專題03 函數(shù)的概念與性質(zhì)（知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講精練+實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練）-2025年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試總復(fù)習(xí)（全國通用）.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1、體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)的概念；
2、了解構(gòu)成函數(shù)要素，能求簡單的函數(shù)定義域；
3、會(huì)根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，理解函數(shù)圖象的作用；
4、了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；
5、會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，最大值，最小值；
6、了解奇偶性的概念；
7、了解周期性的概念
基礎(chǔ)知識(shí)梳理
1、函數(shù)的概念
設(shè)、是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域
與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
2、同一（相等）函數(shù)
函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．
同一（相等）函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
3、函數(shù)的表示
函數(shù)的三種表示法
4、函數(shù)的單調(diào)性
（1）單調(diào)性的定義
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，；
①當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)
②當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)
（2）單調(diào)性簡圖：

（3）單調(diào)區(qū)間（注意先求定義域）
若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
5、函數(shù)的最值
（1）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足
①對(duì)于任意的，都有；
②存在，使得
則為最大值
（2）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足
①對(duì)于任意的，都有；
②存在，使得
則為最小值
6、函數(shù)的奇偶性
7、函數(shù)對(duì)稱性
（1）軸對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則
①；
②；
③
（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則
①
②
③
（2）點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則
①
②
③
8、冪函數(shù)定義
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．
9、五種常見冪函數(shù)
10、常見幾類函數(shù)模型
考點(diǎn)精講講練
考點(diǎn)一：函數(shù)的概念
【典型例題】
例題1．（2024福建）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域
【分析】求已知函數(shù)解析式的函數(shù)的定義域，只需讓函數(shù)解析式有意義即可.
【詳解】由題意可得：，∴
故選：A
例題2．（2024云南）已知函數(shù)，則（）
A．B．C．2D．1
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值
【分析】由函數(shù)解析式求解．
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故選：A
例題3．（2024浙江）若，，則（）
A．55B．190C．210D．231
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值
【分析】利用賦值法分析可得，，即可得結(jié)果.
【詳解】令，則，可得；
令，則，可得；
令，則，即，
則，
可得，
所以.
故選：B.
【即時(shí)演練】
1．下列各組函數(shù)中為同一函數(shù)的是（）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域等知識(shí)來確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，，，
兩個(gè)函數(shù)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域相同，所以是同一函數(shù)，B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，對(duì)于，，解得或，
所以的定義域是，
對(duì)于，，解得，
所以的定義域是，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，的定義域是，
的定義域是，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
2．函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求定義域即可.
【詳解】由題可得，解得且.
所以的定義域?yàn)?
故選：B.
3．已知函數(shù)滿足，則（）
A．?2B．1C．4D．7
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值
【分析】根據(jù)給定條件，令，即取代入計(jì)算即得.
【詳解】函數(shù)滿足，當(dāng)，即時(shí)，.
故選：C
考點(diǎn)二：函數(shù)的表示
【典型例題】
例題1．（2024安徽）已知函數(shù)，則（）
A．B．1C．2D．3
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，代入準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，則.
故選：D.
例題2．（2024浙江）已知函數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)），則 .
【答案】3
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義
【分析】根據(jù)定義直接求解即可.
【詳解】由題意.
故答案為：.
例題3．（2024江蘇）已知函數(shù)滿足，且，則．
【答案】或2021.
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、已知f（g（x））求解析式
【分析】，通過賦值法，求出t的值，進(jìn)而得到，再求解即可.
【詳解】令，則，
令，則，解得或.
而，故.因此.
則，
即，
因此或
當(dāng)時(shí)，，時(shí)，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，.
故答案為：或2021.
【即時(shí)演練】
1．函數(shù)的值域是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的值域或最值
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段求解，取并集即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以時(shí)，的值域?yàn)椋?br>故選：D
2．若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）

A．B．C．D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、二次函數(shù)的圖象分析與判斷、函數(shù)圖象的應(yīng)用
【分析】利用函數(shù)圖象求得函數(shù)定義域，利用函數(shù)值可得出其解析式，代入計(jì)算即求得函數(shù)值.
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知和不在函數(shù)的定義域內(nèi)，
因此和是方程的兩根，因此可得，
又易知，所以可得；
即，所以.
故選：D
3．已知函數(shù)，且，則（）
A．1B．2C．3D．6
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段討論得到方程（不等式）組，解得即可.
【詳解】因?yàn)椋遥?br>則或，解得.
故選：C
考點(diǎn)三：函數(shù)的單調(diào)性與最大（小）值
【典型例題】
例題1．（2023新疆）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍
【分析】先分析的對(duì)稱軸，然后根據(jù)在上的單調(diào)性得到關(guān)于的不等式，由此求解出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，且在上是減函數(shù)，
所以，所以，
故選：A.
例題2．（2024北京）已知?jiǎng)t ；的最大值為．
【答案】 1 2
【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)的值域或最值
【分析】第一空直接代入即可，第二空分別計(jì)算兩段的最大值，比較即可求解.
【詳解】由解析式可知：，
當(dāng)，易知，
當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，取最大值2，
所以的最大值為2，
故答案為：1，2
例題3．（2023吉林）已知函數(shù)．
(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）任取，作差，分析每一個(gè)因式的正負(fù)，進(jìn)而得到，可判斷單調(diào)性；
（2）根據(jù)第一問得到的函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可列式，解不等式即可得到答案.
【詳解】（1）任取，
則，
因?yàn)椋瑒t，，，
則，故在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）得，在上單調(diào)遞減，
所以，，解得，
所以，即所求范圍是.
【即時(shí)演練】
1．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍
【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.
【詳解】函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，
由函數(shù)在區(qū)間0,1上是單調(diào)函數(shù)，得或，解得或，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選：C
2．若在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.
【詳解】由題意可得：，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
3．已知函數(shù)
(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
(2)當(dāng)，求函數(shù)的值域.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域
【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即得；
（2）利用已證的函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.
【詳解】（1）任取，且，
由，
因，故，，故，
即函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
（2）由（1）已證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故在上也是增函數(shù)，
則，即，故函數(shù)的值域?yàn)?
考點(diǎn)四：函數(shù)的奇偶性
【典型例題】
例題1．（2024安徽）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，令，即可得到答案.
【詳解】∵函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,
∴fx為奇函數(shù),
∴，
∴a=?1，經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè).
故答案為：
例題2．（2024福建）已知函數(shù)
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求k的取值范圍.
【答案】(1)奇函數(shù)，理由見解析
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷；
（2）由題意可得當(dāng)時(shí)，恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得答案.
【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，且滿足，
故為奇函數(shù)；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即，
即恒成立，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故.
例題3．（2024安徽）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且
(1)求的值；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并加以證明；
(3)若函數(shù)滿足不等式，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增，證明見解析
(3)
【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)
【分析】（1）利用和可求得，檢驗(yàn)可知滿足題意；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可;
（3）利用單調(diào)性及定義域列出不等式即可
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，
則，解得，
所以函數(shù)，
檢驗(yàn)：，故函數(shù)為奇函數(shù)，
所以；
（2）在上單調(diào)遞增．
證明如下：對(duì)于任意，且，
則，
由，得，
又，
所以，即，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（3）不等式，
是增函數(shù)，且，所以，解得，
所以t的取值范圍是
【即時(shí)演練】
1．已知為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．－2B．－1C．1D．1
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再求出即可得解.
【詳解】因?yàn)闉槎x在R上的奇函數(shù)，
所以得，
所以，故，
則，
故選：C．
2．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義求解即得.
【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，得，
當(dāng)時(shí)，，，
而當(dāng)時(shí)，，則，即，
當(dāng)時(shí)，，，符合題意，
所以.
故答案為：3
3．已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.
(1)求函數(shù)的解析式，并畫出具體函數(shù)圖象；
(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)，圖象見解析；
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、畫出具體函數(shù)圖象、由函數(shù)奇偶性解不等式
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的定義，求出時(shí)，函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)及偶函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象以及奇偶性分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和對(duì)稱性可得，運(yùn)算求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，
由題意可得：，
因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù),所以f?x=fx，
所以，
所以函數(shù)的解析式為，
結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)易畫出圖象如圖所示：
（2）結(jié)合該函數(shù)的圖象可知：在上單調(diào)遞減,在0,+∞上單調(diào)遞增.
又因?yàn)楹瘮?shù)是上的偶函數(shù)，且，
所以，
整理可得: ，解得：.
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為0,2.
考點(diǎn)五：冪函數(shù)
【典型例題】
例題1．（2024湖南）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則（）
A．2B．C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求冪函數(shù)的解析式
【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得.
【詳解】將代入得：，解得：.
故選：A
例題2．（2023江蘇）已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．B．C．3D．1
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，求得或，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，可得，
即，解得或，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意.
故選：A.
例題3．（2023寧夏）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值
【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)，即可求解.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，
所以，解得.
故答案為：2.
【即時(shí)演練】
1．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．0,2B．C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的知識(shí)求得，由此化簡不等式并求得不等式的解，從而求得的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，解得或.
當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是得，
不等式化為，
即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：C
2．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為 .
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值、由冪函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】先根據(jù)冪函數(shù)定義確定的可取值，再根據(jù)單調(diào)性確定出的值.
【詳解】因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不符合；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，符合；
故答案為：.
3．已知冪函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；若，則
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】求冪函數(shù)的解析式、基本（均值）不等式的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】由條件先求，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式求，根據(jù)基本不等式判斷與的大小.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，
所以，
所以，故，
函數(shù)的定義域?yàn)?，且函?shù)在單調(diào)遞增，
所以可化為，
所以，即的取值范圍是；
因?yàn)椋?br>所以
所以，
所以，
即.
故答案為：，.
考點(diǎn)六：函數(shù)的應(yīng)用（一）
【典型例題】
例題1．（2024浙江）有一支隊(duì)伍長，以的速度前行，傳令員傳令需要從排尾跑到排頭，再立即返回排尾，速度為，若傳令員回到排尾時(shí)，隊(duì)伍正好前進(jìn)了，則（）
A．2B．3C．D．
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】分式型函數(shù)模型的應(yīng)用
【分析】計(jì)算隊(duì)伍前進(jìn)的總時(shí)間，傳令兵從排頭到排尾的時(shí)間及從排尾到排頭的時(shí)間，根據(jù)傳令兵往返總時(shí)間與隊(duì)伍前進(jìn)時(shí)間相等即可求解.
【詳解】設(shè)總時(shí)間為，傳令員從排頭到排尾所用時(shí)間為，從排尾到排頭所用時(shí)間為，
所以，所以，
解得，即，
所以.
故選：C.
例題2．（2022浙江）某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層．某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元．根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度h（單位：厘米）滿足關(guān)系：．經(jīng)測算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元．設(shè)為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使達(dá)到最小值的隔熱層的厚度h＝厘米．
【答案】
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)，利用基本不等式求解.
【詳解】由題意及，可得，即，
∴．
隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和（萬元），
當(dāng)且僅當(dāng)，即（厘米）時(shí)達(dá)到最小值．
故答案為: .
例題3．（2023安徽）如圖，某小區(qū)要在一個(gè)直角邊長為的等腰直角三角形空地上修建一個(gè)矩形花園．記空地為，花園為矩形．根據(jù)規(guī)劃需要，花園的頂點(diǎn)在三角形的斜邊上，邊在三角形的直角邊上，頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離是頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍．
(1)設(shè)花園的面積為（單位：），的長為（單位：），寫出關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)?shù)拈L為多少時(shí)，花園的面積最大？并求出這個(gè)最大面積．
【答案】(1)
(2)當(dāng)?shù)拈L為5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積為150.
【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求積的最大值
【分析】（1）根據(jù)矩形面積即可求解，
（2）根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】（1）則，，
所以
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故當(dāng)?shù)拈L為5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積為150.
【即時(shí)演練】
1．近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國落地生根，并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)濟(jì)，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒年（為正整數(shù)）所用的各種費(fèi)用總計(jì)為萬元.
(1)該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？
(2)該公司第幾年年平均利潤最大，最大是多少？
【答案】(1)第3年
(2)第7年平均利潤最大，為12萬元
【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題
【分析】（1）先求得利潤的表達(dá)式，由此列不等式來求得正確答案.
（2）先求得平均利潤的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】（1）設(shè)利潤為，則，
由整理得，
解得，由于，
所以，所以第3年首次盈利.
（2）首先，
由（1）得平均利潤萬元，
當(dāng)且僅當(dāng)，萬元時(shí)等號(hào)成立，
綜上，第7年，平均利潤最大，為12萬元.
2．遼陽大果榛子外形美觀、果大皮薄，深受消費(fèi)者歡迎.某遼陽大果榛子網(wǎng)店為回饋新老顧客，提供兩種購買大果榛子的優(yōu)惠方案：第一種方案，每斤的售價(jià)為24元，顧客買x（）斤，每斤的售價(jià)降低x元；第二種方案，顧客買x（）斤，每斤的售價(jià)為元．已知每位顧客限購9斤大果榛子.設(shè)一名顧客按照第一種方案購買大果榛子的付款額為fx元，按照第二種方案購買大果榛子的付款額為元．
(1)分別求函數(shù)fx，的解析式；
(2)已知顧客甲、乙在這家網(wǎng)店均選擇了更經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的方案購買大果榛子，甲、乙的付款總額為135元，且甲購買了5斤大果榛子，試問乙購買了多少斤大果榛子？
【答案】(1)，；，.
(2)乙購買了2斤大果榛子
【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題
【分析】（1）根據(jù)題意，寫出函數(shù)fx,gx的解析式；
（2）先求出，確定甲選擇方案二購買，花費(fèi)91元，得到乙花費(fèi)44元，再分別討論按照方案一和方案二乙可以購買的大果榛子斤數(shù)，得到答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意，，，
，.
（2）由（1），，，所以，則甲選擇方案二購買，花費(fèi)91元，
則乙花費(fèi)元，
若乙按照方案一購買，則，解得或，又，
，即乙可以購買2斤大果榛子，
若乙按照方案二購買，則，解得，
所以乙應(yīng)該按照方案一購買，乙購買2斤大果榛子.
3．學(xué)習(xí)機(jī)是一種電子教學(xué)類產(chǎn)品，也統(tǒng)指對(duì)學(xué)習(xí)有輔助作用的所有電子教育器材．學(xué)習(xí)機(jī)較其他移動(dòng)終端更注重學(xué)習(xí)資源和教學(xué)策略的應(yīng)用，課堂同步輔導(dǎo)?全科輔學(xué)功能?多國語言學(xué)習(xí)?標(biāo)準(zhǔn)專業(yè)詞典以及內(nèi)存自由擴(kuò)充等功能成為學(xué)習(xí)機(jī)的主流競爭手段，越來越多的學(xué)習(xí)機(jī)產(chǎn)品全面兼容網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)?情境學(xué)習(xí)?隨身學(xué)習(xí)機(jī)外教?單詞聯(lián)想記憶?同步教材講解?互動(dòng)全真題庫?權(quán)威詞典?在線圖書館等多種模式，以及大內(nèi)存和SD/MMC卡內(nèi)存自由擴(kuò)充功能根據(jù)市場調(diào)查．某學(xué)習(xí)機(jī)公司生產(chǎn)學(xué)習(xí)機(jī)的年固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為萬元，且．當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為1196萬元；當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為2960萬元．
(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬部）的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款學(xué)習(xí)機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，取得最大值為3680萬元
【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)模型的應(yīng)用、基本（均值）不等式的應(yīng)用、求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)的值域或最值
【分析】（1）根據(jù)題意求出，分別求出當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)的年利潤，即可求解；
（2）分類討論，當(dāng)時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，當(dāng)時(shí)，根據(jù)基本不等式求出最大值，綜合分析即可求解．
【詳解】（1）因?yàn)楫?dāng)生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)8萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為1196萬元，
所以，解得，
當(dāng)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款學(xué)習(xí)機(jī)20萬部并全部銷售完時(shí)，年利潤為2960萬元，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上．
（2）①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以；
②當(dāng)時(shí)，，
由于，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以此時(shí)的最大值為，
綜合①②知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為3680萬元．
戰(zhàn)能力訓(xùn)練
一、單選題
1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的定義域
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)與具體函數(shù)定義域的求法列式計(jì)算即可.
【詳解】根據(jù)題意得解得且.
故選：.
2．下列選項(xiàng)中與是同一函數(shù)的是（）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域、判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等
【分析】根據(jù)同一函數(shù)的概念，即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，二者定義域不同，所以與不是同一函數(shù).
對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，二者定義域不同，所以與不是同一函數(shù).
對(duì)于C，因?yàn)榕c的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以與是同一函數(shù).
對(duì)于D，因?yàn)榕c的定義域相同，但是對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，，所以與不是同一函數(shù).
故選：C.
3．已知，則（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值
【分析】結(jié)合換元思想，令即可代入求解.
【詳解】令，則.
故選：A
4．已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則（）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【知識(shí)點(diǎn)】求冪函數(shù)的解析式、根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)求參數(shù)值
【分析】直接由冪函數(shù)的定義列方程組即可求解.
【詳解】由題意.
故選：C.
5．函數(shù)的圖象是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)圖像的識(shí)別
【分析】將函數(shù)分段表示出，再直接判斷即可.
【詳解】依題意，，因此函數(shù)的圖象為選項(xiàng)D.
故選：D
6．函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸列不等式即可得解.
【詳解】由二次函數(shù)性質(zhì)可知，要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，
只需，解得，即的取值范圍為.
故選：B
7．若函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，f3=0，則不等式的解集為（）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用特殊函數(shù)法判斷即可．
【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且f3=0，
所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞減．
由此畫出滿足條件的一個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，

由圖可知，的解集是，
故選：B．
8．已知函數(shù)滿足對(duì)任意的，恒成立，則函數(shù)的值域是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知識(shí)點(diǎn)】常見（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）的函數(shù)值域、定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)單調(diào)性定義易知在定義域上遞增，進(jìn)而列不等式求參數(shù)范圍，最后由的區(qū)間單調(diào)性求值域.
【詳解】由題設(shè)在定義域上遞增，所以，
而在上遞增，故其值域是.
故選：A
二、多選題
9．如圖是函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）
A．在上單調(diào)遞減
B．在上單調(diào)遞增
C．在區(qū)間上的最大值為3，最小值為
D．在上有最大值3，有最小值
【答案】BD
【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)圖象的應(yīng)用
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果．
【詳解】對(duì)于A，B選項(xiàng)，由函數(shù)圖象可得，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，由圖象可得，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，無最小值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，由圖象可得，函數(shù)在上有最大值，有最小值，故D正確；
故選：BD．
10．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性
【分析】通過判斷具體函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可.
【詳解】A.（），則，
因?yàn)?，故函?shù)不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；
B. （），，函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；
C. （），函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)為減函數(shù)，正確；
D. ，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，
又，如圖：
根據(jù)圖象函數(shù)為減函數(shù)，正確.
故選：CD
三、填空題
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且自變量與函數(shù)值的關(guān)系對(duì)應(yīng)如表：
（1）；（2）不等式的解集為．
【答案】 2
【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、列表法表示函數(shù)
【分析】利用給定的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，求出及不等式的解集.
【詳解】（1）依題意，；
（2）依題意，，而，
所以不等式的解集為.
故答案為：2；
12．若函數(shù)，，若的最小值為2，則
【答案】2
【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)二次函數(shù)的最值或值域求參數(shù)
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)最小值求出a.
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，
根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則的最小值為.
故答案為：2
四、解答題
13．已知關(guān)于x的不等式的解集為或.
(1)求a、b的值；
(2)若函數(shù)，求值域.
【答案】(1)，；
(2).
【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、由一元二次不等式的解確定參數(shù)
【分析】（1）由不等式的解集知的兩個(gè)根，根據(jù)方程根的定義或韋達(dá)定理便可得到a、b的值.
（2）先將函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定拋物線的開口方向和對(duì)稱軸，再根據(jù)給定區(qū)間找出函數(shù)的最大值和最小值，從而確定值域.
【詳解】（1）∵的解集為或，
∴的根為，，
，
∴，.
（2）由（1）知，，
拋物線開口向上，對(duì)稱軸為.
∵，∴；
又，∴.
∴函數(shù)的值域?yàn)?
14．已知，．
(1)求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域
【分析】（1）用單調(diào)性的定義證明即可.
（2）由在區(qū)間上的單調(diào)性易得值域.
【詳解】（1）令，則
，
又，，，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).
（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?
15．已知

(1)將寫出分段函數(shù)的形式；
(2)畫出的圖象，寫出的單調(diào)增區(qū)間；
【答案】(1)
(2)圖象見解析，單調(diào)增區(qū)間為和
【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、畫出具體函數(shù)圖象
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)去掉絕對(duì)值即可得分段函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象作圖即得分段函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象寫出單調(diào)增區(qū)間即可.
【詳解】（1）由，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故；
（2）函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和.

16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明；
(3)解不等式.
【答案】(1)，.
(2)函數(shù)在上為減函數(shù)；證明見解析
(3).
【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，即可求得解析式；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）由前兩問可得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知條件的奇偶性，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式.
【詳解】（1））函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，
解得：，
∴，而，解得，
∴，.
（2）函數(shù)在上為減函數(shù)；證明如下：
任意且，
則，
因?yàn)椋?，?br>所以，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).
（3）由題意，不等式可化為，
所以，解得，所以該不等式的解集為.
17．最近南京某地登革熱病例快速增長，登革熱是一種由登革病毒引起的急性蟲媒傳染病，主要通過埃及伊蚊和白紋伊蚊傳播，為了阻斷傳染源，南京衛(wèi)建委在全市范圍內(nèi)組織了蚊蟲消殺工作．某工廠針對(duì)市場需求開始生產(chǎn)蚊蟲消殺工具，經(jīng)過研究判斷生產(chǎn)該工具的年固定成本為50萬元，每生產(chǎn)萬件，需另外投入成本（萬元），，每件工具售價(jià)為50元，經(jīng)過市場調(diào)研該廠年內(nèi)生產(chǎn)的工具能全部銷售完．
(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式；
(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，該廠在這一工具的生產(chǎn)中所獲利潤最大？
【答案】(1)
(2)90萬件
【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)模型的應(yīng)用、利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用
【分析】（1）分和兩種情況，由題意得到函數(shù)解析式；
（2）分和兩種情況，由函數(shù)單調(diào)性和基本不等式求出最大值，比較后得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
，
故
（2）時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到等號(hào)，
，
時(shí)，取得最大值，
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc10979" 明晰學(xué)考要求 PAGEREF _Tc10979 \h 1
\l "_Tc16030" 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 PAGEREF _Tc16030 \h 1
\l "_Tc31673" 考點(diǎn)精講講練 PAGEREF _Tc31673 \h 4
\l "_Tc27697" 考點(diǎn)一：函數(shù)的概念 PAGEREF _Tc27697 \h 4
\l "_Tc12633" 考點(diǎn)二：函數(shù)的表示 PAGEREF _Tc12633 \h 7
\l "_Tc13410" 考點(diǎn)三：函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?PAGEREF _Tc13410 \h 9
\l "_Tc12599" 考點(diǎn)四：函數(shù)的奇偶性 PAGEREF _Tc12599 \h 12
\l "_Tc28830" 考點(diǎn)五：冪函數(shù) PAGEREF _Tc28830 \h 16
\l "_Tc31145" 考點(diǎn)六：函數(shù)的應(yīng)用（一） PAGEREF _Tc31145 \h 19
實(shí) \l "_Tc3577" 戰(zhàn)能力訓(xùn)練 PAGEREF _Tc3577 \h 23
解析法（最常用）
圖象法（解題助手）
列表法
就是把變量，之間的關(guān)系用一個(gè)關(guān)系式來表示，通過關(guān)系式可以由的值求出的值.
就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是相應(yīng)的變量，的值.
就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.
奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)
圖象關(guān)于軸對(duì)稱
奇函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)
圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
函數(shù)
圖象
性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶函數(shù)
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
(，為常數(shù)，)
二次函數(shù)模型
(，，為常數(shù)，)
分段函數(shù)模型
冪函數(shù)模型
(，，為常數(shù)，)
1
2
3
4
3
2
1
2

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