1. 下列圖案中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 劉零想做一個(gè)三角形的框架，她有兩根長度分別為6cm和8cm的細(xì)木條，需要將其中一根木條分為兩段，如果不考慮損耗和接頭部分，那么可以分成兩段的是（ ）
A. 6cm的木條B. 8cm的木條C. 兩根都可以D. 兩根都不行
4. 如圖，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD與CE交于O，連接AO，則圖中共有全等的三角形的對數(shù)為（ ）
A. 1對B. 2對C. 3對D. 4對
5. 以下列各組線段的長為邊能組成三角形的是（ ）
A. 2、5、8B. 2、5、3C. 6、6、2D. 9、6、2
6. 如與的乘積中不含的一次項(xiàng)，則的值為（ ）
A. B. 3C. 0D. 1
7. 下列等式中，不成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如圖所示，在△ABC中，，，D是BC的中點(diǎn)，連接AD，，垂足為E，則AE的長為（ ）
A. 4B. 6C. 2D. 1
9. 中國首列商用磁浮列車平均速度為，計(jì)劃提速，已知從A地到B地路程為，那么提速后從A地到B地節(jié)約的時(shí)間為（ ）
A. B. C. D.
10. 如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
11. 如圖，長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，則a3b+2a2b2+ab3的值為（ ）
A. 2560B. 490C. 70D. 49
12. 如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=a，AB=m，以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧交AC于點(diǎn)D，再以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，則BE的長為（ ）
A. m﹣B. a﹣mC. 2a﹣mD. m﹣a
13. 若關(guān)于x的分式方程－2＝無解，則m的值為（ ）
A. 0B. 2C. 0或2D. 無法確定
14. 下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①若一個(gè)多邊形的外角和等于360°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為4；
②三角形的高相交于三角形的內(nèi)部；
③三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)內(nèi)角；
④一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加；
⑤對角線共有5條的多邊形是五邊形．
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
15. 如圖，將長方形ABCD的各邊向外作正方形，若四個(gè)正方形周長之和為24，面積之和為12，則長方形ABCD的面積為（ ）
A. 4B. C. D. 6
16. 如圖，已知AB=AC，BE⊥AC于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE與CF交于點(diǎn)D，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A. △ABE?△ACFB. △BDF?△CDE
C. 點(diǎn)D在平分線上D. 點(diǎn)D是CF的中點(diǎn)
二.填空題(本大題共3題，總計(jì) 12分)
17. 已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的值為_________．
18. 在△ABC中，角平分線與邊所夾的銳角為，則的度數(shù)等于__________．
19. 已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在射線BC上（與點(diǎn)B，C不重合），點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E．
（1）如圖1，連接，，，當(dāng)時(shí)，根據(jù)邊的關(guān)系，可判定的形狀是___________三角形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在延長線上時(shí)，連接，，，，延長到點(diǎn)G，使，連接，交于點(diǎn)F，F(xiàn)為的中點(diǎn)．若，則的長為___________．
三.解答題(共7題，總計(jì)66分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
20. （1）計(jì)算：；
（2）因式分解：．
21. 化簡：（﹣） ÷ ，并解答：
（1）當(dāng)x=3時(shí)，求原式的值；
（2）原式的值能等于﹣1嗎？為什么？
22. 如圖1，網(wǎng)格中的每一個(gè)正方形的邊長為1，△ABC為格點(diǎn)三角形（點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上），直線m為格點(diǎn)直線（直線m經(jīng)過小正方形的格點(diǎn)）．
（1）如圖1，作出△ABC關(guān)于直線m軸對稱圖形△A′B′C′；
（2）如圖2，在直線m上找到一點(diǎn)P，使PA+PB的值最??；
（3）如圖3，僅用直尺將網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形ABC的面積三等分，并將其中的一份用鉛筆涂成陰影．
（4）如圖4，僅用直尺作出三角形ABC的邊AB上的高，簡單說明你的理由．
23. 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AB的垂直平分線．
（1）求證：△BCD是等腰三角形；
（2）若△ABD的周長是a，BC=b，求△BCD的周長．（用含a，b的代數(shù)式表示）
24. 閱讀以下材料
材料：因式分解：
解：將“”看成整體，令，則原式
再將“A”還原，得原式
上述解題用到是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）因式分解：______；
（2）因式分解：；
25. 某商場準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種牛奶進(jìn)行銷售，若甲種牛奶進(jìn)價(jià)比乙種牛奶的進(jìn)價(jià)每件少4元，其用200元購進(jìn)甲種牛奶的數(shù)量與用220元購進(jìn)乙種牛奶的數(shù)量相同．
（1）求甲種牛奶、乙種牛奶的進(jìn)價(jià)分別是多少元？
（2）若該商場購進(jìn)甲種牛奶的數(shù)量是乙種牛奶的2倍少4件，該商場甲種牛奶的銷售價(jià)格為每件45元，乙種牛奶的銷售價(jià)格為每件50元，則購進(jìn)的甲、乙兩種牛奶全部售出后，可使銷售的總利潤（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）等于364元，請通過計(jì)算求出該商場購進(jìn)甲、乙兩種牛奶各多少件？
26. 如圖，△ABC是等邊三角形，AB＝6，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．
（1）證明：在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D是線段PQ的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)∠BQD＝30°時(shí)，求AP的長；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化請說明理由．
石家莊市藁城區(qū)2024-2025學(xué)年八年級（上）數(shù)學(xué)期末模擬測試
參考答案及解析
一.選擇題
1.【答案】：C
【解析】：A選項(xiàng)不是軸對稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義，不符合題意．
B選項(xiàng)不是軸對稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義，不符合題意．
C選項(xiàng)軸對稱圖形，符合題意．
D選項(xiàng)不是軸對稱圖形，因?yàn)檎也坏饺魏芜@樣的一條直線，使它沿這條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠重合，即不滿足軸對稱圖形的定義，不符合題意．
2.【答案】：C
【解析】：解：A選項(xiàng)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，故選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
3.【答案】：B
【解析】：解：利用三角形的三邊關(guān)系可得應(yīng)把8cm的木條截成兩段，
如將8cm的線段分成3cm和5cm或4cm和4cm，所截成的兩段線段之和大于6，所以，可以，
而6cm的線段無論如何分，分成的兩段線段之和都小于8，所以，不可以．
故選：B．
4.【答案】：D
【解析】：由題意可得△CAE≌△BAD，△DCO≌△EBO，△ACO≌△ABO，△DAO≌△EAO共4對三角形全等．
故選：D．
5.【答案】：C
【解析】：解：根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊，可知：
A、2+5＜8，不能夠組成三角形，故不符合題意；
B、2+3=5，不能組成三角形，故不符合題意；
C、2+6＞7，能組成三角形，故符合題意；
D、2+6＜9，不能組成三角形，故不符合題意；
故選：C．
6.【答案】：A
【解析】：，
又與的乘積中不含的一次項(xiàng)，
，
解得．
故選：A．
7.【答案】：C
【解析】：A、，故A不符合題意．
B、，故B不符合題意．
C、，故C符合題意．
D、，故D不符合題意．
故選：C．
8.【答案】：C
【解析】：解： ， ，D為BC中點(diǎn)，
，
，
，D為BC中點(diǎn)，
，
，
， ，
，
．
故答案為：C．
9.【答案】：C
【解析】：解：由題意可得
故選：C．
10.【答案】：C
【解析】：解：∵FE⊥DB，
∵∠DEF=90°，
∵∠1=50°，
∴∠D=90°﹣50°=40°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故選C．
11.【答案】：B
【解析】：解：∵長與寬分別為a、b的長方形，它的周長為14，面積為10，
∴ab＝10，a+b＝7，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．
故選：B．
12.【答案】：A
【解析】：解：∵∠B=90°，∠A=30°，AC=a，
∴BC=AC=a，
∵以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧交AC于點(diǎn)D，
∴CD=BC=a，
∵以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，
∴AD=AE=AC-CD=a，
∵AB=m，
∴BE=AB-AE=m-a，
故選：A．
13.【答案】：C
【解析】：解：方程兩邊都乘以（x-3）得：
整理得：（m-2）x=2m-6，
由分式方程無解，
一種情況是未知數(shù)系數(shù)為0得：m-2=0，m=2，
一種情況是方程有增根得：x?3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=0，
故選：C．
14.【答案】：B
【解析】：解：①任意多邊形的外角和等于360°，說法錯(cuò)誤，不符合題意；
②只有銳角三角形的高相交于三角形的內(nèi)部，說法錯(cuò)誤，不符合題意；
③根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)于它不相鄰的內(nèi)角，說法錯(cuò)誤，不符合題意；
④根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式：，得一個(gè)多邊形的邊數(shù)每增加一條，這個(gè)多邊形的內(nèi)角和就增加180°，說法正確，符合題意；
⑤n邊形的對角線條數(shù)為：，當(dāng)n=5時(shí)，，說法正確，符合題意；
綜上，正確個(gè)數(shù)有2個(gè)，
故選B．
15.【答案】：B
【解析】：解：設(shè)AB＝a，AD＝b，由題意得8a＋8b＝24，2a2＋2b2＝12，
即a＋b＝3，a2＋b2＝6，
∴，
即長方形ABCD的面積為，
故選：B．
16.【答案】：D
【解析】：解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正確；
B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（ASA），正確；
C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，正確；
D、無法判定，錯(cuò)誤；
故選D．
【畫龍點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
二. 填空題
17.【答案】： -1
【解析】：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，
，，
∴，
故答案為：．
18.【答案】： 20°或100°
【解析】：設(shè)∠B的角平分線交AC于點(diǎn)E，
當(dāng)時(shí)，如圖1，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∵∠ABE+∠A=∠BEC，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖2，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
綜上所述，的度數(shù)為或．
19.【答案】： ①. 等邊 ②. 6
【解析】：（1）△ADE是等邊三角形，理由如下：
點(diǎn)D， E關(guān)于直線AC對稱，
AD=AE，∠DAC=∠EAC，
∵△ABC是等邊三角形，
AB=AC，∠BAC=60°，
點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，
，
，
∠DAE=60°，
AD=AE，
△ADE是等邊三角形；
(2)解：如圖2所示，.
證明： F為線段BE的中點(diǎn)，
BF=EF，
∵△ABC是等邊三角形，
AC=BC， ，
，
點(diǎn)D， E關(guān)于直線AC對稱，
CD=CE，∠ACD=∠ACE=120°，
， ，
CE=BG，∠BCE=60°，
，，
，
在△BFG和△EFC中，

∴△BFG≌△EFCSAS ，
，
CG=2CF，
在 和 中，
，
∴△ACD≌△CBGSAS ，
AD=CG，
，
，
；
故答案為：等邊；6．
三.解答題
20【答案】：
（1）；（2）
【解析】：
解：（1）原式
；
（2）原式
．
21【答案】：
（1），2；（2）不能，理由見解析
【解析】：
（1）原式=
=
=
=，
當(dāng)時(shí)，原式==2；
（2）如果，即，
∴，而當(dāng)時(shí)，除式，
∴原代數(shù)式的值不能等于．
22【答案】：
（1）見解析 （2）見解析
（3）見解析 （4）見解析
【解析】：
【小問1詳解】
如圖所示，△A′B′C′即為所求作，
【小問2詳解】
如圖，點(diǎn)P即為所求作，
【小問3詳解】
如圖，即為所作，
【小問4詳解】
如圖，選擇格點(diǎn)D、E，證明△ACD≌△BCE．于是，AC=BC．
選擇格點(diǎn)Q，證明△ACQ≌△BCQ，于是，AQ=BQ．
∴CQ為線段AB的垂直平分線，設(shè)CQ與AB相交于點(diǎn)F，則CF為所要求的△ABC的邊AB上的高．
23【答案】：
（1）見解析 （2）a﹣b
【解析】：
【小問1詳解】
證明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C==72°，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADB的外角，
∴∠CDB=∠ABD+∠A=72°，
∴∠C=∠CDB，
∴CB=DB，
∴△BCD是等腰三角形；
【小問2詳解】
解：由（1）可知AD=BD=CB=b，
∵△ABD周長是a，
∴AB=a﹣2b，
∵AB=AC，
∴CD=a﹣3b，
∴△BCD的周長=CD+BD+BC=a﹣3b+b+b=a﹣b．
【畫龍點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和與三角形的外角的定義與性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
24【答案】：
（1）
（2）
【解析】：
【小問1詳解】
解：
=
=；
故答案為：；
【小問2詳解】
設(shè)，
原式，
將A還原，則原式；
25【答案】：
（1）甲種牛奶的進(jìn)價(jià)是40元/件，乙種牛奶的進(jìn)價(jià)是44元/件；
（2）該商場購進(jìn)甲種牛奶44件，乙種牛奶24件
【解析】：
【小問1詳解】
設(shè)乙種牛奶的進(jìn)價(jià)為x元/件，則甲種牛奶的進(jìn)價(jià)為（x﹣4）元/件，
根據(jù)題意，得：
解得：x＝44，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝44是原分式方程的解，且符合實(shí)際意義，
∴x﹣4＝40．
∴甲種牛奶的進(jìn)價(jià)是40元/件，乙種牛奶的進(jìn)價(jià)是44元/件；
【小問2詳解】
設(shè)購進(jìn)乙種牛奶y件，則購進(jìn)甲種牛奶（2y﹣4）件，
根據(jù)題意，得（45﹣40）（2y﹣4）+（50﹣44）y＝364，
解得y＝24，
∴2y﹣4＝44．
∴該商場購進(jìn)甲種牛奶44件，乙種牛奶24件．
26【答案】：
（1）見解析；（2）AP＝2；（3）DE的長不變，定值為3．
【解析】：
（1）過P作PF∥QC交AB于F，則是等邊三角形，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；
（2）想辦法證明BD＝DF＝AF即可解決問題；
（3）想辦法證明即可解決問題．
【詳解】（1）證明：過P作PF∥QC交AB于F，則是等邊三角形，
∵P、Q同時(shí)出發(fā)，速度相同，即BQ＝AP，
∴BQ＝PF，
在和中，
，
∴，
∴DQ＝DP；
（2）解：∵，
∴BD＝DF，
∵，
∴，
∴，
∴AP＝2；
（3）解：由（2）知BD＝DF，
∵是等邊三角形，PE⊥AB，
∴AE＝EF，
∴DE＝DF+EF
＝3，為定值，即DE的長不變．
【畫龍點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的性質(zhì)及判定，以及三角形中的動(dòng)點(diǎn)問題，熟練掌握相關(guān)幾何綜合的解法是解決本題的關(guān)鍵.

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