考點(diǎn)一 圓周角概念辨析 考點(diǎn)二 圓周角定理
考點(diǎn)三 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 考點(diǎn)四 直徑所對(duì)的圓周角是直角
考點(diǎn)五 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑 考點(diǎn)六 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)

考點(diǎn)一 圓周角概念辨析
例題：（2022·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列圖形中的角是圓周角的是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．等弧所對(duì)的圓周角相等B．平分弦的直徑垂直于弦
C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等D．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線必過(guò)圓心
2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）觀察下圖中角的頂點(diǎn)與兩邊有何特征？指出哪些角是圓周角？
考點(diǎn)二 圓周角定理
例題：（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠A是⊙O的圓周角，∠OBC＝50°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)_________．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022秋·江西新余·九年級(jí)新余四中?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，，則等于______．
2．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的直徑，上的兩點(diǎn)A，B分別在直徑的兩側(cè)，且，則__________．
考點(diǎn)三 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等
例題：（2022·廣西貴港·中考真題）如圖，⊙是的外接圓，是⊙的直徑，點(diǎn)P在⊙上，若，則的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，是的兩條半徑，點(diǎn)C在上，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川廣安·二模）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝36°，∠ACD＝44°，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．55°B．64°C．65°D．70°
考點(diǎn)四 直徑所對(duì)的圓周角是直角
例題：（2022·廣西梧州·二模）如圖，AB、CD分別是⊙O的直徑，連接BC、BD，如果弦，且∠CDE＝62°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．CB⊥BDB．∠CBA＝31°C．D．BD＝DE
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·湖北十堰·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D是AB另一側(cè)半圓的中點(diǎn)，若CD=，BC=4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（ ）
A．B．2C．D．2
2．（2022·安徽蕪湖·二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，邊長(zhǎng)BC=，P為弧AD上一點(diǎn)且AP=1，則PC=________________．
考點(diǎn)五 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑
例題：（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，的弦垂直于，，則的半徑等于（ ）
A．B．C．D．4
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江西吉安·一模）如圖，在矩形中，，，為矩形內(nèi)一點(diǎn)，，連接，則的最小值為（ ）
A．8B．C．10D．
2．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=5，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_________.
考點(diǎn)六 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)
例題：（2022·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若，則的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．100°
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)九年級(jí)期中）在中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)D在上，則的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
2．（2022·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），連接BE，若∠A=60°，則∠BED的度數(shù)可以是（ ）．
A．110°B．115°C．120°D．125°
一、選擇題
1．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期末）如圖，已知是的直徑，，平分，則的度數(shù)是（ ）
A．110°B．100°C．120°D．130°
2．（2022秋·北京西城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，弦，相交于點(diǎn)，，，則的大小是（ ）
A．35°B．45°C．60°D．70°
3．（2022秋·廣東陽(yáng)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是半圓O的直徑，點(diǎn)C，D在半圓O上．若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)校考期末）如圖，是的直徑，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，，，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，C，D是上的兩點(diǎn)，且平分，分別與，相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
6．（2022秋·廣東河源·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，，則的大小為_(kāi)_____°．
7．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，都是的半徑，，若，則的度數(shù)是______．
8．（2022秋·山東威?！ぞ拍昙?jí)?？计谀┤鐖D，是的直徑，點(diǎn)在上，，交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為_(kāi)__________．
9．（2022秋·北京·九年級(jí)校考期中）如圖，等邊三角形中，D是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作的垂線段，垂足為點(diǎn)E，連接，若，則的最小值是_____________．
10．（2022·浙江寧波·九年級(jí)浙江省鄞州區(qū)宋詔橋中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)坐標(biāo)是，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________．
三、解答題
11．（2022秋·甘肅定西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，平分．
(1)求證：是等邊三角形；
(2)若，求的半徑．
12．（2022秋·河南安陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是的直徑，弦與相交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)A，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，，，．
(1)求的度數(shù)；
(2)求的長(zhǎng)度．
13．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）現(xiàn)有半圓形紙片，點(diǎn)O是圓心，直徑的長(zhǎng)是．
(1)如圖1，點(diǎn)C是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），連接、，沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；
(2)如圖2，是弦，小明將半圓形紙片沿弦折疊使得點(diǎn)C與圓心O重合，順次連接O、D、C、E得四邊形，試判斷四邊形的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由并求出它的邊長(zhǎng)．
14．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考期中）如圖，為的內(nèi)接三角形，，連接．
(1)求證：；
(2)延長(zhǎng)交于，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：；
(3)在(2)的條件下，連接并延長(zhǎng)交于，連接，若，求線段的長(zhǎng)．
15．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）“求知”學(xué)習(xí)小組在學(xué)完“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”這個(gè)結(jié)論后進(jìn)行了如下的探究活動(dòng)：
(1)如圖1，點(diǎn)A、B、C在上，點(diǎn)D在外，線段與交于點(diǎn)E、F，試猜想 ______180°；（請(qǐng)?zhí)睢埃尽?、“＜”或“＝”），并證明你的猜想；
(2)如圖2，點(diǎn)A、B、C在上，點(diǎn)D在內(nèi)，此時(shí)（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明；
(3)如圖3，凸四邊形中，對(duì)角線長(zhǎng)為6，，則四邊形面積的最大值是______．
16．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)鐵一中學(xué)?？计谀┮阎菏堑耐饨訄A，且，，D為上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)如圖1，若點(diǎn)D是的中點(diǎn)，求的度數(shù)．
(2)過(guò)點(diǎn)B作直線AD的垂線，垂足為點(diǎn)E．
①如圖2，若點(diǎn)D在上．求證．
②若點(diǎn)D在上，當(dāng)它從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)且滿足時(shí)，求∠ABD的最大值．

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