .
例題4．（2021江蘇）計算
【即時演練】
1．計算：（）
A．8B．C．D．
2．計算： .
3．計算： .
4．計算：．
考點五：對數函數的概念
【典型例題】
例題1．（2024北京）函數的定義域為（）
A．B．C．D．
例題2．（多選）（2024浙江）若函數，則下列選項正確的是（）
A．定義域為B．值域為
C．圖象過定點D．在定義域上單調遞增
例題3．（2023云南）函數的定義域是（用區(qū)間表示）
【即時演練】
1．若函數的定義域為，則實數取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．若是奇函數，當時，．
3．函數的定義域為．
考點六：對數函數的圖象和性質
【典型例題】
例題1．（2024北京）在下列函數中，在區(qū)間上單調遞減的是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024湖北）如圖，是函數的圖象，是由經軸對稱變換得到的函數圖象，則對應的函數解析式分別是（）
A．
B．
C．
D．
例題3．（2023吉林）已知，，，則（）
A．B．
C．D．
例題4．（2023遼寧）已知為定義在R上的奇函數，且當時，．求：
(1)時，的解析式；
(2)不等式的解集．
例題5．（2024湖北）已知函數，且.
(1)當時，判斷函數的單調性，并加以證明；
(2)對給定的非零常數，是否存在實數，使得為奇函數？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【即時演練】
1．已知，，，則（）
A．B．C．D．
2．函數的大致圖象是（）
A．B．
C．D．
3．已知且，若函數的圖象經過定點，則定點坐標．
4．函數的單調增區(qū)間為．
5．已知（，且），且．
(1)求a的值及的定義域；
(2)求在上的最小值．
考點七：不同函數增長差異
【典型例題】
例題1．（多選）已知函數，則下列關于這三個函數的描述中，正確的是（）
A．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于
B．隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于
C．當時，增長速度一直快于
D．當時，增長速度有時快于
例題2．已知實數滿足.則下列關系式中可能成立的是 .（填序號）
① ② ③ ④ ⑤
【即時演練】
1．“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝”，如圖給出了紅豆生長時間t（月）與枝數y（枝）的散點圖，那么最適合擬合紅豆的枝數與生長時間的關系的函數是（）

A．指數函數B．對數函數y=lg2t
C．冪函數y=t3D．二次函數y=2t2
2．（1）（2）（3）分別是與在不同范圍內的圖象，估算出使的的取值范圍是 .（參考數據：，）

考點八：函數的零點與方程的解
【典型例題】
例題1．（2022河北）已知函數，若，且，則（）
A．B．C．D．或
例題2．（2024福建）已知x=1是函數的零點，則m為（）
A．1B．2C．3D．4
例題3．（2024高二上·北京·學業(yè)考試）已知函數的部分圖象如圖所示．

(1)求f1的值；
(2)求函數的零點．
例題4．（2024福建）已知函數且．
(1)求實數a的值；
(2)若函數在上恰有兩個零點，求實數的取值范圍．
【即時演練】
1．若為函數的零點，則所在區(qū)間為（）
A．B．C．D．
2．已知定義在上的函數的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下部分對應值表：
判斷函數的零點個數至少有（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．已知函數
(1)若a=2，當時，求函數的值域；
(2)若關于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍．
考點九：函數模型的應用
【典型例題】
例題1．（2024湖北）復利是一種計算利息的方法，即把前一期的利息與本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息.按復利計算利息的一種儲蓄，本金為10000元，每期利率為，本利和為（單位：元），存期數為，則關于的函數解析式為（）
A．B．
C．D．
例題2．（2024浙江）有一組實驗數據如表，則體現這組數據的最佳函數模型是（）
A．B．
C．D．
例題3．（2023甘肅）心理學家有時間用函數測定在時間（單位：min）內能夠記憶的量，其中表示需要記憶的量，表示記憶率.假設一個學生需要記憶的量為200個單詞，此時表示在時間內該生能夠記憶的單詞個數.已知該生在5min內能夠記憶20個單詞，則的值約為（，）（）
A．0.021B．0.221C．0.461D．0.661
例題4．（2024廣東）某城市為了鼓勵居民節(jié)約用電采用階梯電價的收費方式，即每戶用電量不超過的部分按0.6元收費，超過的部分，按1.2元收費.設某用戶的用電量為，對應電費為元.
(1)請寫出關于的函數解析式；
(2)某居民本月的用電量為，求此用戶本月應繳納的電費.
【即時演練】
1．你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩，已知某種煙花距地面的高度h（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的關系式為，則煙花爆裂的高度是（）
A．56.6米B．57.6米
C．58.6米D．59.6米
2．下列函數中，當x充分大時，增長速度最快的是（）
A．B．C．D．
3．已知甲地下停車庫的收費標準如下：（1）停車不超過1小時免費；（2）超過1小時且不超過3小時，收費5元；（3）超過3小時且不超過6小時，收費10元；（4）超過6小時且不超過9小時，收費15元；（5）超過9小時且不超過12小時，收費18元；（6）超過12小時且不超過24小時，收費24元．小林在2024年10月7日10：22將車停入甲車庫，若他在當天18：30將車開出車庫，則他需交的停車費為．乙地下停車庫的收費標準如下：每小時2元，不到1小時按1小時計費．若小林將車停入乙車庫（停車時長不超過24小時），要使得車停在乙車庫比甲車庫更優(yōu)惠，則小林停車時長的最大值為．
4．學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的研究調查中，發(fā)現其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數與聽課時間（單位：分鐘）之間的關系滿足如圖所示的圖象，當時，圖象是二次函數的一部分，頂點為，聽課時間為12分鐘與聽課時間為8分鐘的的注意力指數都為78，聽課時間為4分鐘的注意力指數為62；當時，圖象是線段，其中．
(1)求關于的函數解析式；
(2)根據專家研究，當注意力指數大于62時，學習效果最佳，要使學生學習效果最佳，教師安排核心內容應在什么時間段？
實戰(zhàn)能力訓練
一、單選題
1．下列函數中，既是奇函數又是區(qū)間上的增函數的是（）
A．B．
C．D．
2．設，下列計算中正確的是（）
A．B．
C．D．
3．已知，則.（）
A．B．
C．D．
4．已知函數，則的值為（）
A．B．0C．1D．2
5．下列函數中，在區(qū)間上單調遞增的是（）
A．B．
C．D．
6．函數的零點所在的區(qū)間是（）
A．B．C．D．
7．已知函數若，則實數的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
8．某工程需要向一個容器內源源不斷地注入某種液體，有三種方案可以選擇，這三種方案的注入量隨時間變化如下圖所示：

橫軸為時間（單位：小時），縱軸為注入量，根據以上信息，若使注入量最多，下列說法中錯誤的是（）
A．注入時間在小時以內（含小時），采用方案一
B．注入時間恰為小時，不采用方案三
C．注入時間恰為小時，采用方案二
D．注入時間恰為10小時，采用方案二
二、多選題
9．已知函數的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表：
在下列區(qū)間中，函數必有零點的區(qū)間為（）
A．B．C．D．
10．下列運算正確的有（）
A．B．
C．D．
三、填空題
11．函數的零點是．
12．李明自主創(chuàng)業(yè)，經營一家網店，每售出一件商品獲利8元.現計劃在“五一”期間對商品進行廣告促銷，假設售出商品的件數（單位：萬件）與廣告費用（單位：萬元）符合函數模型.若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用應投萬元，獲得總利潤為萬元.
四、解答題
13．已知，
(1)求的值；
(2)用a，b表示.
14．計算下列各式的值：
(1)
(2)
15．已知函數（其中）
(1)當時，求函數的零點；
(2)討論關于的不等式的解集.
16．某企業(yè)在現有設備下每日生產總成本y（單位：萬元）與日產量x（單位：噸）之間的函數關系式：，近年來各部門都非常重視大氣污染防治工作，為了配合環(huán)境衛(wèi)生綜合整治，該企業(yè)引進了除塵設備，每噸產品的除塵費用為k萬元，引進除塵設備后，當日產量時，總成本為142萬元.
(1)求：k的值；
(2)若每噸產品出廠價為48萬元，求：引進除塵設備后日產量為多少時，每噸產品的利潤最大
17．已知函數，且.
(1)求實數的值，在圖中作出的圖象（可直接作圖，不用書寫過程），并求函數有個不同的零點時實數的取值范圍；
(2)若函數在區(qū)間上為增函數，求實數的取值范圍.
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26934" 明晰學考要求 PAGEREF _Tc26934 \h 1
\l "_Tc7852" 基礎知識梳理 PAGEREF _Tc7852 \h 1
\l "_Tc6171" 考點精講講練 PAGEREF _Tc6171 \h 5
\l "_Tc14474" 考點一：指數 PAGEREF _Tc14474 \h 5
\l "_Tc25204" 考點二：指數函數的概念 PAGEREF _Tc25204 \h 6
\l "_Tc28354" 考點三：指數函數的圖象和性質 PAGEREF _Tc28354 \h 7
\l "_Tc26794" 考點四：對數 PAGEREF _Tc26794 \h 9
\l "_Tc10160" 考點五：對數函數的概念 PAGEREF _Tc10160 \h 10
\l "_Tc2258" 考點六：對數函數的圖象和性質 PAGEREF _Tc2258 \h 10
\l "_Tc23933" 考點七：不同函數增長差異 PAGEREF _Tc23933 \h 12
\l "_Tc16184" 考點八：函數的零點與方程的解 PAGEREF _Tc16184 \h 14
\l "_Tc25347" 考點九：函數模型的應用 PAGEREF _Tc25347 \h 15
\l "_Tc9247" 實戰(zhàn)能力訓練 PAGEREF _Tc9247 \h 17
底數
圖象
性質
定義域為，值域為
圖象過定點
當時，恒有；
當時，恒有
當時，恒有；
當時，恒有
在定義域上為增函數
在定義域上為減函數
注意
指數函數(，且)的圖象和性質與的取值有關，應分與來研究
圖象
性質
定義域：
值域：
過點，即當時，
在上是單調增函數
在上是單調減函數
函數
性質
在(0，＋∞)上的增減性
單調遞增
單調遞增
單調遞增
增長速度
先慢后快，指數爆炸
先快后慢，增長平緩
介于指數函數與對數函數之間,相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大，圖象與軸接近平行
隨x的增大，圖象與軸接近平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個，當時，有
1
2
3
4
5
6
136.1
15.6
10.9
2
3
4
5
6
1.40
2.56
5.31
11
21.30

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多