專題09 概率（知識梳理+考點(diǎn)精講精練+實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練）-2025年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試總復(fù)習(xí)（全國通用）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義；
2、理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系；
3、了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算；
4、理解古典概型，能計(jì)算古典概型中的隨機(jī)事件的概率；
5、理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件的概率的運(yùn)算法則
6、會用頻率估計(jì)概率；
7、了解兩個(gè)隨機(jī)事件的獨(dú)立性，并結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率。
基礎(chǔ)知識梳理
1、概率與頻率
一般地,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率來估計(jì)概率.
2、古典概型
試驗(yàn)具有如下共同特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；
(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．
3、古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.
其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．
4、概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）
性質(zhì)1：對任意的事件，都有；
性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；
性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對于任意事件，因?yàn)?，所?
5、互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）
性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；
注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.
6、對立事件的概率（性質(zhì)4）
性質(zhì)4：如果事件與事件互為對立事件，那么，；
7、相互獨(dú)立事件
對任意兩個(gè)事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨(dú)立(mutually independent)，簡稱為獨(dú)立．
性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨(dú)立
性質(zhì)2：如果事件與相互獨(dú)立，則與，與，與也相互獨(dú)立
則：，，
點(diǎn)精講講練
考點(diǎn)一：隨機(jī)事件與概率
【典型例題】
例題1．（2022河北）從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識競賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）
A．B．C．D．
例題2．（2024安徽）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記隨機(jī)事件：“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)大于2”，“點(diǎn)數(shù)小于2”，“點(diǎn)數(shù)為3”．則下列結(jié)論不正確的是（）
A．為對立事件B．為互斥不對立事件
C．不是互斥事件D．是互斥事件
例題3．（2024北京）某公司三個(gè)部門共有100名員工，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過隨機(jī)抽樣獲得了20名員工一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：
從三個(gè)部門抽出的員工中，各隨機(jī)抽取一人，分別記為甲、乙、丙、假設(shè)所有員工的鍛煉時(shí)間相互獨(dú)立，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①甲該周的鍛煉時(shí)間超過8小時(shí)的概率為；
②甲、乙該周的鍛煉時(shí)間一樣長的概率為；
③乙該周的鍛煉時(shí)間一定比丙該周的鍛煉時(shí)間長．
其中所有正確結(jié)論的序號是．
例題4．（2023安徽）用這三個(gè)數(shù)字任意組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則組成的三位數(shù)為偶數(shù)的概率是．
例題5．（2024浙江）已知是互斥事件，且，則 .
【即時(shí)演練】
1．某生物實(shí)驗(yàn)室有3種月季花種子，其中開紅色花的種子有200顆，開粉色花的種子有150顆，開橙色花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆，則這顆種子對應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為（）
A．B．C．D．
2．已知與是互斥事件，且，，則等于（）
A．B．0.3C．D．
3．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲8次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這8個(gè)點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5的概率為（）
A．B．C．D．
4．某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是（）
A．“恰有一名男生”和“全是男生”B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生”D．“至少有一名男生”和“全是女生”
5．（多選）對于概率的基本性質(zhì)，下列選項(xiàng)正確的是（）
A．如果事件A與事件B互斥，那么
B．如果事件A與事件B互為對立事件，那么
C．如果，則
D．
考點(diǎn)二：事件的相互獨(dú)立性
【典型例題】
例題1．（2024湖北）已知事件與事件相互獨(dú)立，且，則
（1）；
（2） .
例題2．（2024云南）甲?乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，已知甲命中的概率為0.7，乙命中的概率為0.8，且甲?乙兩人投籃的結(jié)果互不影響，相互獨(dú)立.甲?乙兩人各投籃一次，求下列事件的概率：
(1)甲?乙兩人都命中；
(2)甲?乙兩人至少有一人命中.
例題3．（2024新疆）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，若甲投中的概率為0.6，乙投中的概率為0.7，求下列事件的概率.
(1)兩人都投中；
(2)恰好有一人投中.
例題4．（2024湖南）甲、乙兩人組成“超級星隊(duì)”參加猜成語活動，在每輪活動由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為．在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．
(1)求一輪活動甲猜對且乙沒有猜對的概率；
(2)求兩輪活動“超級星隊(duì)”猜對3個(gè)成語的概率．
【即時(shí)演練】
1．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（標(biāo)記為Ⅰ號和Ⅱ號），表示事件“Ⅰ號骰子出現(xiàn)的數(shù)字是2”，表示事件“Ⅱ號骰子出現(xiàn)的數(shù)字是3”，表示事件“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是8”，表示事件“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是9”，則（）
A．與相互獨(dú)立
B．與相互獨(dú)立
C．與相互獨(dú)立
D．與相互獨(dú)立
2．已知事件A，B滿足，則（）
A．若B?A，則B．若A與B互斥，則
C．若A與B相互獨(dú)立，則 D．若，則C與B相互對立
3．（多選）有四個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒內(nèi)都有3個(gè)水晶崽崽，其中三個(gè)盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽?藍(lán)色水晶崽崽?粉色水晶崽崽，剩下的那個(gè)盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個(gè)盲盒，設(shè)事件為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有藍(lán)色水晶崽崽”，為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則（）
A．與不互斥B．
C．D．與相互獨(dú)立
4．某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲?乙?丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別為，該同學(xué)站在三個(gè)不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是 .
考點(diǎn)三：頻率與概率
【典型例題】
例題1．（2024湖北）從某自動包裝機(jī)包裝的奶粉中，隨機(jī)抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：）：
用頻率估計(jì)概率，該包裝機(jī)包裝的袋裝奶粉質(zhì)量在之間的概率約為（）
A．0.1B．0.15C．0.25D．0.5
例題2．（2024湖南）拋擲硬幣試驗(yàn)，設(shè)“正面朝上”，則下列論述正確的是（）
A．投擲2次硬幣，事件“一個(gè)正面，一個(gè)反面”發(fā)生的概率為
B．投擲10次硬幣，事件A發(fā)生的次數(shù)一定是5
C．投擲硬幣20次，事件A發(fā)生的頻率等于事件A發(fā)生的概率
D．投擲硬幣1萬次，事件A發(fā)生的頻率接近0.5
例題3．（2023新疆）從存放號碼分別為1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
則取到號碼為奇數(shù)的頻率是（）
A．0.53B．0.51C．0.49D．0.47
例題4．（2023寧夏）某中學(xué)為了解高二學(xué)生的體質(zhì)情況，在一次體質(zhì)測試中，隨機(jī)抽取了10名男生的引體向上測試成績?nèi)缦拢?，7，8，10，10，12，12，15，20，21
(1)求這10名同學(xué)引體向上的中位數(shù)和平均數(shù)；
(2)如果15個(gè)（含15）以上為優(yōu)秀，估計(jì)該校男生引體向上的優(yōu)秀率.
【即時(shí)演練】
1．工廠對某車間某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品采用隨機(jī)抽樣的方法抽到一個(gè)容量為40的樣本數(shù)據(jù)，分組后，各組的頻數(shù)如下表：
已知樣本數(shù)據(jù)在范圍內(nèi)的頻率為0.35，則樣本數(shù)據(jù)在（50，60]范圍內(nèi)的頻率為（）
A．0.70B．0.50C．0.25D．0.20
2．某池塘中飼養(yǎng)了A?B兩種不同品種的觀賞魚，假設(shè)魚群在池塘里是均勻分布的.在池塘的東?南?西三個(gè)采樣點(diǎn)捕撈得到如下數(shù)據(jù)（單位：尾），若在采樣點(diǎn)北捕撈到20尾魚，則品種A約有（）
A．6尾B．10尾C．13尾D．17尾
3．在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，同學(xué)甲用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為
4．拋擲一枚圖釘次，出現(xiàn)次“釘尖朝上”，則出現(xiàn)“釘尖朝上”的頻率是．
戰(zhàn)能力訓(xùn)練
一、單選題
1．已知隨機(jī)事件A和互斥，且，則（）
A．B．C．D．0.8
2．2020年1月，教有部出臺《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》（簡稱“強(qiáng)基計(jì)劃），明確從2020年起強(qiáng)基計(jì)劃取代原高校自主招生方式，如果甲?乙?兩人通過強(qiáng)基計(jì)劃的概率分別為，，那么甲?乙兩人中恰有1人通過的概率為（）
A．B．C．D．
3．已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計(jì)該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：137 960 197 925 271 815 952 683 123 436 730 257，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）
A．B．C．D．
4．一個(gè)袋子中有紅?黃?藍(lán)?綠四個(gè)小球，有放回地從中任取一個(gè)小球，將“三次抽取后，紅色小球，黃色小球都取到”記為事件M，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)事件M發(fā)生的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生整數(shù)0，1，2，3四個(gè)隨機(jī)數(shù)，分別代表紅?黃?藍(lán)?綠四個(gè)小球，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示取小球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：
由此可以估計(jì)事件M發(fā)生的概率為（）
A．B．C．D．
5．已知某運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為80%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
6947 7610 4281 1417 4698 0371 6233
2616 8045 6011 3661 9597 7424
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動員射擊4次，至少擊中3次的概率為（）
A．0.852B．0.8192C．0.8D．0.75
6．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件 “出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件A與B的關(guān)系為（）
A．相互獨(dú)立事件B．相互互斥事件
C．即相互獨(dú)立又相互互斥事件D．既不互斥又不相互獨(dú)立事件
7．下命題中，說法錯(cuò)誤的有（）
A．若事件兩兩互斥，則有
B．若事件兩兩獨(dú)立，則有
C．事件與事件獨(dú)立，則有事件與事件獨(dú)立
D．事件與事件對立，則有事件與事件對立
8．習(xí)近平總書記在致首屆全民閱讀大會的賀信中指出：“閱讀是人類獲取知識?啟智增慧?培養(yǎng)道德的重要途徑，可以讓人得到思想啟發(fā)，樹立崇高理想，涵養(yǎng)浩然之氣；希望全社會都參與到閱讀中來，形成愛讀書?讀好書?善讀書的濃厚氛圍.”為落實(shí)習(xí)總書記關(guān)于閱讀的重要指示，復(fù)興中學(xué)開展了“讀名著?品經(jīng)典”活動.現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生，并統(tǒng)計(jì)了他們的閱讀時(shí)間（單位：），分組整理數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)該校學(xué)生閱讀時(shí)間不少于的概率為（）
A．0.150B．0.400C．0.450D．0.850
二、多選題
9．設(shè)是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列結(jié)論正確的是（）
A．若A和互斥，則A和一定相互獨(dú)立
B．若事件，則
C．若A和相互獨(dú)立，則A和一定不互斥
D．不一定成立
10．對于事件和事件，，，則下列說法正確的是（）
A．若與互斥，則
B．若與互斥，則
C．若，則
D．若與相互獨(dú)立，則
三、填空題
11．在和兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)能被4整除的概率是 .
12．中國成功搭建了國際首個(gè)通信與智能融合的6外場試驗(yàn)網(wǎng)，并形成貫通理論、技術(shù)、標(biāo)準(zhǔn)和應(yīng)用的全產(chǎn)業(yè)鏈創(chuàng)新環(huán)境.某科研院在研發(fā)6項(xiàng)目時(shí)遇到了一項(xiàng)技術(shù)難題，由甲、乙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)分別獨(dú)立攻關(guān).已知甲、乙團(tuán)隊(duì)攻克該項(xiàng)技術(shù)難題的概率分別為0.8和0.7，則該科研院攻克這項(xiàng)技術(shù)難題的概率為．
四、解答題
13．為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、愛國的熱情，我校舉辦了“學(xué)黨史、育文化”暨“喜迎黨的生日”黨史知識競賽，并將名師生的競賽成績（滿分分）整理成如圖所示的頻率直方圖．
(1)求頻率直方圖中的值以及師生競賽成績的中位數(shù)
(2)從競賽成績在80,90，90,100的師生中，采用分層抽樣的方法抽取人，再從抽取的人中隨機(jī)抽取人，求人的成績來自同一區(qū)間的概率．
14．某保險(xiǎn)公司在2023年度給年齡在20～70歲的民眾提供某種疾病的醫(yī)療保障，設(shè)計(jì)了一款針對該疾病的保險(xiǎn)，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行分析，這100個(gè)樣本按年齡段，，40,50，50,60，分成了五組，其頻率分布直方圖如下圖所示，每人每年所交納的保費(fèi)與參保年齡如下表格所示．（保費(fèi)：元）據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為該項(xiàng)保險(xiǎn)支出的各種費(fèi)用為一百萬元．
(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布，判斷該公司本年度是虧本還是盈利？
(2)經(jīng)調(diào)查，年齡在之間的中年人對該疾病的防范意識還比較弱，為加強(qiáng)宣傳，按分層抽樣的方法從年齡在和40,50的中年人中選取6人進(jìn)行教育宣講，再從選取的6人中隨機(jī)選取2人，被選中的2人免一年的保險(xiǎn)費(fèi)，求被免去的保費(fèi)超過150元的概率．
15．將某中職學(xué)校高二年級某班學(xué)生的數(shù)學(xué)測試成績（滿分100分）按照，進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中.

(1)求a，b的值;
(2)按照人數(shù)比例用分層抽樣的方法，從成績在內(nèi)的學(xué)生中抽取4人，再從這4人中任選2人，求這2人成績都在80,90內(nèi)的概率.
16．算盤是我國古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類重要的計(jì)算工具，下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個(gè)位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個(gè)位撥動一粒上珠，十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個(gè)位，十位，百位分別隨機(jī)撥動一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的三位數(shù)能被3整除”，“表示的三位數(shù)能被5整除”.

(1)判斷事件，是否相互獨(dú)立；
(2)求事件，至少一個(gè)發(fā)生的概率.目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10510" 明晰學(xué)考要求 PAGEREF _Tc10510 \h 1
\l "_Tc23716" 基礎(chǔ)知識梳理 PAGEREF _Tc23716 \h 1
\l "_Tc30707" 點(diǎn)精講講練 PAGEREF _Tc30707 \h 2
\l "_Tc5374" 考點(diǎn)一：隨機(jī)事件與概率 PAGEREF _Tc5374 \h 2
\l "_Tc32101" 考點(diǎn)二：事件的相互獨(dú)立性 PAGEREF _Tc32101 \h 4
\l "_Tc8266" 考點(diǎn)三：頻率與概率 PAGEREF _Tc8266 \h 6
實(shí) \l "_Tc4922" 戰(zhàn)能力訓(xùn)練 PAGEREF _Tc4922 \h 7
A部門
4.5 5 6 7.5 9 11 12 13
B部門
3.5 4 5.5 7 9.5 10.5 11
C部門
5 6 6.5 7 8.5
492
496
494
495
498
497
501
502
504
496
497
503
506
508
507
492
496
500
501
499
卡片號碼
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次數(shù)
11
10
5
8
5
12
19
10
11
9
分組
頻數(shù)
4
6
10
4
采樣點(diǎn)
品種A
品種B
東
20
9
南
7
3
西
17
8
110
321
230
023
123
021
132
220
001
231
130
133
231
031
320
122
103
233
年齡
40,50
50,60
保費(fèi)
30
60
90
120
150

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