1、認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征；
2、能用公式計(jì)算球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積；
3、能用斜二測(cè)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖；
4、了解4個(gè)基本事實(shí)和3個(gè)推論，了解等角定理
5、了解空間中直線與直線，直線與平面，平面與平面的平行和垂直關(guān)系
6、能用平行，垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理證明空間基本圖象的位置關(guān)系。
基礎(chǔ)知識(shí)梳理
1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
（1）棱柱的定義
定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行 ，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行 ，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱
底面(底)：兩個(gè)互相平行的面
側(cè)面：其余各面
側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊
頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)
（2）棱錐的定義
定義：有一面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐
底面：多邊形面
側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各三角形面
側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊
頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)
（3）棱臺(tái)的定義
定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺(tái)
上底面：原棱錐的截面
下底面：原棱錐的底面
側(cè)面：除上下底面以外的面
側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊
頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)
（4）圓柱的定義
以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體
圓柱的軸：旋轉(zhuǎn)軸
圓柱的底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面
圓柱的側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面
圓柱側(cè)面的母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊
（5）圓錐的定義
以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體
軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸
底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面
側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面
母線：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊
錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱(chēng)為錐體
（6）圓臺(tái)的定義
用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)
軸：圓錐的軸
底面：圓錐的底面和截面
側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分
母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分
臺(tái)體：棱臺(tái)和圓臺(tái)統(tǒng)稱(chēng)為臺(tái)體
（7）球
球的表面積和體積
（1）球的表面積：
（2）球的體積:
2、直觀圖
（1）空間幾何體的直觀圖的繪制方法
（1）畫(huà)軸. 在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點(diǎn), 畫(huà)直觀圖時(shí)，把它們分別畫(huà)成對(duì)應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點(diǎn), 且使”(或）, 它們確定的平面表示水平面；
（2）畫(huà)底面. 已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)成平行于軸、軸或軸的線段；
（3）畫(huà)側(cè)棱. 已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中保持長(zhǎng)度不變，平行于軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；
（4）成圖. 連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間圖形的直觀圖.
簡(jiǎn)記為：①畫(huà)軸；②畫(huà)底面；③畫(huà)側(cè)棱；④成圖.
（2）斜二測(cè)畫(huà)法保留了原圖形中的三個(gè)性質(zhì)
①平行性不變，即在原圖中平行的線在直觀圖中仍然平行；②共點(diǎn)性不變，即在原圖中相交的直線仍然相交；③平行于x，z軸的長(zhǎng)度不變．
3、柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積
4、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式
5、與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)
（1）基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：,,三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面,使,,.
（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：,,且,
（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線
數(shù)學(xué)語(yǔ)言：,且 ,且
6、基本事實(shí)1的三個(gè)推論
推論1:經(jīng)過(guò)一條直線與這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;
推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;
推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.
7、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
8、直線與平面平行
（1）直線與平面平行的定義
直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱(chēng)直線與平面平行.
（2）直線與平面平行的判定定理
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號(hào)表述：
（3）直線與平面平行的性質(zhì)定理
如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行
符號(hào)表述：，，
9、平面與平面平行
（1）平面與平面平行的定義
兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)
（2）平面與平面平行的判定定理
如果一個(gè)平面內(nèi)的有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.
符號(hào)表述：
（3）平面與平面平行的性質(zhì)定理
性質(zhì)定理
兩個(gè)平行平面，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.
符號(hào)語(yǔ)言
性質(zhì)
兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行與另一平面
符號(hào)語(yǔ)言：
10、直線與平面垂直
（1）直線和平面垂直的定義
如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線垂直于平面，記為．直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，垂線與平面的交點(diǎn)P叫垂足.
符號(hào)語(yǔ)言：對(duì)于任意，都有.
（2）直線和平面垂直的判定定理
如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.
簡(jiǎn)記：線線垂直線面垂直
符號(hào)語(yǔ)言：，，，，
（3）直線和平面垂直的性質(zhì)定理
定義轉(zhuǎn)化性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，那么直線垂直于平面內(nèi)所有直線.
符合語(yǔ)言：，.
性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
符合語(yǔ)言：，
11、平面與平面垂直
11.1、平面與平面垂直的定義
（1）定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.
（2）符號(hào)語(yǔ)言:
（3）圖形語(yǔ)言
11.2、平面與平面垂直的判定
（1）定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)
（2）符號(hào)（圖形）語(yǔ)言:，
11.3、平面與平面垂直的性質(zhì)定理
（1）定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．
(2)符號(hào)（圖形）語(yǔ)言：，， .
考點(diǎn)精講講練
考點(diǎn)一：基本立體圖形
【典型例題】
例題1．（2023廣西）如圖、以矩形的邊所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是（ ）
A．圓錐B．圓臺(tái)C．圓柱D．球
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的結(jié)構(gòu)特征辨析、由平面圖形旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)體
【分析】根據(jù)圓柱的形成即可得到答案.
【詳解】以矩形的邊所在直線為軸，
其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓柱.
故選：C.
例題2．（2023北京）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，則（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、棱柱及其有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)求解.
【詳解】在長(zhǎng)方體中，，
故選：B
例題3．（2023江蘇）如圖所示，在三棱臺(tái)中，沿平面截去三棱錐，則剩余的部分是（ ）
A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．四棱柱
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、棱錐的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)
【分析】根據(jù)錐體、柱體、臺(tái)體等知識(shí)確定正確答案.
【詳解】截去三棱錐，則剩余的部分是四棱錐.
故選：B
例題4．（2023浙江）在公元前4世紀(jì)中葉，中國(guó)天文學(xué)家有一套測(cè)定天體球面坐標(biāo)的儀器稱(chēng)作渾儀，比古希臘早了近60年.渾儀是由兩個(gè)重重的同心圓環(huán)構(gòu)成，整體看上去，近似一個(gè)球體.它的運(yùn)行制作原理可以如下解釋?zhuān)膱A環(huán)的小球半徑為r，大球的半徑為R，大球內(nèi)安放六根等長(zhǎng)的金屬絲（不計(jì)粗細(xì)），使小球能夠在金屬絲框架內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若，則r的最大值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】球的截面的性質(zhì)及計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】小球與正四面體的各條棱相切，大球?yàn)檎拿骟w的外接球，即可保證最大，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，為的中心，可得平面，求得，，在直角中，求得，過(guò)點(diǎn)作，求得，即可求解.
【詳解】由題意，小球與正四面體的各條棱相切，大球?yàn)檎拿骟w的外接球，即可保證最大，
如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，為的中心，可得平面，
因?yàn)槠矫?，則，且，
所以，
在直角中，，可得，
解得，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
在直角中，可得，
即小球的最大半徑為
故答案為：.
【即時(shí)演練】
1．如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（ ）
A．四棱臺(tái)B．四棱錐C．四棱柱D．三棱柱
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)
【分析】根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征直接判斷即可.
【詳解】記水面與三棱柱四條棱的交點(diǎn)分別為，如圖所示，
由三棱錐性質(zhì)可知，和是全等的梯形，
又平面平面，
平面分別與平面和相交于，
所以，同理，
又，所以互相平行，
所以盛水部分的幾何體是四棱柱.
故選：C
2．如圖圓柱的底面周長(zhǎng)是，圓柱的高為，為圓柱上底面的直徑，一只螞蟻如果沿著圓柱的側(cè)面從下底面點(diǎn)處爬到上底面點(diǎn)處，那么它爬行的最短路程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】圓柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題
【分析】把圓柱沿母線AC剪開(kāi)后展開(kāi)，點(diǎn)展開(kāi)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷螞蟻爬行的最短路徑為，利用勾股定理計(jì)算出即可．
【詳解】
把圓柱沿母線AC剪開(kāi)后展開(kāi)，點(diǎn)展開(kāi)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，
則螞蟻爬行的最短路徑為，
如圖，由題意可知，，
在，，
所以它爬行的最短路程為，
故選：C
3．如圖所示是一個(gè)無(wú)蓋的瓶子，該瓶子由上部分圓柱和下部分圓臺(tái)構(gòu)成，圓柱的底面圓的半徑為1，圓臺(tái)的下底面圓的半徑為2，圓柱和圓臺(tái)的高相等，若該瓶子的側(cè)面積為，則瓶子的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算、柱體體積的有關(guān)計(jì)算、圓臺(tái)表面積的有關(guān)計(jì)算、圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)圓柱和圓臺(tái)的側(cè)面積和體積公式求解即可.
【詳解】設(shè)圓柱和圓臺(tái)的高為，圓臺(tái)的母線為，則.
瓶子的側(cè)面積，
解得.
瓶子的體積.
故選：A.
4．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為2的半圓，則該圓錐的高為
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】圓錐的結(jié)構(gòu)特征辨析、圓錐中截面的有關(guān)計(jì)算
【分析】由題意可知圓錐的母線長(zhǎng)為2，根據(jù)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為圓錐的底面圓的周長(zhǎng)，可求得底面圓的半徑，進(jìn)而求得圓錐的高.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，高為，
有題意知，，解得，
所以.
故答案為：.
考點(diǎn)二：立體圖形直觀圖
【典型例題】
例題1．（多選）（2023福建）水平放置的的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，已知，，軸，則中以下說(shuō)法正確的是（ ）

A．是直角三角形B．長(zhǎng)為
C．長(zhǎng)為D．邊上的中線長(zhǎng)為
【答案】ACD
【知識(shí)點(diǎn)】由直觀圖還原幾何圖形、斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算
【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則，即可求解.
【詳解】因?yàn)檩S，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知，即為直角三角形，如圖所示，
又因?yàn)?，可得，，所以?br>所以邊上的中線長(zhǎng)度為．
故選：ACD.

例題2．（2024浙江）如圖，是水平放置的的直觀圖，，，，則原的面積為 .
【答案】12
【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算、由直觀圖還原幾何圖形
【分析】畫(huà)出原圖，可得，再求面積即可.
【詳解】如圖，可得，，，，
則原的面積為.
故答案為：12.
【即時(shí)演練】
1．的斜二測(cè)直觀圖如圖所示，則的面積是 .

【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則，求出的底邊及這邊上的高即可計(jì)算得解.
【詳解】依題意，由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知，的底邊，
邊上的高，所以的面積是.
故答案為：.
2．如圖所示，為四邊形OABC的斜二測(cè)直觀圖，其中．則原平面四邊形OABC的面積為 ．
【答案】5
【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算、由直觀圖還原幾何圖形
【分析】由題圖及斜二測(cè)畫(huà)法確定原四邊形的形狀，進(jìn)而求其面積.
【詳解】由斜二測(cè)畫(huà)法，知原圖形中，且，
所以原平面四邊形OABC為直角梯形，面積為.
故答案為：5
3．如圖，矩形是由斜二測(cè)畫(huà)法得到的水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形是 ，其面積為 ．

【答案】 菱形
【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算、由直觀圖還原幾何圖形
【分析】作出原圖形，可知原圖形為菱形，計(jì)算出的面積即可得解.
【詳解】如圖，在原圖形中，

應(yīng)有，又，
所以，
所以，故四邊形是菱形．
.
故答案為：菱形，.
考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積
【典型例題】
例題1．（2024北京）小明同學(xué)在通用技術(shù)課上，制作了一個(gè)半正多面體模型．他先將正方體交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)分別記為，如圖1所示，然后截去以為底面的正三棱錐，截后幾何體如圖2所示，按照這種方法共截去八個(gè)正三棱錐后得到如圖3所示的半正多面體模型．若原正方體的棱長(zhǎng)為6，則此半正多面體模型的體積為（ ）

A．108B．162C．180D．189
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求組合體的體積
【分析】正方體的體積減掉8個(gè)以為底面的正三棱錐的體積即得此半正多面體模型的體積.
【詳解】設(shè)此半正多面體模型的體積為，
則.
故選：C.
例題2．（2022河北）已知是球的球面上一點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)作垂直于直線的平面，若該球被這個(gè)平面截得的圓面的面積為，則該球的表面積是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算
【分析】本題涉及球的截面相關(guān)概念.球的截面是一個(gè)圓，根據(jù)圓的面積公式（其中為面積，為半徑），可求出截面圓的半徑.再利用球的截面性質(zhì)，設(shè)球的半徑為，截面圓半徑為，球心到截面的距離（這里），通過(guò)勾股定理求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積.
【詳解】已知截面圓的面積為，根據(jù)圓的面積公式，可得，解得.
設(shè)球的半徑為，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以球心到截面的距離.
根據(jù)勾股定理，將，代入可得：
,則，則，則，解得.
根據(jù)球的表面積公式，將代入可得：
故選：C.
例題3．（2024浙江）一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體頂點(diǎn)都在同一個(gè)球上，則該球體的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的直徑是正方體的對(duì)角線，從而得到結(jié)果．
【詳解】∵棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，
∴球的直徑是正方體的對(duì)角線，
∴球的半徑是r，
∴球的表面積是4
故選：A
例題4．（2024安徽）在中，，，，若將繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、求旋轉(zhuǎn)體的體積
【分析】畫(huà)出旋轉(zhuǎn)體的圖象，根據(jù)圓錐體積公式求出幾何體的體積.
【詳解】如圖所示，
旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐，
所以，
所以旋轉(zhuǎn)體的體積為：.
故答案為：
【即時(shí)演練】
1．已知一個(gè)正四棱柱和某正四棱錐的底面邊長(zhǎng)相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則此正四棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】棱柱表面積的有關(guān)計(jì)算、棱錐表面積的有關(guān)計(jì)算、柱體體積的有關(guān)計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)正四棱柱及正四棱錐的體積公式可得正四棱錐的高與斜高的關(guān)系式，進(jìn)而可得解.
【詳解】

如圖所示，正四棱柱為，正四棱錐，
設(shè)底邊邊長(zhǎng)，高，
則，
又正四棱柱的側(cè)面積，
正四棱錐的側(cè)面積，
則，解得，
所以正四棱錐體積，
故選：B.
2．正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，高為，則其側(cè)面積為（ ）
A．20B．24C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】棱臺(tái)表面積的有關(guān)計(jì)算
【分析】作出輔助線，求出側(cè)高，得到側(cè)面積.
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)分別作⊥，⊥，垂足分別為，
其中，故，
所以，
又，由勾股定理得，
其中，由勾股定理得，
故梯形的面積為，
其側(cè)面積為.
故選：B
3．已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、正棱錐及其有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)已知得出斜高，從而可得正四棱錐的高，由體積公式可得正四棱錐的體積.
【詳解】如圖，正四棱錐，，為底面正方形中心，為中點(diǎn)，
由已知可得，
所以，
又，所以，
所以正四棱錐的體積為.
故選：.
4．若正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，且高為1，則其體積為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算
【分析】由臺(tái)體體積公式進(jìn)行求解.
【詳解】體積.
故答案為：
5．已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑為3，且弧長(zhǎng)為的扇形，則該圓錐的體積等于 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算
【分析】根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖扇形弧長(zhǎng)可求得底面半徑，并利用勾股定理求得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，則，解得：，
圓錐的高，圓錐的體積.
故答案為：.
考點(diǎn)四：空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系
【典型例題】
例題1．（2024北京）如圖，在三棱柱中，底面是的中點(diǎn)，則直線（ ）
A．與直線相交B．與直線平行
C．與直線垂直D．與直線是異面直線
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】異面直線的判定
【分析】由直三棱柱的特征逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】易知三棱柱為直三棱柱，
由圖易判斷與異面，AB錯(cuò)誤；
因?yàn)?與相交但不垂直，所以與直線不垂直，C錯(cuò)誤；
由圖可判斷與直線是異面直線，D正確.
故選：D
例題2．（2022河北）已知是一條直線，是兩個(gè)不同的平面，有以下結(jié)論：
①若，則； ②若，則；
③若，則. ④若，則.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷
【分析】根據(jù)空間中線面、面面之間的基本關(guān)系，依次判斷命題即可.
【詳解】①：若，則，故①正確；
②：若，則或與相交或，故②錯(cuò)誤；
③：若，則或與相交，故③錯(cuò)誤；
④：若，則，故④正確.
故選：D
例題3．（2024浙江）在正四面體中，是的中點(diǎn)，在的延長(zhǎng)線上，，則異面直線和所成角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角
【分析】連接，或其補(bǔ)角為異面直線和所成角，在中由余弦定理求得及和所成角的正弦值.
【詳解】連接，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，
所以或其補(bǔ)角為異面直線和所成角，
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，
在中由余弦定理得，
所以和所成角的正弦值為，
故選：B

【即時(shí)演練】
1．已知平面、滿足，若異面直線、滿足，，則與、的位置關(guān)系是（ ）
A．至多與、中的一條相交B．至少與、中的一條相交
C．至少與、中的一條異面D．至少與、中的一條平行
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】異面直線的概念及辨析
【分析】根據(jù)異面直線的定義直接判斷.
【詳解】異面直線、滿足，，，
則與平行或相交，與平行或相交，
但直線與，不能同時(shí)平行，
若直線與，同時(shí)平行，則與平行，與兩直線異面矛盾，
所以至少與、中的一條相交，
故選：B.
2．在以下四圖中，直線與直線可能平行的位置關(guān)系只能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】異面直線的概念及辨析、異面直線的判定
【分析】利用異面直線的判定及公理的應(yīng)用判定選項(xiàng)即可.
【詳解】選項(xiàng)A中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面；
選項(xiàng)B中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面；
選項(xiàng)C中，平面內(nèi)的兩直線相交，兩相交直線能確定一個(gè)平面，
則a與b有可能平行；
選項(xiàng)D中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面．
故選：C．
3．如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角
【分析】證明，，結(jié)合異面直線夾角定義可得為異面直線與所成的角，解三角形求其余弦值.
【詳解】連接，，，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，
所以，
因?yàn)?，，，?br>所以，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，
所以為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），
因?yàn)闉榈冗吶切?，所以?br>故，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：C.
4．（多選）如圖，這是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，若將它還原為正方體，則（ ）
A．B．
C．直線與異面D．直線與異面
【答案】AD
【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、異面直線的判定
【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出該正方體的直觀圖，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出該正方體的直觀圖，
對(duì)于A，易得，A正確；
對(duì)于B，與異面，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，直線與相交，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，直線與異面，D正確.
故選：AD.
考點(diǎn)五：空間直線、平面的平行
【典型例題】
例題1．（多選）（2024湖北）如圖，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則直線與平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【知識(shí)點(diǎn)】判斷線面平行
【分析】根據(jù)線面平行的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)A：如圖：
連接，交于點(diǎn)，連接，則，平面，
且直線與直線不平行，所以直線與平面相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B：如圖：
因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，故B正確；
對(duì)C：如圖：
取中點(diǎn)，易證四點(diǎn)共面，且，平面，
平面，所以平面，故C正確；
對(duì)D：如圖：
連接，則，平面，平面，
所以平面，故D正確.
故選：BCD
例題2．（2023山西）如圖所示，三棱柱，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱底面，點(diǎn)分別是棱，上的點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，．

(1)求證平面；
(2)求與所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)與所成角的余弦值為.
【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角、證明線面平行
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接；證明，根據(jù)線面平行判定定理證明平面；
（2）根據(jù)異面直線夾角定義證明為直線與所成角，解三角形求其余弦值即可.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，

∵分別為的中點(diǎn)，∴，，
由，且，
∴，且 ，
∴四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，
∴平面；
（2）因?yàn)椋?br>所以為直線與所成角，
中，，
直角梯形中，，過(guò)作，為垂足，如圖所示，

則，，，，
，所以為等腰三角形，則，
中，，
所以，
中，，
所以
所以與所成角的余弦值為.
例題3．（2023湖南）如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O為底面圓的圓心，AC為底面圓的直徑，B是底面圓周上不同于A，C的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別為母線PB，PC的中點(diǎn).

(1)求證：平面ABC；
(2)若，，求圓錐PO的體積.
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面平行
【分析】（1）由三角形中位線可得線線平行，即可由線面平行的判定求證，
（2）由圓錐的體積公式即可求解.
【詳解】（1）由于D，E分別為母線PB，PC的中點(diǎn),所以,
由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC
（2）AC為底面圓的直徑，B是底面圓周上不同于A，C的任意一點(diǎn)，
所以,又，所以,
因此底面圓的半徑為,
故圓錐PO的體積為，
例題4．（2023福建）如圖，長(zhǎng)方體，，.
(1)求三棱錐的體積；
(2)證明：平面.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面平行
【分析】（1）利用錐體體積公式可求得三棱錐的體積；
（2）證明出，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：在長(zhǎng)方體中，平面，且，
因?yàn)?，，則，，
因此，三棱錐的體積為.
（2）證明：在長(zhǎng)方體中，且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
因?yàn)槠矫妫矫?，因此，平?
【即時(shí)演練】
1．在四棱錐中，“”是“平面”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、判斷線面平行、線面平行的性質(zhì)
【分析】利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合充分、必要條件的定義進(jìn)行判定.
【詳解】

由，平面，平面，得平面.
由平面，平面，平面平面，得.
故“”是“平面”的充要條件.
故選：C.
2．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，交于點(diǎn)O，E為中點(diǎn)，F(xiàn)在上，，∥平面，則的值為（ ）

A．1B．C．2D．3
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的性質(zhì)、由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置
【分析】根據(jù)∽，得到，利用平面，得到，結(jié)合比例式的性質(zhì)，得到，即可求解.
【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，連接，如圖所示，

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，
由四邊形是平行四邊形，可得，則∽，
所以，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫妫矫嫫矫妫?br>所以，所以.
故選：D.
3．如圖甲，在梯形中，，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)D不落在平面內(nèi)（如圖乙），那么在以下3個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論是 .
①平面；②平面；③平面.
【答案】①③
【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、判斷線面平行
【分析】利用線面平行的判定定理一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于①，由題意得，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故①正確；
對(duì)于②，取的中點(diǎn)G，連接，
∵E是的中點(diǎn)，，
∴，
∴四邊形為梯形，
∴直線與直線相交，
∴與平面相交，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，連接，交于點(diǎn)O，連接，
∵四邊形是平行四邊形，
∴O是的中點(diǎn)，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，故③正確．
故答案為：①③
4．在正四棱錐中，為底面中心，，，分別為，，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.
(1)證明：平面.
(2)證明：平面平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、證明面面平行
【分析】（1）利用三角形中位線證明，可證平面.
（2）證明，，可證得平面，平面，所以平面平面.
【詳解】（1）連接，正四棱錐中，為底面中心，則為中點(diǎn)，
又為的中點(diǎn)，則有，
平面，平面，所以平面.
（2），分別為，的中點(diǎn)，則有，
平面，平面，則有平面，
，分別為，的中點(diǎn)，有，
又，則有，
平面，平面，則有平面，
平面，，
所以平面平面.
5．如圖，四棱錐中，底面為梯形，，點(diǎn)在棱上.
(1)求證：平面；
(2)若平面，探索平面的哪條線與平行，做出此線，并求的值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)，證明見(jiàn)解析，
【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置
【分析】（1）由已知結(jié)合線面平行的判定定理可得出結(jié)論；
（2）連接交于，連接，由線面平行的性質(zhì)定理可得出，利用計(jì)算出的值，進(jìn)而可求得的值.
【詳解】（1）因?yàn)?，平面，平面，所以平面?br>（2）連接交于，連接，
因?yàn)槠矫妫移矫?，平面平面?br>所以，
則，可得，
又因?yàn)?，可知，則，
因此，.
考點(diǎn)六：空間直線、平面的垂直
【典型例題】
例題1．（2024福建）如圖，已知長(zhǎng)方體，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．平面
B．平面
C．
D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】判斷線面平行、線面垂直證明線線垂直
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體中的平行關(guān)系和垂直關(guān)系，依次判斷即可.
【詳解】在長(zhǎng)方體中，∥，平面，平面，平面，故A正確，B不正確；
平面，平面，，故C不正確；
∥，∥，∥，故D不正確.
故選：A.
例題2．（2024福建）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面.

(1)若，求四棱錐的體積
(2)求證：平面
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面垂直
【分析】（1）根據(jù)體積公式可求四棱錐的體積.
（2）可證 ，結(jié)合可證平面.
【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，故四棱錐的高為，
而正方形的面積為，故.
（2）因?yàn)榈酌妫矫?，故?br>由正方形可得，因平面，
故平面.
例題3．（2024湖北）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著中的瑰寶，該書(shū)中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”.在如圖所示的陽(yáng)馬中，底面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié).
(1)證明：兩兩垂直；
(2)設(shè)陽(yáng)馬的體積為，四面體的體積為，求的值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、線面垂直證明線線垂直、證明線面垂直
【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得，，和“陽(yáng)馬”的定義得；
（2）取的中點(diǎn)，連接，可得底面，再利用錐體的體積公式即可求解.
【詳解】（1）由底面，底面，
則，，
又在陽(yáng)馬中，底面為矩形，
則，
因此可得兩兩垂直.
（2）
取的中點(diǎn)，連接，
又點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，且，
又底面，
則底面，
則四面體的體積，
又陽(yáng)馬的體積，
則，
因此可得.
例題4．（2024安徽）如圖，四棱柱中，底面是菱形，底面，點(diǎn)為的中點(diǎn).求證：
(1)直線平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】證明面面垂直、證明線面平行
【分析】（1）設(shè)，連接，可證，故由線面平行的判定定理可得平面.
（2）由線面垂直的判定定理可證平面，故可得平面平面.
【詳解】（1）
設(shè)，連接，
∵底面是菱形，∴為的中點(diǎn)，
又∵是的中點(diǎn)，∴，
又平面，平面，∴直線平面.
（2）∵底面是菱形，∴.
又平面，平面，∴.
又，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴平面平面.
例題5．（2023廣西）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著，書(shū)中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“墊堵”．如圖，在墊堵中，已知，且點(diǎn)，，分別是，，邊的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、面面垂直證線面垂直
【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面平行，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，證明；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明.
【詳解】（1）連結(jié)，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，
所以，且，
因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
且平面，平面，
所以平面；
（2）因?yàn)?，為AB的中點(diǎn)，所以，
由平面，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面；
【即時(shí)演練】
1．已知表示兩條不同直線，表示平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷
【分析】根據(jù)空間中直線、平面的位置關(guān)系進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)?，，則或相交或異面，故A錯(cuò)誤；
由，，則與的關(guān)系無(wú)法確定，可能平行，可能相交，可能在平面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；
若，，則，故C正確；
若，，則或，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
2．如圖，平面四邊形中，，，，，，點(diǎn)，滿足，，將沿翻折至，使得.
(1)證明：；
(2)求五棱錐的體積
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)19
【知識(shí)點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、錐體體積的有關(guān)計(jì)算
【分析】（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；
（2）先證明平面，得，，勾股定理得，從而底面，即為五棱錐的高，再結(jié)合棱錐的體積公式計(jì)算得答案；
【詳解】（1）由，，，，
得，，又，在中，
由余弦定理得，
所以，則，即，
所以，，又，平面，
所以平面，又平面，故；
（2），，，
，即平面，所以，，
且，所以，由（1），
而是平面內(nèi)的兩條相交直線，
由此得底面，即為五棱錐的高，過(guò)點(diǎn)作.則，
3．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，分別為，的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若，平面，求證：平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】證明線面平行、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直
【分析】（1）連接，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；
（2）由平面，可得，進(jìn)而結(jié)合可得面，再結(jié)合即可求證.
【詳解】（1）證明：連接，
∵四邊形是平行四邊形，且是的中點(diǎn)，
∴是的中點(diǎn)，
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）證明：∵平面，平面，
∴，
∵，，平面，
∴面，
∵，
∴平面.
4．在長(zhǎng)方體中，，，E為棱上一動(dòng)點(diǎn)，
(1)當(dāng)平面時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；
(2)在上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？如果存在，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)1；
(2)存在，且.
【知識(shí)點(diǎn)】補(bǔ)全線面垂直的條件、由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置、線面垂直證明線線垂直
【分析】（1）連接，交于，在面內(nèi)過(guò)作，交于，根據(jù)線面平行的判定找到的位置，進(jìn)而求線段長(zhǎng)；
（2）問(wèn)題化為證面，進(jìn)而求的位置，即可得線段長(zhǎng).
【詳解】（1）連接，交于，在面內(nèi)過(guò)作，交于，
由面，面，則面，
故與重合時(shí)，滿足題設(shè)要求，
根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，易知是的中點(diǎn)，故，即所求是中點(diǎn)，
所以；
（2）存在，且，理由如下，
要使恒成立，只需垂直于所在平面即可，
當(dāng)面，而面，故，
此時(shí)，即，
所以，則，可得.
實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練
一、單選題
1．若一個(gè)球的體積和表面積數(shù)值相等，則該球的半徑的數(shù)值為（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算
【分析】利用球的體積公式和表面積公式列方程求解即可.
【詳解】由題意，所以.
故選：B
2．已知某圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為，則該圓臺(tái)的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】臺(tái)體體積的有關(guān)計(jì)算
【分析】利用圓臺(tái)體積公式計(jì)算即得.
【詳解】根據(jù)題意，可得該圓臺(tái)的體積為:
.
故選：B.
3．若為空間中兩條不同的直線，為空間兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若，，則D．若，則
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷、面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷
【分析】根據(jù)空間中線線、線面和面面之間的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)依次判斷即可.
【詳解】A：若，則，故A正確；
B：若，則，故B正確；
C：若，，則，故C正確；
D：若，則或與異面或與相交，故D錯(cuò)誤.
故選：D
4．用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的，已知，則的面積為（ ）
A．B．C．8D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】斜二測(cè)畫(huà)法中有關(guān)量的計(jì)算
【分析】根據(jù)直觀圖和原圖的面積關(guān)系，即可求解
【詳解】因?yàn)椋?br>所以是直角三角形且，可得，
所以的面積，
則的面積．
故選：A
5．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，為對(duì)角線與的交點(diǎn)，若，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】球的體積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】利用空間幾何體及球的特征確定球心，結(jié)合球體體積公式計(jì)算即可.
【詳解】
因?yàn)榈酌?，底面，即?br>根據(jù)題意可知為等邊三角形，為直角三角形，
而，
則，
取的中點(diǎn)，連接，所以，
易知，則，
所以三棱錐的外接球的球心為F，
，
∴該外接球的體積為.
故選：B
6．如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，三棱錐的體積為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的展開(kāi)圖及最短距離問(wèn)題、錐體體積的有關(guān)計(jì)算
【分析】如圖，將直三棱柱展開(kāi)成矩形，連結(jié)交于，此時(shí)最小，則，利用等體積法和棱錐的體積公式計(jì)算即可求解.
【詳解】將直三棱柱展開(kāi)成矩形，
如下圖，連接，交于，此時(shí)最小，
∵，則，而，
由且都在面，則面，
又，則面，即面，
點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，即，得，
又為直角三角形，此時(shí)三棱錐的體積為：
.
故選：C
7．如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則直線和夾角的余弦值為（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征和分類(lèi)、求異面直線所成的角
【分析】由正方體結(jié)構(gòu)特征證得，化為求直線和夾角余弦值，應(yīng)用余弦定理求結(jié)果.
【詳解】連接，由正方體的性質(zhì)，知也是的中點(diǎn)，且，即，
又，故為平行四邊形，則，
所以直線和夾角，即為直線和夾角，
若正方體棱長(zhǎng)為2，則，
所以，即直線和夾角余弦值為.
故選：C

8．已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，則球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】正棱錐及其有關(guān)計(jì)算、球的表面積的有關(guān)計(jì)算、多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題
【分析】先判斷球心在三棱錐的高線上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半徑即得.
【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，
因底面邊長(zhǎng)均為，側(cè)棱長(zhǎng)均為，故球心在上，
連接，設(shè)球的半徑為，則，
由正弦定理，解得，
在中，，則，
在中，由，解得，
則球的表面積為.
故選：B.
二、多選題
9．已知直線是三條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】BD
【知識(shí)點(diǎn)】判斷線面平行、判斷線面是否垂直
【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，可能有，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，若，則，而，則，所以B正確.
C選項(xiàng)，若，可能，則未必有，故C錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，若，則，而，則，所以D正確.
故選：BD
10．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與垂直B．與平面
C．與所成的角為D．平面
【答案】ABD
【知識(shí)點(diǎn)】求異面直線所成的角、判斷線面平行、證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直
【分析】連接，運(yùn)用中位線定理推出，結(jié)合線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，分析判斷可得A、B、D正確；再由異面直線所成的角的概念判斷可得C．
【詳解】對(duì)A：連接，，則交于，又為中點(diǎn)，
可得，由平面，平面，
可得，故，故A正確；
對(duì)B：連接，，由正方體性質(zhì)可知平面，
可得平面，故B正確；
對(duì)C：與所成角就是，連接，
由正方體性質(zhì)可知，即為等邊三角形，
故，即與所成的角為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：由，平面，平面，
故平面，故D正確．
故選：ABD．
三、填空題
11．如圖，在空間四邊形中，，平面平面，且，則與平面所成角的正弦值是 ．

【答案】/
【知識(shí)點(diǎn)】求線面角
【分析】利用等體積法求得到平面的距離，從而求得與平面所成角的正弦值.
【詳解】設(shè)是的中點(diǎn)，連接，由于，
所以，由于平面平面，且交線為，
平面，所以平面，由于平面，所以，
設(shè)，而，
所以，所以，
三角形的面積為，
設(shè)到平面的距離為，
則，即，
所以與平面所成角的正弦值是.
故答案為：

12．如圖，在空間四邊形中，，M，N分別是，的中點(diǎn)．若異面直線與所成的角為，則的長(zhǎng)為 ．
【答案】或
【知識(shí)點(diǎn)】由異面直線所成的角求其他量
【分析】將異面直線與所成的角轉(zhuǎn)化成或其補(bǔ)角，再利用余弦定理即可求解.
【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)E，連接.
因?yàn)镸，N分別是的中點(diǎn)，
所以且，且，
從而（或其補(bǔ)角）即為與所成的角．
又異面直線與所成的角為，所以或，
當(dāng)時(shí)，由余弦定理可知
.
當(dāng)時(shí)，由余弦定理可知
.
故答案為：或.
四、解答題
13．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】錐體體積的有關(guān)計(jì)算、證明線面平行、證明面面平行、面面平行證明線面平行
【分析】（1）由正方體的結(jié)構(gòu)特征得到，，再由線面平行及面面平行的判定證面面，最后利用面面平行的性質(zhì)定理即得結(jié)論；
（2）利用棱錐的體積公式求體積即可.
【詳解】（1）連接，由正方體的性質(zhì)易得，，
由面，面，則面，
由面，面，則面，
因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，則面面，
由于面，故平面.
（2）由正方體結(jié)構(gòu)特征，易知三棱錐的底面為等腰且高為，
所以三棱錐的體積.
14．如圖，在多面體中，四邊形是菱形，平面，，，.

(1)求證：平面；
(2)求證：平面.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】證明線面垂直、證明線面平行
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)證得，由已知平面，證得，由線面垂直的判定定理得證平面；
（2）取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，得證，由線面平行的判定定理得平面.
【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以?br>因?yàn)?，平面?br>所以平面；

（2）證明：取的中點(diǎn)，連接，
又為的中點(diǎn)，有，，
已知，，
則有，，四邊形為平行四邊形，
有，即有，
平面，平面，所以平面.
15．如圖，在四棱錐中，平面.

(1)求證：平面；
(2)若，求與平面成角的正弦值；
(3)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面與棱交于點(diǎn)，且平面，求的值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2).
(3).
【知識(shí)點(diǎn)】補(bǔ)全線面平行的條件、證明線面垂直、求線面角
【分析】（1）由線面垂直得到，結(jié)合即可得證；
（2）首先求得為直線與平面所成角的平面角，再求解即可；
（3）由線面平行的性質(zhì)得到，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫裕?br>又平面，
所以平面；
（2）平面，
平面，得為直線與平面所成角的平面角，
中，，
中，，
；
（3）因?yàn)槠矫?，平面平面，平面?br>所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.
16．在正方體中，E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心．
(1)求證：平面
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【知識(shí)點(diǎn)】證明面面平行、證明線面垂直
【分析】（1）通過(guò)證明，，根據(jù)線面垂直的判定定理可證；
（2）通過(guò)證明平面，平面，根據(jù)面面平行的判定定理可證.
【詳解】（1）根據(jù)題意，連接，
由正方體性質(zhì)，可知面，面，所以，
在正方形中，，又，面，
所以面，面，則，同理，
，面，所以平面；
（2）根據(jù)題意，E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心，
所以，即平面為平面，
由正方體性質(zhì)，，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，則平面，
同理平面，，平面，
所以平面平面，即平面平面．
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21733" 明晰學(xué)考要求 PAGEREF _Tc21733 \h 1
\l "_Tc2664" 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 PAGEREF _Tc2664 \h 1
\l "_Tc15418" 考點(diǎn)精講講練 PAGEREF _Tc15418 \h 8
\l "_Tc31520" 考點(diǎn)一：基本立體圖形 PAGEREF _Tc31520 \h 8
\l "_Tc7949" 考點(diǎn)二：立體圖形直觀圖 PAGEREF _Tc7949 \h 13
\l "_Tc14430" 考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積 PAGEREF _Tc14430 \h 16
\l "_Tc10321" 考點(diǎn)四：空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系 PAGEREF _Tc10321 \h 20
\l "_Tc825" 考點(diǎn)五：空間直線、平面的平行 PAGEREF _Tc825 \h 25
\l "_Tc5868" 考點(diǎn)六：空間直線、平面的垂直 PAGEREF _Tc5868 \h 34
\l "_Tc16512" 實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 PAGEREF _Tc16512 \h 42
幾何體
表面積
體積
柱體（棱柱，圓柱）
椎體（棱錐，圓錐）
臺(tái)體（棱臺(tái)，圓臺(tái)）
球
幾何體
圓柱
圓錐
圓臺(tái)
圖示
側(cè)面積公式
直線與直線
直線與平面
平面與平面
平行關(guān)系
圖形語(yǔ)言
符號(hào)語(yǔ)言

相交關(guān)系
圖形語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
獨(dú)有關(guān)系
圖形語(yǔ)言
圖形語(yǔ)言
與是異面直線

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