1. 下列在線學(xué)習(xí)平臺的圖標中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列運算正確的是（ ）
A. B. C. D.
3. 熔噴布，俗稱口罩的“心臟”，是口罩中間的過濾層，能過濾細菌，阻止病菌傳播．經(jīng)測量，醫(yī)用外科口罩的熔噴布厚度約為0.000156米，將0.000156用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A. B. C. D.
4. 若，則2n－3m的值是（ ）
A. －1B. 1C. 2D. 3
5. 已知三角形的兩邊長分別為6，11，那么第三邊的長可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
6. 將多項式進行因式分解的結(jié)果是（ ）
A. B. C. D.
7. 如圖，∠C＝∠D＝90°，添加一個條件，可使用“HL”判定Rt△ABC與Rt△ABD全等．以下給出的條件適合的是( )
A. AC＝ADB. AC＝BCC. ∠ABC＝∠ABDD. ∠BAC＝∠BAD
8. 如圖，AB∥CD，F(xiàn)E⊥DB，垂足為E，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°
9. 如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB．若∠BA'C＝110°，則∠1+∠2的度數(shù)為（ ）
A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°
10. 如果關(guān)于x的方程無解，則m的值是（ ）
A. 2B. 0C. 1D. –2
11. 如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=a，AB=m，以點C為圓心，CB長為半徑畫弧交AC于點D，再以點A為圓心，AD長為半徑畫弧交AB于點E，則BE的長為（ ）
A. m﹣B. a﹣mC. 2a﹣mD. m﹣a
12. 如圖，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，則∠BAC的度數(shù)的值為（ ）
A. 84°B. 60°C. 48°D. 43°
13. 在ΔABC中給定下面幾組條件：
①∠ACB=30°，BC=4cm，AC=5cm ②∠ABC=30°，BC=4cm，AC=3cm
③∠ABC=90°，BC=4cm，AC=5cm ④∠ABC=120°，BC=4cm，AC=5cm
若根據(jù)每組條件畫圖，則ΔABC不能夠唯一確定的是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
14. 點在的角平分線上，點到邊的距離等于，點是邊上的任意一點，則下列選項正確的是（ ）
A. B. C. D.
15. 如圖，已知點P是∠AOB角平分線上的一點，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中點，DM=4cm，如果點C是OB上一個動點，則PC的最小值為( )
A. 2B. C. 4D.
16. 如圖，在四邊形ABCD中，∠C=40°，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，DC上的點，當(dāng)ΔAEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（ ）
A. 100°B. 90°C. 70°D. 80°
二.填空題(本大題共3題，總計 12分)
17. 因式分解：____________
18. 在△ABC中，角平分線與邊所夾的銳角為，則的度數(shù)等于__________．
19. 觀察下列各式
…
則________．
三.解答題(共7題，總計66分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
20. （1）因式分解：；
（2）化簡：．
21. 先化簡，再求值：
（1），其中．
（2），再求當(dāng)與互為相反數(shù)時，代數(shù)式的值．
22. 如圖，在下方單位長度為1的方格紙中畫有一個△ABC．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱△A′B′C′；
（2）求△ABC的面積．
23. 如圖，ΔABC，ΔADE均是等邊三角形，點B，D，E三點共線，連按CD，CE；且CD⊥BE．
（1）求證：BD=CE；
（2）若線段DE=3，求線段BD的長．
24. [閱讀理解]我們常將一些公式變形，以簡化運算過程．如：可以把公式“”變形成或等形式，
問題：若x滿足，求的值．
我們可以作如下解答；設(shè)，，則，
即：．
所以．
請根據(jù)你對上述內(nèi)容的理解，解答下列問題：
（1）若x滿足，求的值．
（2）若x滿足，求的值．
25. 某商場準備購進甲、乙兩種牛奶進行銷售，若甲種牛奶進價比乙種牛奶的進價每件少4元，其用200元購進甲種牛奶的數(shù)量與用220元購進乙種牛奶的數(shù)量相同．
（1）求甲種牛奶、乙種牛奶的進價分別是多少元？
（2）若該商場購進甲種牛奶的數(shù)量是乙種牛奶的2倍少4件，該商場甲種牛奶的銷售價格為每件45元，乙種牛奶的銷售價格為每件50元，則購進的甲、乙兩種牛奶全部售出后，可使銷售的總利潤（利潤＝售價﹣進價）等于364元，請通過計算求出該商場購進甲、乙兩種牛奶各多少件？
26. 已知∠MAN=120°，點C是∠MAN的平分線AQ上的一個定點，點B，D分別在AN，AM上，連接BD．
【發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，則∠BCD= °，△CBD是 三角形；
【探索】
（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，請判斷△CBD的形狀，并證明你的結(jié)論；
【應(yīng)用】
（3）如圖3，已知∠EOF=120°，OP平分∠EOF，且OP=1，若點G，H分別在射線OE，OF上，且△PGH為等邊三角形，則滿足上述條件的△PGH的個數(shù)一共有 ．（只填序號）
①2個 ②3個 ③4個 ④4個以上
石家莊市橋西區(qū)2024-2025學(xué)年八年級（上）數(shù)學(xué)期末模擬測試
參考答案及解析
一.選擇題
1.【答案】：B
【解析】：解：選項A，C，D都不能找到這樣的一條直線，使這些圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
選項B能找到這樣的一條直線，使這個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．
故選：B．
2.【答案】：C
【解析】：解：A選項，，故選項錯誤；
B選項，，故選項錯誤；
C選項，，故選項正確；
D選項，，故選項錯誤．
故選：C．
3.【答案】：C
【解析】：解：0.000156用科學(xué)記數(shù)法可表示為1.56×10﹣4．
故選：C．
4.【答案】：B
【解析】：解：∵，
∴，
∴，
∴．
故選：B
5.【答案】：D
【解析】：設(shè)第三邊長為x，由題意得：
11﹣6＜x＜11+6，
解得：5＜x＜17．
故選D．
6.【答案】：C
【解析】：解：
故選：C．
7.【答案】：A
【解析】：解： 需要添加條件為：BC= BD或AC= AD,理由為:
若添加的條件為：BC= BD
在Rt△ABC與Rt△ABD中,

∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL) ;
若添加的條件為：AC=AD
在Rt△ABC與Rt△ABD中,
∴Rt△ABC≌Rt△ABD( HL).
故選：A.
8.【答案】：C
【解析】：解：∵FE⊥DB，
∵∠DEF=90°，
∵∠1=50°，
∴∠D=90°﹣50°=40°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故選C．
9.【答案】：A
【解析】：解：連接AA′，如圖：
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′CB+∠A′BC＝70°，
∴∠ACB+∠ABC＝140°，
∴∠BAC＝180°－140°＝40°，
∴∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°．
故選：A
10.【答案】：A
【解析】：解：方程去分母得：m+1﹣x=0，
解得x=m+1，
當(dāng)分式方程分母為0，即x=3時，方程無解，
則m+1=3，
解得m=2.
故選A.
11.【答案】：A
【解析】：解：∵∠B=90°，∠A=30°，AC=a，
∴BC=AC=a，
∵以點C為圓心，CB長為半徑畫弧交AC于點D，
∴CD=BC=a，
∵以點A為圓心，AD長為半徑畫弧交AB于點E，
∴AD=AE=AC-CD=a，
∵AB=m，
∴BE=AB-AE=m-a，
故選：A．
12.【答案】：D
【解析】：∵△ABC≌△ADE，∠BAD＝94°，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣94°）＝43°，
∵AE//BD，
∴∠DAE＝∠ADB＝43°，
∴∠BAC＝∠DAE＝43°．
故選：D．
13.【答案】：B
【解析】：解：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°，滿足“SAS”，所以根據(jù)這組條件畫圖，△ABC唯一；
②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°，根據(jù)這組條件畫圖，△ABC可能為銳角三角形，也可為鈍角三角形；
③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；滿足“HL”，所以根據(jù)這組條件畫圖，△ABC唯一；
④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°，根據(jù)這組條件畫圖，△ABC唯一．
所以，ΔABC不能夠唯一確定的是②．
故選：B
14.【答案】：B
【解析】：∵點P在∠AOB的平分線上，點P到OA邊的距離等于5，
∴點P到OB的距離為5，
∵點Q是OB邊上的任意一點，
∴PQ≥5．
故選：B．
15.【答案】：C
【解析】：解：∵P是∠AOB角平分線上的一點，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠AOB=30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中點，DM=4cm，
∴OP=2DM=8，
∴PD=OP=4，
∵點C是OB上一個動點，
∴PC的最小值為P到OB距離，
∴PC的最小值=PD=4．
故選C
16.【答案】：A
【解析】：解：作點A關(guān)于直線BC和直線CD的對稱點G和H，連接GH，交BC、CD于點E、F，連接AE、AF，則此時△AEF的周長最小，
∵四邊形的內(nèi)角和為，
∴，
即①，
由作圖可知：，，
∵的內(nèi)角和為，
∴②，
方程①和②聯(lián)立方程組，
解得．
故選：A．
二. 填空題
17.【答案】：
【解析】：解：
故答案為：．
18.【答案】： 20°或100°
【解析】：設(shè)∠B的角平分線交AC于點E，
當(dāng)時，如圖1，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∵∠ABE+∠A=∠BEC，
∴，
∴；
當(dāng)時，如圖2，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
綜上所述，的度數(shù)為或．
19.【答案】：
【解析】：解：由上述式子可歸納出：
故答案為：．
三.解答題
20【答案】：
（1）；
（2）
【解析】：
解：（1）原式＝
；
（2）原式＝
．
21【答案】：
（1），；（2），．
【解析】：
解：（1）
當(dāng)時，
原式
；
（2）
由題意得，
解得，
當(dāng)時，
原式
．
【畫龍點睛】本題考查整式的化簡求值、分式的化簡求值，涉及提公因式、完全平方公式、平方差公式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
22【答案】：
（1）見解析；（2）
【解析】：
（1）解：△ABC關(guān)于y軸對稱的如下圖所示 ：
（2）
．
23【答案】：
（1）見解析 （2）6
【解析】：
【小問1詳解】
證明：∵△ABC、△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
【小問2詳解】
解：∵△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∵點B，D，E三點共線
∴∠ADB=120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC=∠ADB=120°，
∴∠CED=∠AEC-∠AED=60°，
∵CD⊥BE，
∴∠CDE=90°，
∴∠DCE=30°，
∴BD=CE=2DE=6．
24【答案】：
（1）120 （2）2021
【解析】：
【小問1詳解】
設(shè)，，
則，
所以，
【小問2詳解】
設(shè)，，
則
所以，
25【答案】：
（1）甲種牛奶的進價是40元/件，乙種牛奶的進價是44元/件；
（2）該商場購進甲種牛奶44件，乙種牛奶24件
【解析】：
【小問1詳解】
設(shè)乙種牛奶的進價為x元/件，則甲種牛奶的進價為（x﹣4）元/件，
根據(jù)題意，得：
解得：x＝44，
經(jīng)檢驗，x＝44是原分式方程的解，且符合實際意義，
∴x﹣4＝40．
∴甲種牛奶的進價是40元/件，乙種牛奶的進價是44元/件；
【小問2詳解】
設(shè)購進乙種牛奶y件，則購進甲種牛奶（2y﹣4）件，
根據(jù)題意，得（45﹣40）（2y﹣4）+（50﹣44）y＝364，
解得y＝24，
∴2y﹣4＝44．
∴該商場購進甲種牛奶44件，乙種牛奶24件．
26【答案】：
（1）60，等邊；（2）等邊三角形，證明見解析（3）④.
【解析】：
（1）如圖1，連接BD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，∠MAN=120°，
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得，∠BCD=360°-（∠ABC+∠ADC+∠MAN）=60°，
∵AC是∠MAN的平分線，CD⊥AM．CB⊥AN，
∴CD=CB，（角平分線的性質(zhì)定理），
∴△BCD是等邊三角形；
故答案為60，等邊；
（2）如圖2，同（1）得出，∠BCD=60°（根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理），
過點C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，
∵AC是∠MAN的平分線，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
在△CDE和△CFB中，
，
∴△CDE≌△CFB（AAS），
∴CD=CB，
∵∠BCD=60°，
∴△CBD是等邊三角形；
（3）如圖3，
∵OP平分∠EOF，∠EOF=120°，
∴∠POE=∠POF=60°，在OE上截取OG'=OP=1，連接PG'，
∴△G'OP是等邊三角形，此時點H'和點O重合，
同理：△OPH是等邊三角形，此時點G和點O重合，
將等邊△PHG繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)到等邊△PG'H'，在旋轉(zhuǎn)的過程中，
邊PG，PH分別和OE，OF相交（如圖中G''，H''）和點P圍成的三角形全部是等邊三角形，（旋轉(zhuǎn)角的范圍為（0°到60°包括0°和60°），
所以有無數(shù)個；
理由：同（2）的方法．
故答案為④．

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