專題06 平面向量和復數（知識梳理+考點精講精練+實戰(zhàn)訓練）-2025年高中數學學業(yè)水平合格性考試總復習（全國通用）.zip-試卷下載-教習網

1、理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義；
2、理解平面向量的幾何表示和基本要素；
3、掌握平面向量加、減運算規(guī)則，理解其幾何意義；
4、了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義；
5、理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積；
6、了解平面向量投影的概念和意義；
7、會用數量積判斷兩個向量的垂直關系；
8、理解平面向量基本定理及其意義；
9、掌握平面向量的正交分解及坐標表示；
10、會用坐標表示平面向量加、減運算，數乘運算；
11、能用坐標表示平面向量的數量積，并求兩個向量的夾角；
12、能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件；
13、掌握余弦定理、正弦定理，并能解決簡單的實際問題；
14、理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義；
15、掌握復數代數表示的四則運算，了解復數加法、減法運算的幾何意義。
基礎知識梳理
1、向量的有關概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)
向量表示方法：向量或；?；?
（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.
（3）單位向量：長度等于1個單位的向量，常用表示.
特別的：非零向量的單位向量是.
（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；
特別的：與任一向量平行或共線.
（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.
（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.
2、向量的線性運算
（1）向量的加法
①定義：求兩個向量和的運算,叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.對于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內任取一點,作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點,四邊形,對角線）
已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點的向量(是的對角線)就是向量與的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
（2）向量的減法
①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
②向量減法的三角形法則（共起點，連終點，指向被減向量）
已知向量,,在平面內任取一點,作,,則向量.如圖所示
如果把兩個向量,的起點放在一起,則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量.
（3）向量的數乘
向量數乘的定義:
一般地,我們規(guī)定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：
①
②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，.
3、共線向量定理
①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個實數，.
②向量共線定理的注意問題：定理的運用過程中要特別注意；特別地，若，實數仍存在，但不唯一．
4、向量的夾角
已知兩個非零向量和，如圖所示，作，，則
()叫做向量與的夾角，記作．
(2)范圍：夾角的范圍是．
當時，兩向量，共線且同向；
當時，兩向量，相互垂直，記作；
當時，兩向量，共線但反向．
5、數量積的定義：
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積(或內積)，記作，即，其中θ是與的夾角，記作：．
規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為零．記作：.
6、平面向量的基本定理
（1）定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內任意向量，有且只有一對實數，使.
（2）基底：
不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.
（1）不共線的兩個向量可作為一組基底，即不能作為基底；
（2）基底一旦確定，分解方式唯一；
（3）用基底兩種表示，即，則，進而求參數.
7、平面向量的坐標運算
（1）向量加減：若，則；
（2）數乘向量：若，則；
（3）任一向量：設，則.
8、平面向量共線的坐標表示
若，則的充要條件為
9、平面向量數量積的性質及其坐標表示
已知向量，為向量和的夾角：
（1）數量積
（2）模：
（3）夾角：
（4）非零向量的充要條件：
10、正弦定理
（1）正弦定理的描述
①文字語言：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
②符號語言：在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，則有
（2）正弦定理的推廣及常用變形公式
在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則
①
②；；；
③
④
⑤，，（可實現(xiàn)邊到角的轉化）
⑥，，（可實現(xiàn)角到邊的轉化）
11、余弦定理
（1）余弦定理的描述
①文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.
②符號語言：在中，內角，所對的邊分別是,則：
；
（2）余弦定理的推論
；
；
12、三角形常用面積公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各邊長，是三角形的內切圓半徑）；
④(其中，是三角形的各邊長，是三角形的外接圓半徑).
13、復數的概念
我們把形如的數叫做復數,其中叫做虛數單位,滿足.全體復數所構成的集合叫做復數集.
復數的表示:復數通常用字母表示,即,其中的與分別叫做復數的實部與虛部.
14、復數相等
在復數集中任取兩個數，，（），我們規(guī)定.
15、復數的分類
對于復數(),當且僅當時,它是實數；當且僅當時,它是實數0；當時,它叫做虛數；當且時,它叫做純虛數.這樣,復數()可以分類如下:
16、復數的幾何意義
（1）復數的幾何意義——與點對應
復數的幾何意義1：復數??復平面內的點
（2）復數的幾何意義——與向量對應
復數的幾何意義2：復數?? 平面向量
17、復數的模
向量的模叫做復數)的模，記為或
公式：，其中
復數模的幾何意義：復數在復平面上對應的點到原點的距離；
特別的，時，復數是一個實數，它的模就等于(的絕對值).
18、共軛復數
（1）定義
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數；虛部不等于0的兩個共軛復數也叫共軛虛數.
（2）表示方法
表示方法：復數的共軛復數用表示，即如果，則.
19、復數的四則運算
（1）復數的加法法則
設，，（）是任意兩個復數，那么它們的和：
（2）復數的減法法則
類比實數集中減法的意義，我們規(guī)定，復數的減法是加法的逆運算，即把滿足：的復數叫做復數減去復數的差，記作
（3）復數的乘法法則
我們規(guī)定，復數乘法法則如下：設,是任意兩個復數，那么它們的乘積為
，
即
（4）復數的除法法則
（）
點精講講練
考點一：平面向量的概念
【典型例題】
例題1．（2023廣西）如圖，O是正六邊形的中心，下列向量中，與是平行向量的為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】平行向量（共線向量）
【分析】根據平行向量的定義判斷即可.
【詳解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量.
由圖可知，與方向相反，因此是平行向量.
故選：C.
例題2．（2023黑龍江）下列量中是向量的為（）
A．頻率B．拉力C．體積D．距離
【答案】B
【知識點】平面向量的概念與表示
【分析】根據向量與數量的意義直接判斷即可.
【詳解】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故選：B
例題3．（2023北京）如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】相等向量
【分析】根據相等向量的定義即可得答案.
【詳解】解：因為相等向量是指長度相等且方向相同的向量,O為正六邊形ABCDEF的中心，
所以與模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正確；
與只是模相等的向量，故B錯誤；
與只是模相等的向量，故C錯誤；
與只是模相等的向量，故D錯誤.
故選：A.
【即時演練】
1．判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】零向量與單位向量、平行向量（共線向量）、判斷命題的真假
【分析】根據零向量的定義及共線向量的定義判斷即可得.
【詳解】對①：因為零向量的方向是任意的且零向量與任何向量共線，
故當與中有一個為零向量時，其方向是不確定的，故為假命題；
對②：兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故為真命題；
對③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；
對④：向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故為假命題.
故選：B.
2．如圖，在圓中，向量，，是（）

A．有相同起點的向量B．相反向量
C．模相等的向量D．相等向量
【答案】C
【知識點】相等向量、平行向量（共線向量）、平面向量的概念與表示、向量的模
【分析】根據向量的幾何表示，可判斷出選項A和C的正誤，再利用相反向量及相等向量的概念，結合圖形，即可判斷選項B和D的正誤.
【詳解】對于選項A，因為向量，的起點為，而向量的起點為，所以選項A錯誤，
對于選項B，因為相反向量是方向相反，長度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項B錯誤，
對于選項C，向量，，的模長均為圓的半徑，所以選項C正確，
對于選項D，因為相等向量是方向相同，長度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項D錯誤，

故選：C.
3．（多選）下列說法正確的是（）
A．零向量是沒有方向的向量B．零向量的長度為0
C．相等向量的方向相同D．同向的兩個向量可以比較大小
【答案】BC
【知識點】零向量與單位向量、相等向量
【分析】利用零向量的定義及相等向量的定義，可判斷出選項A、B和C的正誤，再由向量的定義知選項D錯誤.
【詳解】對于選項A，因為零向量的方向是任意的，所以選項A錯誤，
對于選項B，因為零向量是方向任意，長度為0的向量，所以選項B正確，
對于選項C，因為相等向量是方向相同，長度相等的向量，所以選項C正確，
對于選項D，向量不能比較大小，向量的模長可以比較大小，所以選項D錯誤，
故選：BC.
考點二：平面向量的運算
【典型例題】
例題1．（2022河北）已知向量，滿足，，，則（）
A．B．C．3D．2
【答案】A
【知識點】已知數量積求模、已知模求數量積
【分析】將分別進行平方，借助的值聯(lián)系起它們的關系，從而求解.
【詳解】由題知，，
則，
，
則.
故選：A
例題2．（2024湖北）如圖，平行四邊形中，是邊上的一點，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知識點】向量加法的法則、向量減法的法則
【分析】根據向量線性運算化簡求解即可.
【詳解】，故A錯誤；，故B正確；
，故C錯誤；，故D錯誤.
故選：B
例題3．（2024安徽）已知向量與的夾角為，則向量與上的投影向量為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】求投影向量、用定義求向量的數量積
【分析】應用投影向量公式結合數量積公式計算即可.
【詳解】向量與上的投影向量為
.
故選：B.
例題4．（2024北京）已知向量在正方形網格中的位置如圖所示.若網格中每個小正方形的邊長均為1，則； .

【答案】 2
【知識點】向量的模、用定義求向量的數量積
【分析】向量的模長即向量起點至終點的距離，由圖可知結果；向量的數量積等于向量的模乘以另一個向量在這個向量上的投影，由圖可知結果.
【詳解】由圖可知，
，其中為在上的投影，
由圖可知投影長度為1，且方向與相反，
故.
故答案為：2；.
【即時演練】
1．已知向量，滿足，，則與的夾角為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】數量積的運算律、向量夾角的計算
【分析】掌握平面向量的數量積.
【詳解】,
,
,
又,
,即,
,
,
.
故選：A.
2．（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點】平面向量的混合運算、空間向量加減運算的幾何表示
【分析】根據向量的加減法即可得到答案.
【詳解】.
故選：C.
3．在中，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點】向量加法的法則
【分析】根據給定條件，利用向量加法的平行四邊形法則求解即得.
【詳解】在中，，則.
故選：C
4．已知平面向量，滿足且向量，的夾角為則在方向上的投影數量為 .
【答案】
【知識點】用定義求向量的數量積、數量積的運算律
【分析】利用數量積來計算投影數量即可.
【詳解】因為且向量，的夾角為
所以，
則在方向上的投影數量為：，
故答案為：.
考點三：平面向量基本定理
【典型例題】
例題1．（2020河北）在中，點是邊上一點，若，則實數（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】向量的線性運算的幾何應用、平面向量共線定理的推論、利用平面向量基本定理求參數
【分析】利用向量共線定理設，，通過線性運算得，結合題目條件得到方程組，解出即可.
【詳解】作出如圖所示圖形：
三點共線，故可設，，
則，
，，解得.
故選：D.
例題2．（2023湖北）如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，且，則實數（）

A．B．2C．D．3
【答案】B
【知識點】平面向量基本定理的應用、向量的線性運算的幾何應用、向量加法法則的幾何應用
【分析】先將分別用表示，再結合題意即可得解.
【詳解】，
，
所以，
又因為，
所以.
故選：B.
例題3．（2022浙江）在中，設，，，其中.若和的重心重合，則（）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【知識點】平面向量基本定理的應用
【分析】設為和的重心，連接延長交與，連接延長交與，分別在、中用向量、表示向量，再根據向量相等可得答案.
【詳解】設為和的重心，連接延長交與，連接延長交與，
所以是的中點，是的中點，
所以，
，
，
可得，解得.
故選：D.
例題4．（2022安徽）在中，點D在邊BC上，且，若，則 .
【答案】2
【知識點】利用平面向量基本定理求參數
【分析】根據題意，結合向量的加減法用、表示出，求出與即可.
【詳解】由，得，
則在中，，
因，故，因此.
故答案為：2.
【即時演練】
1．在平行四邊形ABCD中，，，則（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知識點】用基底表示向量
【分析】由平面向量的基本定理求解即可.
【詳解】

如圖：.
故選：C
2．已知在中，M是線段BC上異于端點的任意一點．若向量，則的最小值為（）
A．6B．12C．18D．24
【答案】C
【知識點】條件等式求最值、平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根據三點共線的結論可得，將化為，展開后利用基本不等式，即可得答案.
【詳解】由題意M是線段BC上異于端點的任意一點，向量可得，
且，，所以，
當且僅當，結合，即，時，等號成立，
故的最小值為18．
故選：C
3．在中，點是邊上一點，若，則的最小值為（）
A．B．C．D．7
【答案】B
【知識點】平面向量共線定理的推論、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根據給定條件，利用共線向量定理的推論求得，x>0，.，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】在中，點是邊上一點，，則，x>0，.
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
故選：B
4．如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點、，若，，則 .

【答案】43/113
【知識點】用基底表示向量、平面向量共線定理的推論
【分析】根據給定條件，利用中點向量公式，結合共線向量定理的推論列式計算即得.
【詳解】在中，點是的中點，則，
又，，則，
而點共線，因此，所以.
故答案為：
考點四：平面向量坐標運算
【典型例題】
例題1．（2024福建）已知，若，則的值為（）
A．?2B．C．D．
【答案】D
【知識點】利用向量垂直求參數
【分析】根據向量垂直的坐標表示，列式求解，即得答案.
【詳解】由題意知，，
故，
所以，
故選：D
例題2．（2024湖北）已知向量，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】平面向量線性運算的坐標表示
【分析】運用向量的坐標運算計算即可.
【詳解】已知向量，則.
故選：D.
例題3．（多選）（2024湖北）已知向量，則（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【知識點】由坐標判斷向量是否共線、垂直關系的向量表示、坐標計算向量的模
【分析】根據向量的坐標可判斷A；計算向量的模判斷B；根據向量垂直以及平行的坐標表示可判斷CD.
【詳解】由于，則，A錯誤；
由于，B正確，
因為，故，C正確；
因為，故不平行，D錯誤；
故選：BC
例題4．（2024新疆）已知向量.
(1)若，求實數的值；
(2)若，求實數的值.
【答案】(1)
(2)
【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、由向量線性運算結果求參數、向量垂直的坐標表示
【分析】（1）利用向量線性運算的坐標表示和相等向量的定義得到關于的方程組，解之即可得解；
（2）用向量線性運算的坐標表示求得與，再利用向量垂直的坐標表示即可得解.
【詳解】（1）因為，，
所以，
所以，解得，
所以
（2）因為，則，
又，，
所以，解得，
故實數k的值為.
【即時演練】
1．已知向量，，，若與平行，則實數的值為（）
A．B．C．1D．3
【答案】C
【知識點】由向量共線（平行）求參數
【分析】由平面向量共線的坐標表示求解即可.
【詳解】因為，，，所以，
由與平行，得，解得.
故選：C.
2．已知向量，．若，則．
【答案】
【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、由向量共線（平行）求參數
【分析】先求出的坐標，再由根據向量平行的坐標性質后可求出的值.
【詳解】∵，，∴，
由得，解得，解得.
故答案為：.
3．已知向量，．若，則．
【答案】
【知識點】向量垂直的坐標表示
【分析】利用非零向量垂直時數量積為0，計算即可.
【詳解】．因為，所以，解得．
故答案為：.
4．已知向量．
(1)求向量的坐標；
(2)求+向量的模．
【答案】(1)，
(2)
【知識點】平面向量線性運算的坐標表示、坐標計算向量的模
【分析】（1）根據向量的坐標運算求得正確答案.
（2）先求得，然后求得的模.
【詳解】（1）依題意，向量，
，
.
（2）由于，
所以.
考點五：平面向量數量積
【典型例題】
例題1．（2022河北）已知向量，則（）
A．2B．C．10D．
【答案】A
【知識點】數量積的坐標表示
【分析】根據平面向量數量積的坐標表示計算即可求解.
【詳解】由題意知，.
故選：A.
例題2．（2024浙江）已知的邊長均為1，點為邊的中點，點為邊上的動點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識點】數量積的坐標表示
【分析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，設，利用坐標法計算數量積，結合的取值范圍，即可得解.
【詳解】如圖以為坐標原點，建立平面直角坐標系，則，，，，
設，則，
所以，，
所以.
故選：B
例題3．（2024湖南）如圖，已知點A?2,0，，點C是y軸上的動點，則（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【知識點】數量積的坐標表示
【分析】根據數量積的坐標表示求解即可.
【詳解】設，
則，
所以.
故選：D
例題4．（2020山東）若向量滿足與的夾角為，則（）
A．B．C．D．2
【答案】A
【知識點】用定義求向量的數量積、向量模的坐標表示
【分析】求出，再根據數量積定義運算.
【詳解】，，
.
故選：A.
例題5．（2024天津）已知向量，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)．
【知識點】由向量共線（平行）求參數、已知向量垂直求參數、數量積的坐標表示、向量垂直的坐標表示
【分析】（1）依題意可得，根據數量積的坐標表示得到方程，解得即可；
（2）首先求出的坐標，根據向量共線的坐標表示求出，即可求出，再計算其模.
【詳解】（1）因為，，
由，可得，解得．
（2）依題意，
若，則有，解得，
所以，．
【即時演練】
1．已知向量，向量與向量的夾角為，則的最小值為（）
A．3B．4C．D．
【答案】D
【知識點】已知數量積求模、坐標計算向量的模
【分析】把平方轉化為數量積運算，結合二次函數知識得最小值．
【詳解】設，又，
所以，
所以當時，，
故選：D．
2．已知向量，且，則（）
A．1B．2C．D．0
【答案】C
【知識點】數量積的坐標表示、向量模的坐標表示
【分析】先利用向量模的坐標運算求得，進而利用數量積的坐標形式求得.
【詳解】，則，
由于，所以，
所以，所以.
故選：C
3．已知平面向量，則向量在向量上的投影向量為．
【答案】
【知識點】求投影向量
【分析】根據向量坐標求，利用投影向量公式求解即可.
【詳解】∵,
∴,
∴，
.
所以向量在向量上的投影向量為：.
故答案為：.
4．已知，，，若，則實數．
【答案】
【知識點】向量夾角的計算、數量積的坐標表示
【分析】由向量坐標的運算求出向量的坐標，再根據，利用向量夾角余弦公式列方程，求出實數的值．
【詳解】由，，則，
又，則，
則，即，
，解得，
故答案為：
5．已知是邊長為6的等邊三角形，M是的內切圓上一動點，則的最小值為．
【答案】
【知識點】數量積的坐標表示、輔助角公式
【分析】建立平面直角坐標系，設的坐標，由平面向量數量積的坐標和三角函數的有界性計算即可求得．
【詳解】以的中點為坐標原點，所在直線為軸，的中垂線所在直線為軸，建立平面直角坐標系，
因為等邊的邊長為6，
所以的內切圓圓心在上，半徑，
則，，，，，
所以，，
所以，
所以當時，取得最小值．
故答案為：．
考點六：余弦定理
【典型例題】
例題1．（2024北京）在中，，則（）
A．B．C．D．3
【答案】A
【知識點】余弦定理解三角形
【分析】由余弦定理即可求解.
【詳解】由，
所以.
故選：A
例題2．（2024云南）在中，內角的對邊分別是.若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理進行求解.
【詳解】由余弦定理得.
故選：A
例題3．（2023吉林）在中，分別為三個內角所對的邊，且，，，則的面積為．
【答案】
【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理可得方程，可解出，再利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】由余弦定理可得，
因為且，，
所以，解得，
因此的面積為
故答案為：.
例題4．（2024安徽）已知.
(1)求的最小正周期及單調增區(qū)間；
(2)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，△ABC的外接圓半徑為2，求△ABC面積的最大值.
【答案】(1)，
(2)
【知識點】余弦定理解三角形、求sinx型三角函數的單調性、正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用
【分析】（1）由正弦函數的最小正周期公式可求出的最小正周期，令，，解不等式即可得出答案.
（2）由可求出，由正弦定理求出，再由余弦定理、三角形的面積公式和基本不等式即可得出答案.
【詳解】（1）的最小正周期為，
由，，
解得，，
所以函數的單調遞增區(qū)間為（）.
（2）由，得，
∵，∴，
∴＝，解得.
又△ABC的外接圓半徑為2，則，
由余弦定理，得，即，
即，，
當且僅當，等號成立，
所以△ABC面積，
故△ABC面積的最大值為.
例題5．（2024福建）已知的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求證：為等腰三角形；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由余弦定理化角為邊，化簡即可得證；
（2）由余弦定理可求得，可求的面積.
【詳解】（1）因為，所以，
化簡得，即，所以是等腰三角形.
（2）由余弦定理可得，得，
解得，由，所以，
所以的面積為.
【即時演練】
1．在△ABC中，若，，，則邊上的高為（）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形
【分析】先利用余弦定理求得的長，再利用三角形等面積法即可求得邊上的高.
【詳解】由余弦定理，得，
設邊上的高為，則，解得.
故選：C.
2．在中，角的對邊分別為.已知，則（）
A．1B．2C．1或2D．或
【答案】C
【知識點】余弦定理解三角形
【分析】根據余弦定理即可求解.
【詳解】由余弦定理可得,即，
解得或，
故選：C
3．在中，，，，則邊（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】余弦定理解三角形
【分析】根據余弦定理可求的值.
【詳解】由余弦定理可得，故
故選：C.
4．已知的三個角的對邊分別為，
(1)已知，求邊上中線長.
(2)請用表示邊的中線長，并寫出推導過程.
【答案】(1)
(2)，過程見解析
【知識點】余弦定理解三角形
【分析】（1）設邊上的中線記為，根據余弦定理得和
，解得.
（2）利用余弦定理求出邊上的中線即可．
【詳解】（1）設邊上的中線記為，根據余弦定理得,
所以，
所以.
（2）邊的中線長為,
證明：設邊 BC 上的中線記為 ma ，
根據余弦定理得，
所以
，
所以.
5．銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.
(1)求；
(2)若，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【知識點】三角恒等變換的化簡問題、余弦定理解三角形
【分析】（1）根據三角恒等變換即可求解，
（2）根據余弦定理，結合面積公式即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
又，所以.
由為銳角三角形，得.
（2）由（1）及余弦定理知.
因為，，所以，
所以的面積.
考點七：正弦定理
【典型例題】
例題1．（2022河北）在中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形
【分析】根據正弦定理可求，從而可求.
【詳解】由正弦定理可得，故，
因為，故，故為銳角，故，
故選：A.
例題2．（2021新疆）在中，已知，，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理代值計算即得.
【詳解】由正弦定理，可得，
故選：D.
例題3．（2024江蘇）在中，且均為整數，D為AC中點，則的值為（）
A．B．C．D．1
【答案】D
【知識點】求正切型三角函數的單調性、用和、差角的正切公式化簡、求值、正弦定理解三角形、數量積的運算律
【分析】根據給定條件，確定角的大小，再利用和角的正切及整數條件求出，然后利用同角公式、正弦定理及向量數量積的運算律求解即得.
【詳解】在中，由，得，即，
則，由為整數，得，，
，整理得，
而，且均為整數，則，
由，解得，
由，解得，
由正弦定理得，則，
由D為AC中點，得，則
，
所以.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：解決本問題的關鍵是求出的值，再轉化為解三角形問題.
例題4．（2024云南）在中，內角的對邊分別是，若，則（）
A．6B．4C．3D．2
【答案】D
【知識點】正弦定理解三角形
【分析】由正弦定理求解即可．
【詳解】由正弦定理得，，
得，得，
故選：D
【即時演練】
1．在中，已知，，，則角的值為（）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【知識點】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理得到值，再根據得到，即可求解．
【詳解】，，，
又，且，
，則角的值為．
故選：B.
2．中，，，，則．
【答案】
【知識點】正弦定理解三角形
【分析】由三角形三個角的和為得出的值，利用正弦定理解出邊.
【詳解】，
∵，
∴，
∴
故答案為：
3．在中內角所對的邊分別為，且，，，則．
【答案】或
【知識點】正弦定理解三角形
【分析】根據已知條件和正弦定理可得角，從而得到的值．
【詳解】在中由正弦定理可知，所以，
解得，因為為的內角，
所以或，
所以或，
故答案為：或．
4．在中，角的對邊分別為，已知．
(1)求角C的大小；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【知識點】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用余弦定理計算即可；
（2）利用正弦定理結合（1）的結論計算即可.
【詳解】（1），
，
．
（2），
，
，
．
考點八：余弦定理、正弦定理綜合應用
【典型例題】
例題1．（2024安徽）在中，下列結論正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．D．若≥，則
【答案】D
【知識點】特殊角的三角函數值、誘導公式五、六、正弦定理邊角互化的應用
【分析】AB選項，可舉出反例；C選項，利用誘導公式推出；D選項，由正弦定理和大邊對大角得到D正確.
【詳解】A選項，當時，，故，A錯誤；
B選項，時，無意義，B錯誤；
C選項，，C錯誤；
D選項，由正弦定理得，
因為，所以，
由大邊對大角得，D正確.
故選：D
例題2．（2024湖北）的內角的對邊分別為，面積為.已知，再從①②兩個條件中選取一個作為已知條件，求的周長.
①；②.
注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】
【知識點】三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形
【分析】若選擇①，根據面積公式求，再根據余弦定理求，即可求解周長；
若選項②，根據面積公式求角以及角，再結合，即可求解周長.
【詳解】若選擇①，
，得，
，
得，所以；
若選擇②，
，得，因為，所以，
那么，，
，得，，，
所以，
所以的周長為.
例題3．（2024浙江）已知為銳角三角形，角對應的邊分別為，且
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【知識點】輔助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應用、正余弦定理與三角函數性質的結合應用
【分析】（1）根據題意，利用正弦定理化簡得到，得到，即可求解；
（2）由（1）得到外接圓的直徑，利用正弦定理和三角恒等變換的公式，得化簡得到，根據銳角三角形，求得，結合三角函數的性質，即可求解.
【詳解】（1）解：因為，
由正弦定理得，
又因為，可得，可得，即
因為，可得，所以，所以.
（2）解：由（1）知，且，可得外接圓的直徑，
又由正弦定理得
，
因為為銳角三角形，可得，解得，
可得，所以，則，
所以的取值范圍為．
【即時演練】
1．在中，角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大??；
(2)若，的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【知識點】余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應用
【分析】（1）將余弦定理代入已知式化簡即可；
（2）由三角形的面積公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周長.
【詳解】（1），
由余弦定理得，，
所以，，
.
又，.
（2）因為的面積為，即，
.
由余弦定理得.
解得.
所以周長為.
2．在△ABC中，角C為銳角且滿足．
(1)求；
(2)若，且的周長為，求的面積．
【答案】(1)
(2)
【知識點】二倍角的余弦公式、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形、已知三角函數值求角
【分析】（1）由倍角公式和同角三角函數的商數關系，化簡得，角C為銳角，有，可求角C；
（2），得，余弦定理得，求出，由公式求的面積．
【詳解】（1）由可得，
則，得，
因為角C為銳角，有，可得.
（2）因為周長，，所以 ①，
又因為，所以 ②，
由①②得，所以.
3．在中，，.
(1)求A的大小；
(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積.條件①：AC邊上的高；條件②：；條件③：.
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【知識點】正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理邊化角即可求解.
（2）選①，由直角三角形邊角關系求出，再由余弦定理求出并求出三角形面積；選②，利用正弦定理求出，再利用大角大邊確定三角形無解；選③，由余弦定理建立方程無解.
【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得，
而，則，
又，所以.
（2）若選①，邊上的高，在中，，
即，
在中，由余弦定理，得，
整理得，而，解得，
的三邊已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一，
所以的面積為；
若選②，，則，
在中，，
由正弦定理，得，
根據三角形中大角對大邊可知，不存在；
若選③，，由余弦定理，得，
則，顯然，即方程無解，
因此不存在，③不可選.
考點九：復數的概念及四則運算
【典型例題】
1．（2024北京）在復平面內，復數對應的點的坐標為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】復數的坐標表示
【分析】復數對應的點為即可求解.
【詳解】因為，所以對應的點的坐標為，
故選：D
2．（2024湖北）歐拉恒等式（其中為虛數單位，為歐拉常數）被譽為數學中最奇妙的公式之一，它是歐拉公式的特例，即當時，，得.根據歐拉公式，表示的復數是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識點】復數的基本概念
【分析】復數，進而得出共軛復數為z.
【詳解】由題意，復數.
故選：A
3．（2024浙江）（）
A．B．C．0D．2
【答案】D
【知識點】復數代數形式的乘法運算
【分析】根據復數的乘法運算求解即可.
【詳解】由題意可得：.
故選：D.
4．（2024福建）已知是實數，且，則x+y=
【答案】7
【知識點】復數的相等
【分析】根據給定條件，利用復數相等求出即可得解.
【詳解】由是實數，且，得，
所以.
故答案為：7
5．（2022安徽）．
【答案】
【知識點】求復數的模、復數的除法運算
【分析】根據復數的除法運算即復數的模的求法計算即可.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：2.
【即時演練】
1．若復數z滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識點】共軛復數的概念及計算、復數的除法運算
【分析】利用復數的四則運算求，根據共軛復數的定義求即可.
【詳解】由題設，則.
故選：A
2．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】求復數的模、復數的除法運算、復數代數形式的乘法運算
【分析】根據復數的四則運算可得，進而可得模長.
【詳解】由已知，
則，
則，
故選：C.
3．若為虛數單位，則 .
【答案】
【知識點】復數的除法運算
【分析】利用復數的除法運算求得正確答案.
【詳解】.
故答案為：
4．若復數（為虛數單位）的實部和虛部相等，則實數的值為
【答案】
【知識點】求復數的實部與虛部
【分析】根據復數的概念計算即可.
【詳解】根據題意可知的實部和虛部分別為，所以.
故答案為：
5．在復平面內，復數對應的點位于第象限.
【答案】三
【知識點】復數的除法運算、判斷復數對應的點所在的象限
【分析】經計算結合復數的坐標形式可得所在象限.
【詳解】，其在復平面對應坐標為，故該點在第三象限.
故答案為：三
實戰(zhàn)能力訓練
一、單選題
1．已知復數z滿足，則（）
A．B．C．0D．2
【答案】B
【知識點】復數的相等、復數代數形式的乘法運算、共軛復數的概念及計算
【分析】設，代入已知條件，求得，進而求得.
【詳解】設，則，
，
所以，解得，
所以.
故選：B
2．若復數z滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】求復數的模、復數的除法運算、共軛復數的概念及計算
【分析】先確定復數，再求復數的模.
【詳解】，
所以，所以.
故選：C
3．在中，，，分別為內角，，的對邊，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識點】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應用
【分析】利用正弦定理將邊化角，整理即可求得.
【詳解】，
由正弦定理可得，
又在中，
，
，
，
在中，，
，且為的內角，
，
故選：C．
4．已知向量，，若，則（）
A．2B．C．D．
【答案】A
【知識點】向量垂直的坐標表示
【分析】根據平面向量垂直可得數量積為0，求解即可.
【詳解】因為，所以，可得，解得.
故選：A.
5．已知，，，若A，B，C三點共線，則m=（）
A．11B．9C．7D．6
【答案】A
【知識點】由向量共線（平行）求參數
【分析】由三點共線轉換為向量共線，由向量共線的充要條件即可求解.
【詳解】由題意與共線，所以，解得．
故選：A.
6．克羅狄斯托勒密（約90-168年）是希臘著名的數學家、天文學家和地理學家．托勒密定理是歐幾里得幾何中的重要定理，定理內容如下：任意一凸四邊形，兩組對邊乘積的和不小于兩對角線的乘積，當且僅當四點共圓時，等號成立．已知在凸四邊形中，，，，，則的最大值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識點】余弦定理解三角形
【分析】記，利用余弦定理表示出，然后根據題中結論可得.
【詳解】設，則，
在中，由余弦定理得，
由題知，，即，
所以，當且僅當四點共圓時取等號，
所以的最大值為.
故選：D

二、多選題
7．已知平面內兩個單位向量的夾角為，則下列結論正確的有（）
A．
B．的取值范圍為
C．若，則
D．在上的投影向量為
【答案】AB
【知識點】已知數量積求模、向量夾角的計算、垂直關系的向量表示、求投影向量
【分析】根據向量垂直、模、夾角、投影向量等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，由于，
所以，所以A選項正確.
B選項，，
，所以B選項正確.
C選項，，
解得，所以，所以C選項錯誤.
D選項，在上的投影向量為，所以D選項錯誤.
故選：AB
8．下列命題中，正確的是（）
A．在中，若，則必是等腰直角三角形
B．在銳角中，不等式恒成立
C．在中，若，則
D．在中，若，則必是等邊三角形
【答案】BCD
【知識點】正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三角形形狀
【分析】A由正弦定理邊角關系，結合三角形內角的性質判斷內角A、B的數量關系；B由，則，結合正弦函數的單調性可得證；C由正弦定理的邊角關系判斷；D利用余弦定理，結合已知得，進而判斷△的形狀.
【詳解】A：由題設，可得，
又，則或，故為等腰或直角三角形，錯誤；
B：在銳角中，，則，
又在單調遞增，所以，正確；
C：若，由大角對大邊知，又，可知，正確；
D：由題設，，故，即，又，
可知，故必是等邊三角形，正確.
故選：BCD
三、填空題
9．若，則復數的虛部是．
【答案】/0.5
【知識點】求復數的實部與虛部、復數的除法運算
【分析】把已知等式變形，再由復數代數形式的乘除運算化簡得答案．
【詳解】因為，所以,
所以復數的虛部是.
故答案為：.
10．記內角，，的對邊分別為，，．已知，則．
【答案】
【知識點】誘導公式二、三、四、余弦定理解三角形
【分析】結合三角形內角和、誘導公式與余弦定理計算即可得解.
【詳解】由，故，
則，故.
故答案為：.
四、解答題
11．已知復數．
(1)若復數為純虛數，求實數的值；
(2)若復數在復平面內對應點位于第二象限，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)．
【知識點】已知復數的類型求參數、根據復數對應坐標的特點求參數
【分析】（1）根據純虛數的定義即可求解，
（2）根據復數的幾何意義，結合第二象限點的特征即可求解.
【詳解】（1）因為復數為純虛數，所以，
解的
解得，；
（2）因為復數在復平面內對應的點在第二象限，所以
解之得
得．
所以實數的取值范圍為．
12．在中，
(1)求角A的大小；
(2)若，求證：為直角三角形.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【知識點】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形
【分析】（1）由三角恒等變換公式代入計算，即可得到結果；
（2）由余弦定理代入計算，即可得到關系，再由勾股定理，即可判斷.
【詳解】（1）在中，，
可得，即有，
，.
（2）證明：由（1）知，又，
由余弦定理得，
，即，
為直角三角形．
13．在中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求角A的大??；
(2)若，的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形
【分析】（1）先根據兩角和的正弦公式化簡題干條件可得，進而得到，進而求解；
（2）根據三角形的面積公式及余弦定理求解即可.
【詳解】（1）因為，
在中，，即.
（2）由（1）知，，
所以，
即，所以，
又，即，
所以的周長為.
14．的內角的對邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，的面積為，求．
【答案】(1)
(2)
【知識點】正弦定理解三角形、正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理邊化角，即可求得答案；
（2）由三角形面積求出c，再利用余弦定理即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知，即，
由于，
故，即，結合，則；
（2），，的面積為，則，則，
故，
故.
15．已知中，角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，求面積的最大值．
【答案】(1)
(2)
【知識點】三角恒等變換的化簡問題、正弦定理邊角互化的應用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換等知識求得.
（2）利用余弦定理和基本不等式求得的最大值，進而求得三角形面積的最大值.
【詳解】（1）由正弦定理及倍角公式得
，得，
即，故.
（2）由余弦定理可得，
解得，
當且僅當時取等號，
的面積．
故面積的最大值為．
16．已知的內角的對應邊分別為，且．
(1)求角A；
(2)若的面積為，周長為15，求．
【答案】(1)
(2)
【知識點】用和、差角的正弦公式化簡、求值、正弦定理邊角互化的應用、三角形面積公式及其應用、余弦定理解三角形
【分析】（1）利用正弦定理結合正弦的和角公式化簡計算即可；
（2）利用三角形面積公式結合余弦定理建立方程計算即可.
【詳解】（1）因為，．
由正弦定理得，
則，
即．
在中，，故．
因為，所以．
（2）因為的面積為，
所以，得．
由余弦定理得，則．
又，所以，
解得．
17．已知向量，.
(1)若與的夾角為，求實數的值；
(2)若，求向量在向量上的投影向量坐標.
【答案】(1)或；
(2).
【知識點】用定義求向量的數量積、數量積的坐標表示、利用向量垂直求參數、求投影向量
【分析】（1）根據數量積的定義和坐標運算即可求得；
（2）根據求得，再根據投影向量的定義即可求得.
【詳解】（1）因為，則，，，
若與的夾角為，則由，
可得：，解的：或，
則實數的取值為或.
（2），因為，則，
則，可得：，，，
則在方向上的投影向量為：.
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8906" 明晰學考要求 PAGEREF _Tc8906 \h 1
\l "_Tc11053" 基礎知識梳理 PAGEREF _Tc11053 \h 2
\l "_Tc20096" 點精講講練 PAGEREF _Tc20096 \h 7
\l "_Tc27333" 考點一：平面向量的概念 PAGEREF _Tc27333 \h 7
\l "_Tc4138" 考點二：平面向量的運算 PAGEREF _Tc4138 \h 10
\l "_Tc19084" 考點三：平面向量基本定理 PAGEREF _Tc19084 \h 14
\l "_Tc4127" 考點四：平面向量坐標運算 PAGEREF _Tc4127 \h 18
\l "_Tc17389" 考點五：平面向量數量積 PAGEREF _Tc17389 \h 21
\l "_Tc13028" 考點六：余弦定理 PAGEREF _Tc13028 \h 26
\l "_Tc16141" 考點七：正弦定理 PAGEREF _Tc16141 \h 31
\l "_Tc26325" 考點八：余弦定理、正弦定理綜合應用 PAGEREF _Tc26325 \h 35
\l "_Tc17509" 考點九：復數的概念及四則運算 PAGEREF _Tc17509 \h 39
\l "_Tc16363" 實戰(zhàn)能力訓練 PAGEREF _Tc16363 \h 42

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