1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼貼在答題卡上的指定位置．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一是符合題目要求的．
1. 拋物線的準線方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由拋物線的標準方程可求解.
【詳解】由，可知拋物線的焦點在的正半軸上，又，所以，
所以拋物線的準線方程為.
故選：B.
2. 復數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由復數(shù)的乘除運算及虛部概念即可求解；
【詳解】，
所以虛部為，
故選：B
3 已知集合.，中（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指數(shù)不等式化簡，再由交集、補集運算即可求解；
【詳解】，
所以或，
所以，
故選：D
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.
【詳解】因為，所以，
所以，所以.
故選：A
5. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 22
【答案】D
【解析】
【分析】由等差數(shù)列及前項和的性質(zhì)即可求解；
【詳解】由，可得：，
所以，
又，
故選：D
6. 在同一平面內(nèi)，向量滿足，則的最小值為（ ）
A. 3B. 2C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意用向量的坐標運算求出的坐標，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出的最小值即可.
【詳解】由題意，不妨設(shè)，則由得，
則，所以，所以，
所以當時，的最小值為3.
故選：A
7. 若邊長為整數(shù)的正方形的四個頂點均在橢圓上，則的焦距為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題意根據(jù)對稱性得點在上，代入的方程得，利用橢圓焦距的定義求解即可.
【詳解】由對稱性可知，正方形的四個頂點必在直線上，由于橢圓在y軸上的兩頂點間的距離為2，
所以正方形的邊長只能為1，因此點在上，代入的方程得，解得，
故，所以的焦距為.
故選：B
8. 已知是遞增的等比數(shù)列，若，則當取得最小值時，（ ）
A.
B. 1
C. 4
D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】由已知得，有，，及，則取得最小值等價于函數(shù)取得最小值，利用導數(shù)法得時，取得最小值，即可求解.
【詳解】設(shè)公比為q，由得，，故，
又因為是遞增的數(shù)列，所以，
因為，所以取得最小值等價于函數(shù)取得最小值，
求導得，
令得，令得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當時，取得最小值，此時.
故選：D
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】對于AD，可通過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷；對于BC，可通過特殊值判斷；
【詳解】對于A，由函數(shù)單調(diào)遞增，可知當，正確；
對于B，取，可得，錯誤；
對于C，取，顯然不成立，錯誤；
對于D， 等價于，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增可知：當，，所以成立，正確；
故選：AD
10. 須彌座是一種古建筑的基座形式，又名“金剛座”，通常用于宮殿、寺廟、塔、碑等重要建筑的基座部分，由多層不同形狀的構(gòu)件組成，具有很高的藝術(shù)價值.如圖所示，某古建筑的須彌座最下層為正六棱臺形狀，該正六棱臺的上底面邊長為3，下底面邊長為4，側(cè)面積為，則（ ）

A. 該正六棱臺的高為
B. 該正六棱臺的側(cè)面與下底面的夾角為
C. 該正六棱臺的側(cè)棱與下底面所成角的正弦值為
D. 該正六棱臺的體積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】先求出側(cè)面梯形的高進而求解正六棱臺的高判斷A，利用正棱臺的特征及二面角的概念在直角梯形中求解判斷B，根據(jù)線面角的概念在直角梯形中求解判斷C，根據(jù)棱臺的體積公式求解判斷D.
【詳解】如圖，分別是上,下底面中心，分別是棱中點，

對于A，由已知可得每個側(cè)面等腰梯形的面積為，
所以梯形的高為，
由此可得該正六棱臺的高為，錯誤；
對于B，由正棱臺的性質(zhì)及二面角的概念可知，側(cè)面與下底面的夾角為，
因為在直角梯形中，，，所以，
易知為銳角，所以，正確；
對于C，由正棱臺的性質(zhì)及二面角的概念可知，側(cè)棱與下底面所成角為，
在直角梯形中，，得，
所以，正確；
對于D，該棱臺上底面面積，下底面面積，
故棱臺的體積為，正確.
故選：BCD
11. 已知函數(shù)的定義域為R，且，若，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 是奇函數(shù)
C. D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，令可判斷，對于B，分別令和可判斷，對于C，令，可判斷，對于D，令，通過累加可判斷；
【詳解】對于A，令可得：，
所以，正確；
對于B，令，可得：，
令可得：，即，
所以，即是奇函數(shù)，正確；
對于C：令，可得，
由B可得：，
所以，C錯誤；
對于D，令，可得：，
所以
所以，
，
,
累加可得：
所以，
化簡可得：，
當時，代入可得滿足，
所以，則，
故選：ABD
【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于D，令，再累加求和；
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若（為正常數(shù)）的展開式中所有項的系數(shù)之和為81，則展開式中的常數(shù)項為__________．
【答案】24
【解析】
【分析】通過賦值，求得，進而可求解；
【詳解】令，由題意可得且，解得：，
由通項公式可知：展開式中的常數(shù)項為.
故答案為：24
13. 已知函數(shù)在上的最小值為，則的最小值為__________．
【答案】
【解析】
【分析】通過換元，問題轉(zhuǎn)換成在可取到，進而可求解；
【詳解】由，可得：，
令
由題意可知：在可取到，
結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知需滿足：，
解得，
所以的最小值為，
故答案為：
14. 某商場舉行有獎問答游戲，每名參加者要依次回答若干道題，若連續(xù)答對兩題則結(jié)束游戲，并獲得獎品，若連續(xù)答錯兩題也結(jié)束游戲，但不能獲得獎品，只要沒有出現(xiàn)連續(xù)答對或連續(xù)答錯的情況，就繼續(xù)答題．已知小明答對每道題的概率都為，則小明獲得獎品的概率為__________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)表示當前已答對最后一題的情況下獲得獎品的概率；表示當前已答錯最后一題的情況下獲得獎品的概率；由題意確定，的等式關(guān)系，求解即可；
【詳解】設(shè)表示當前已答對最后一題的情況下獲得獎品的概率；
表示當前已答錯最后一題的情況下獲得獎品的概率；
由題意可得：，
解得：，，
所以小明獲得獎品的概率為，
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．
（1）求；
（2）若，求外接圓半徑的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及特殊角的余弦值可得；
（2）由正弦定理得外接圓的半徑，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可得解.
【小問1詳解】
由正弦定理及可得，，
因為，所以，所以，
因為，所以；
小問2詳解】
由題意得三角形外接圓的半徑，要使外接圓的半徑最小，只需最小，
又因為，則由余弦定理得，
當且僅當時取等號，此時，所以，
即外接圓半徑的最小值為.
16. 如圖，將等腰直角三角形沿斜邊上的中線翻折，得到四面體．
（1）證明：平面；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由即可求證；
（2）建系求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；
【小問1詳解】
由為等腰直角三角形斜邊上的中線，
可得：，也即，又為平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面；
【小問2詳解】
由，可得，
所以，所以，
因為平面，以為坐標原點，以為軸和軸，過在平面作的垂線為軸建系，
易知，
則
設(shè)平面的法向量為，
則 ，即，令，可得：，
所以，
易知平面一個法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，
所以，
所以平面與平面夾角的余弦值為；
17. 已知雙曲線的焦距為，過點的直線與交于兩點，且當軸時，．
（1）求的方程；
（2）若點都在的左支上，且以為直徑的圓與軸相切，求的斜率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，的方程，解出即可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達定理利用直線與雙曲線交于左支求出，根據(jù)弦長公式求出，再根據(jù)以為直徑的圓與軸相切建立方程即可求解．
【小問1詳解】
因為當軸時，，所以點在曲線C上，
所以，又的焦距為，所以，
所以，解得（負根舍去），所以，
所以的方程為；
【小問2詳解】
由題知，直線l的斜率一定存在，
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，消并整理得，
因為直線與的左支交于兩點，所以，
解得，所以，
且，
因為以為直徑的圓與軸相切，所以，
所以，所以，結(jié)合，所以，
解得，即的斜率為.
18. 已知函數(shù)．
（1）若曲線在點處的切線平行于直線．求；
（2）若且函數(shù)只有一個極值點.求實數(shù)的取值范圍；
（3）若，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義列方程求解即可；
（2）化簡得，根據(jù)和分類討論單調(diào)性，時，在上單調(diào)的遞增，不存在極值；時，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合極值點的定義即可求解；
（3）參變分離得，設(shè)，則，同構(gòu)后換元，利用導數(shù)法求得的最小值為0，即可求解，
【小問1詳解】
由題意，得，則，
由題意，解得；
【小問2詳解】
當時，，
，
令，則，
當時，，則在上單調(diào)的遞增，所以函數(shù)不存在極值；
當時，令即，得，令，
則恒成立，則在上單調(diào)的遞增，又，，所以存在唯一的，使得，
當時，，即，所以函數(shù)單調(diào)遞減，
當時，，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
所以僅在處取到極小值，符合題意.
綜上，函數(shù)只有一個極值點時，實數(shù)的取值范圍為.
【小問3詳解】
由，參變分離得，設(shè)，則，因為，所以，
令，因為，所以，設(shè)，則，，
當時，，為減函數(shù)，
當時，，為增函數(shù)，
所以，即的最小值為0，即，所以，即，故實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
19. 在一個足夠大的不透明袋中進行一個輪摸球試驗，規(guī)則如下：每一輪試驗時，袋中均有紅、黑、白三種顏色的球，從中隨機摸出一個球（摸出的球不再放回），若摸出紅球．則試驗成功；若摸出白球，則試驗失?。蝗裘龊谇?，則進入判定環(huán)節(jié)：判定時，放回兩個黑球取出一個白球，再從中隨機摸出一個球，若為白球則試驗失敗，否則試驗成功．若試驗成功，則結(jié)束試驗，若試驗失敗，則進行下一輪試驗，直至成功或輪試驗進行完．已知第輪試驗開始時，袋中有1個紅球，個黑球，個白球．
（1）求第1輪試驗成功的概率；
（2）某團隊對這個試驗進行了一定的研究，請若干志愿者進行了5輪試驗，并記錄了第輪試驗成功志愿者的比例，記，發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)，求關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程，并預測試驗輪數(shù)足夠大時，試驗成功志愿者的比例；
（3）記試驗結(jié)束時，試驗成功的概率為，證明：．
參考數(shù)據(jù)：．
附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．
【答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）按照試驗規(guī)則，分別求出直接摸出紅球和先摸出黑球且試驗成功的概率，然后利用互斥事件概率加法公式求解即可；
（2）先根據(jù)給定的回歸方程相關(guān)公式計算出，從而求出經(jīng)驗回歸方程，再根據(jù)試驗輪數(shù)足夠大時x的變化趨勢預測試驗成功志愿者的比例；
（3）通過對試驗成功概率的遞推關(guān)系進行分析，利用放縮法證明即可.
【小問1詳解】
第1輪試驗中有1個紅球，1個黑球，2個白球，
摸出紅球，即試驗成功概率為，
摸出黑球且試驗成功的概率為，
所以第1輪試驗成功的概率為；
【小問2詳解】
，
所以，則所求經(jīng)驗回歸方程為，
當試驗輪數(shù)足夠大，即足夠大時，x接近于0，則y接近于，
故預測成功志愿者的比例為；
【小問3詳解】
依題意，輪試驗失敗的概率為，設(shè)第輪試驗失敗的概率為，
則，發(fā)生有兩種可能，直接摸出白球，概率為，
或者摸出黑球后再摸出白球，概率為，
所以，
則，因此.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：（3）解答的關(guān)鍵在于求出試驗失敗的概率，然后利用乘法公式及對立事件的概率公式求出試驗成功的概率，利用放縮法證明.

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