1．（2024秋?鼓樓區(qū)校級期中）把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向下平移1個(gè)單位長度后所得的圖象的函數(shù)解析式為（ ）
A．y＝2（x﹣1）2B．y＝2（x+1）2C．y＝2x2﹣1D．y＝2x2+1
2．（2024秋?東川區(qū)期中）公安部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售1500個(gè)，9月份銷售y個(gè)，設(shè)7月份到9月份銷售量的月增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．y＝1500（1+x）2B．y＝1500（1﹣x）2
C．y＝（1+x）2+1500D．y＝x2+1500
3．（2024秋?江夏區(qū)期中）拋物線y＝（x+2）2﹣6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，6）
4．（2024?犍為縣模擬）若拋物線y＝kx2﹣2x﹣1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
5．（2024秋?蓬江區(qū)校級期中）對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減?。渲薪Y(jié)論正確為（ ）
A．①②④B．①③⑤C．①②③D．①④⑤
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?老城區(qū)期中）拋物線y＝x2﹣2x﹣6，當(dāng)﹣1＜x＜4時(shí)，函數(shù)y的取值范圍是 ．
7．（2024秋?閔行區(qū)期中）用一根長15厘米的鐵絲制成一個(gè)長方形框架，設(shè)長方形的一邊長為x厘米，面積為y平方厘米，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是 ．
8．（2024秋?嶗山區(qū)期中）在正常情況下，10米跳臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員必須在距水面不小于5m時(shí)完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并且調(diào)整好入水姿勢，否則就容易出現(xiàn)失誤．假設(shè)運(yùn)動(dòng)員距離水面的高度h（m）和運(yùn)動(dòng)員起跳后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間滿足關(guān)系：h＝10+2.5t﹣5t2，則當(dāng)h＝5時(shí)，10+2.5t﹣5t2＝5即2t2﹣t﹣2＝0．
根據(jù)表格中的對應(yīng)值，可判斷運(yùn)動(dòng)員完成動(dòng)作的時(shí)間最多不超過 s．（精確到0.1）
9．（2024秋?西湖區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．當(dāng)0≤x≤3時(shí)，則y的取值范圍 ．
10．（2024秋?豐臺(tái)區(qū)校級期中）某商場第一年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x，則第三年的銷售量y關(guān)于每年增加的百分率x的表達(dá)式為 ．
三．解答題（共5小題）
11．（2023秋?蚌埠期末）已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），且圖象過點(diǎn)（1，﹣3），
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）寫出它的開口方向、對稱軸．
12．（2024?新城區(qū)校級模擬）某小區(qū)花園新安裝了一排音樂噴泉裝置，其中位于中間的噴水裝置OA噴水能力最強(qiáng)，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，若噴出的水流高度為y（m），水流與OA之間的水平距離為x（m），y與x之間滿足二次函數(shù)關(guān)系．如圖所示，經(jīng)測量，噴水裝置OA高度為3.5米，水流最高處離噴水裝置OA的水平距離為3米，離地面豎直距離為8米．
（1）求水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若在音樂噴泉四周擺放花盆，不計(jì)其它因素，花盆需至少離噴水裝置OA多少米處，才不會(huì)被噴出的水流擊中？
13．（2024?墾利區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c過A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為該二次函數(shù)第一象限上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）M為二次函數(shù)上一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)B、C、M、N成的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出N的坐標(biāo)．
14．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和B（﹣2，﹣1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)C（m，7）為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)P為線段AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥AC交y軸于點(diǎn)D，求22PD+AD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接AB、BC，將原拋物線沿射線BA方向平移22個(gè)單位長度，若點(diǎn)M為平移后新拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，直接寫出所有使得△AMN相似于△ABC的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
15．（2024秋?平谷區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）畫出它的圖象；
（2）該二次函數(shù)圖象的對稱軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；
（3）當(dāng)x 時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。?br>（4）當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是 ；
（5）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是 ．
2024-2025學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版九年級期末必刷?？碱}之二次函數(shù)
參考答案與試題解析
一．選擇題（共5小題）
1．（2024秋?鼓樓區(qū)校級期中）把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向下平移1個(gè)單位長度后所得的圖象的函數(shù)解析式為（ ）
A．y＝2（x﹣1）2B．y＝2（x+1）2C．y＝2x2﹣1D．y＝2x2+1
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】C
【分析】根據(jù)平移規(guī)則“左加右減，上加下減”，即可求解．
【解答】解：根據(jù)平移規(guī)則“左加右減，上加下減”，把二次函數(shù)y＝2x2的圖象向下平移1個(gè)單位長度后所得的圖象的函數(shù)解析式為y＝2x2﹣1．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是：熟記平移規(guī)律，
2．（2024秋?東川區(qū)期中）公安部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售1500個(gè)，9月份銷售y個(gè)，設(shè)7月份到9月份銷售量的月增長率為x，那么y與x的函數(shù)關(guān)系是（ ）
A．y＝1500（1+x）2B．y＝1500（1﹣x）2
C．y＝（1+x）2+1500D．y＝x2+1500
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】A
【分析】利用該品牌頭盔9月份的銷售量＝該品牌頭盔7月份的銷售量×（1+7月份到9月份銷售量的月增長率）2，即可列出y與x的函數(shù)關(guān)系．
【解答】解：根據(jù)題意得：y＝1500（1+x）2．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y與x的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2024秋?江夏區(qū)期中）拋物線y＝（x+2）2﹣6的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（2，6）B．（﹣2，﹣6）C．（2，﹣6）D．（﹣2，6）
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】B
【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）求解即可．
【解答】解：拋物線y＝（x+2）2﹣6的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，﹣6），
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
4．（2024?犍為縣模擬）若拋物線y＝kx2﹣2x﹣1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍為（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)．
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線y＝kx2﹣2x﹣1與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得出b2﹣4ac＞0，進(jìn)而求出k的取值范圍．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝kx2﹣2x﹣1的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵拋物線y＝kx2﹣2x﹣1為二次函數(shù)
∴k≠0
則k的取值范圍為k＞﹣1且k≠0．
故選：C．
【點(diǎn)評】考查二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷．
5．（2024秋?蓬江區(qū)校級期中）對稱軸為直線x＝1的拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）如圖所示，小明同學(xué)得出了以下結(jié)論：①abc＞0，②b2＜4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減?。渲薪Y(jié)論正確為（ ）
A．①②④B．①③⑤C．①②③D．①④⑤
【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．
【答案】D
【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷．
【解答】解：①由圖象可知：a＞0，c＜0，
∵?b2a=1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正確，符合題意；
②∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②錯(cuò)誤，不符合題意；
③當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，故③錯(cuò)誤，不符合題意；
④當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正確，符合題意；
⑤由圖象可知，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，故⑤正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點(diǎn)確定．
二．填空題（共5小題）
6．（2024秋?老城區(qū)期中）拋物線y＝x2﹣2x﹣6，當(dāng)﹣1＜x＜4時(shí)，函數(shù)y的取值范圍是 ﹣7≤y＜2 ．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力．
【答案】﹣7≤y＜2．
【分析】根據(jù)拋物線解析式可得拋物線開口向上，對稱軸為x＝1，處于x取值范圍內(nèi)，將對稱軸代入拋物線解析式即可得到y(tǒng)的最小值，再根據(jù)距離對稱軸x＝1越遠(yuǎn)的函數(shù)值越大，即可得到y(tǒng)的最大值，并注意根據(jù)x取值范圍，y的取值能否等于最小值和最大值，即可解題．
【解答】解：由題可知：拋物線y＝x2﹣2 x﹣6開口向上，對稱軸為x=??22×1=1，
∵﹣1＜1＜4，
∴y的最小值為12﹣2×1﹣6＝﹣7，
∵|﹣1﹣1|＝2＜|1﹣4|＝3，
∴y的最大值為42﹣2×4﹣6＝2，
∴當(dāng)﹣1＜x＜4時(shí)，函數(shù)y的取值范圍是﹣7≤y＜2，
故答案為：﹣7≤y＜2．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
7．（2024秋?閔行區(qū)期中）用一根長15厘米的鐵絲制成一個(gè)長方形框架，設(shè)長方形的一邊長為x厘米，面積為y平方厘米，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是 y＝﹣x2+152x ．
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】易得矩形另一邊長為周長的一半減去已知邊長，那么矩形的面積等于相鄰兩邊長的積．
【解答】解：由題意知，長方形的另一邊長為15?2x2厘米，
則面積y＝x?15?2x2=?x2+152x，
故答案為：y＝﹣x2+152x．
【點(diǎn)評】本題考查列二次函數(shù)關(guān)系式，掌握矩形的邊長與所給周長與另一邊長的關(guān)系是解決本題的突破點(diǎn)．
8．（2024秋?嶗山區(qū)期中）在正常情況下，10米跳臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員必須在距水面不小于5m時(shí)完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并且調(diào)整好入水姿勢，否則就容易出現(xiàn)失誤．假設(shè)運(yùn)動(dòng)員距離水面的高度h（m）和運(yùn)動(dòng)員起跳后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間滿足關(guān)系：h＝10+2.5t﹣5t2，則當(dāng)h＝5時(shí)，10+2.5t﹣5t2＝5即2t2﹣t﹣2＝0．
根據(jù)表格中的對應(yīng)值，可判斷運(yùn)動(dòng)員完成動(dòng)作的時(shí)間最多不超過 1.3 s．（精確到0.1）
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】1.3．
【分析】根據(jù)表格中的對應(yīng)值，即可得到結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)表格中的對應(yīng)值，可判斷運(yùn)動(dòng)員完成動(dòng)作的時(shí)間最多不超過1.3s，
故答案為：1.3．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確解一元二次方程．
9．（2024秋?西湖區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．當(dāng)0≤x≤3時(shí)，則y的取值范圍 ﹣4≤y≤0 ．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．
【答案】﹣4≤y≤0．
【分析】通過配方法將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4．
y＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
將x＝3代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝0，
∴0≤x≤3時(shí)，﹣4≤y≤0，
故答案為：﹣4≤y≤0．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)才能比較熟練解決問題．
10．（2024秋?豐臺(tái)區(qū)校級期中）某商場第一年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x，則第三年的銷售量y關(guān)于每年增加的百分率x的表達(dá)式為 y＝5000（1+x）2 ．
【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】首先表示出第二年的為5000（1+x），然后表示出第三年的為5000（1+x）2，從而確定答案．
【解答】解：設(shè)每年的銷售量比上一年增加相同的百分率x，
根據(jù)題意得：y＝5000（1+x）2，
故答案為：y＝5000（1+x）2
【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)的關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是分別表示出第二年和第三年的銷售量，難度中等．
三．解答題（共5小題）
11．（2023秋?蚌埠期末）已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，2），且圖象過點(diǎn)（1，﹣3），
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）寫出它的開口方向、對稱軸．
【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】直接設(shè)頂點(diǎn)式，再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的解析式求得拋物線的開口方向和對稱軸方程．
【解答】解：（1）設(shè)函數(shù)解析式為y＝a（x﹣h）2+k，把頂點(diǎn)和點(diǎn)（1，﹣3）代入解析式，得：
a=?54，所以拋物線的解析式為：y=?54(x+1)2+2；
（2）由（1）的函數(shù)解析式可得：拋物線的開口向下，對稱軸x＝﹣1．
【點(diǎn)評】主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．當(dāng)知道二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)通常使用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式來求解析式．
12．（2024?新城區(qū)校級模擬）某小區(qū)花園新安裝了一排音樂噴泉裝置，其中位于中間的噴水裝置OA噴水能力最強(qiáng)，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，若噴出的水流高度為y（m），水流與OA之間的水平距離為x（m），y與x之間滿足二次函數(shù)關(guān)系．如圖所示，經(jīng)測量，噴水裝置OA高度為3.5米，水流最高處離噴水裝置OA的水平距離為3米，離地面豎直距離為8米．
（1）求水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若在音樂噴泉四周擺放花盆，不計(jì)其它因素，花盆需至少離噴水裝置OA多少米處，才不會(huì)被噴出的水流擊中？
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．
【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】（1）y＝﹣0.5（x﹣3）2+8；（2）花盆需至少離噴水裝置OA為7米處，才不會(huì)被噴出的水流擊中．
【分析】（1）依據(jù)題意得，拋物線的頂點(diǎn)為（3，8），從而可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣3）2+8，又拋物線過（0，3.5），進(jìn)而計(jì)算可以得解；
（2）依據(jù)題意，由拋物線為y＝﹣0.5（x﹣3）2+8，進(jìn)而令y＝0，則0＝﹣0.5（x﹣3）2+8，求出x的值即可判斷得解．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的頂點(diǎn)為（3，8），
∴可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣3）2+8．
又拋物線過（0，3.5），
∴3.5＝9a+8．
∴a＝﹣0.5．
∴水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣0.5（x﹣3）2+8．
（2）由題意，∵拋物線為y＝﹣0.5（x﹣3）2+8，
∴令y＝0，則0＝﹣0.5（x﹣3）2+8．
∴x＝7或x＝﹣1（不合題意，舍去）．
∴花盆需至少離噴水裝置OA為7米處，才不會(huì)被噴出的水流擊中．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
13．（2024?墾利區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c過A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為該二次函數(shù)第一象限上一點(diǎn)，當(dāng)△BCP的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）M為二次函數(shù)上一點(diǎn)，N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)B、C、M、N成的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出N的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】（1）y=?12x2+32x+2；
（2）P（2，3）；
（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（?5+412，0）或（?5?412，0）或（7，0）．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）過P點(diǎn)作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，設(shè)P（t，?12t2+32t+2），則Q（t，?12t+2），則S=12×4×（?12t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，當(dāng)t＝2時(shí)，△BCP的面積最大，此時(shí)P（2，3）；
（3）設(shè)M（m，?12m2+32m+2），N（n，0），根據(jù)平行四邊形的對角線分三種情況討論，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求n的值即可．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴a?b+c=0c=216a+4b+c=0，
解得a=?12b=32，
∴拋物線的解析式為y=?12x2+32x+2；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
解得k=?12，
∴直線BC的解析式為y=?12x+2，
過P點(diǎn)作PQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，
設(shè)P（t，?12t2+32t+2），則Q（t，?12t+2），
∴PQ=?12t2+32t+2+12t﹣2=?12t2+2t，
∴S=12×4×（?12t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
當(dāng)t＝2時(shí)，△BCP的面積最大，此時(shí)P（2，3）；
（3）設(shè)M（m，?12m2+32m+2），N（n，0），
當(dāng)BC為平行四邊形的對角線時(shí)，4＝m+n，2=?12m2+32m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1，
∴N（1，0）；
當(dāng)BM為平行四邊形的對角線時(shí)，m＝4+n，0=?12m2+32m+4，
解得m=3+412，n=?5+412或m=3?412，n=?5?412，
∴N（?5+412，0）或（?5?412，0）；
當(dāng)BN為平行四邊形的對角線時(shí)，n＝4+m，2=?12m2+32m+2，
解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7，
∴N（7，0）；
綜上所述：N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（?5+412，0）或（?5?412，0）或（7，0）．
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2024秋?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和B（﹣2，﹣1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)C（m，7）為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)P為線段AC下方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD∥AC交y軸于點(diǎn)D，求22PD+AD的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，連接AB、BC，將原拋物線沿射線BA方向平移22個(gè)單位長度，若點(diǎn)M為平移后新拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，直接寫出所有使得△AMN相似于△ABC的點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；圖形的相似；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】（1）y=12x2+2x+1；
（2）P（﹣4，1），最大值為8；
（3）M的橫坐標(biāo)為：?23或23或6或﹣6．
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求解C（﹣6，7），可得AC為y＝﹣x+1，如圖，過P作PF⊥y軸于F，證明kPD＝﹣1，∠PDF＝45°＝∠FPD，可得PF=DF=22PD，設(shè)P(m，12m2+2m+1)，可得22PD+AD=?12m2?4m(?6＜m＜0)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；
（3）先求解B（﹣2，﹣1），可得直線AB為y＝x+1，可得新的拋物線為：y=12x2+1，證明AC2+AB2＝BC2，∠BAC＝90°，設(shè)M(x，12x2+1)，如圖，當(dāng)M在y軸的左側(cè)時(shí)，∠ANM＝∠BAC＝90°，如圖，當(dāng)M在y軸的右側(cè)時(shí)，∠ANM＝∠BAC＝90°，再利用相似三角形的判定方法建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵拋物線y=12x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）和B（﹣2，﹣1），
∴c=12?2b+c=?1，
解得：b=2c=1，
∴拋物線的解析式為y=12x2+2x+1；
（2）∵點(diǎn)C（m，7）為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，
∴12m2+2m+1=7，
解得：m＝﹣6或m＝2（不符合題意，舍去），
∴C（﹣6，7），
∵A（0，1），
設(shè)AC為y＝kx+1，
∴﹣6k+1＝7，解得：k＝﹣1，
∴AC為y＝﹣x+1，
如圖，過P作PF⊥y軸于F，
∵PD∥AC，
∴kPD＝﹣1，∠PDF＝45°＝∠FPD，
∴PF=DF=22PD，
設(shè)P(m，12m2+2m+1)，
∴PF＝DF＝﹣m，F(xiàn)(0，12m2+2m+1)，
∴12m2+2m+1?(?m)=12m2+3m+1，
∴D(0，12m2+3m+1)，
∴AD=1?12m2?3m?1=?12m2?3m，
22PD=PF=?m，
∴22PD+AD=?m?12m2?3m=?12m2?4m(?6＜m＜0)，
∴當(dāng)m=??42×(?12)=?4時(shí)，最大值為?12×(?4)2?4×(?4)=8，
此時(shí)P（﹣4，1）；
（3）∵y=12x2+2x+1=12(x+2)2?1，
∴B（﹣2，﹣1），而A（0，1），
同理可得直線AB為y＝x+1，
∴將原拋物線y=12(x+2)2?1沿射線BA方向平移22個(gè)單位長度，相當(dāng)于將原拋物線y=12(x+2)2?1往右，往上都平移2個(gè)單位；
∴新的拋物線為：y=12x2+1，
∵A（0，1），B（﹣2，﹣1），C（﹣6，7），
∴AB=(?2?0)2+(?1?1)2=22，
BC=(?2+6)2+(?1?7)2=45，
AC=(?6?0)2+(7?1)2=62，
∴AC2+AB2＝BC2，∠BAC＝90°，
設(shè)M(x，12x2+1)，
如圖，∠ANM＝∠BAC＝90°，
∴當(dāng)ABAC=ANMN時(shí)，△AMN相似于△ABC，
∴|12x2+1?1||x|=2262=13，
整理得：3x2+2x＝0或3x2﹣2x＝0，
解得：x=±23或x＝0（不符合題意，舍去），
當(dāng)ABAC=MNAN時(shí)，△AMN相似于△ABC，如圖所示：
∴|12x2+1?1||x|=3，
整理得：x2+6x＝0或x2+6x＝0，
解得：x＝±6或x＝0（不符合題意舍去），
綜上：M的橫坐標(biāo)為：?23或23或6或﹣6．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，二次函數(shù)圖象的平移，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．
15．（2024秋?平谷區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3．
（1）畫出它的圖象；
（2）該二次函數(shù)圖象的對稱軸為 x＝1 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，﹣4） ；
（3）當(dāng)x ＜1 時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。?br>（4）當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是 x＞3或x＜﹣1 ；
（5）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是 ﹣4≤y≤5 ．
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．
【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；應(yīng)用意識(shí)．
【答案】（1）圖象見解答；
（2）x＝1，（1，﹣4）；
（3）x＞3或x＜﹣1；
（4）﹣4≤y≤5．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式求出拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)用五點(diǎn)法作出函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出結(jié)論；
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴對稱軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）和（3，0）；
令x＝0，則y＝﹣3，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），
圖象如圖所示：
（2）二次函數(shù)圖象的對稱軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4），
故答案為：x＝1，（1，﹣4）；
（3）由圖象得，當(dāng)x＜1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，
故答案為：＜1；
（3）當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是x＞3或x＜﹣1，
故答案為：x＞3或x＜﹣1；
（4）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝5，
∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是﹣4≤y≤5，
故答案為：﹣4≤y≤5．
【點(diǎn)評】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
考點(diǎn)卡片
1．二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（?b2a，4ac?b24a），對稱軸直線x=?b2a，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：
①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜?b2a時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞?b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；x=?b2a時(shí)，y取得最小值4ac?b24a，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜?b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞?b2a時(shí)，y隨x的增大而減??；x=?b2a時(shí)，y取得最大值4ac?b24a，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．
③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|?b2a|個(gè)單位，再向上或向下平移|4ac?b24a|個(gè)單位得到的．
2．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?br>當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口；|a|還可以決定開口大小，|a|越大開口就越小．
②一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab＞0），對稱軸在y軸左側(cè)； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab＜0），對稱軸在y軸右側(cè)．（簡稱：左同右異）
③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
3．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（?b2a，4ac?b24a）．
①拋物線是關(guān)于對稱軸x=?b2a成軸對稱，所以拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，且都滿足函數(shù)函數(shù)關(guān)系式．頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．
②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．
③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x=x1+x22．
4．二次函數(shù)圖象與幾何變換
由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．
5．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式
（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）； ②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)； ③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．
在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．
6．拋物線與x軸的交點(diǎn)
求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．
（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．
△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．
（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．
7．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式
根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．
①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．
②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．
8．二次函數(shù)的應(yīng)用
（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題
在商品經(jīng)營活動(dòng)中，經(jīng)常會(huì)遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意自變量x的取值范圍．
（2）幾何圖形中的最值問題
幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動(dòng)態(tài)幾何中的最值的討論．
（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題
利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．
9．二次函數(shù)綜合題
（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題
解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．
（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用
將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題
從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．t
1.1
1.2
1.3
1.4
2t2﹣t﹣2
﹣0.68
﹣0.32
0.08
0.52
t
1.1
1.2
1.3
1.4
2t2﹣t﹣2
﹣0.68
﹣0.32
0.08
0.52

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