2答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡的相應(yīng)位置．
3．所有答案均在答題卡上作答，在本試卷或草稿紙上作答無效．答題前，請仔細(xì)閱讀答題卡上的“注意事項(xiàng)”，按照“注意事項(xiàng)”的規(guī)定答題．
4．答題時(shí)，請?jiān)诖痤}卡上對應(yīng)題目的答題區(qū)城內(nèi)答題．
5．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡交回．
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的）
1. 下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A B. C. D.
4. 在圖中，（ ）
A. B. C. D.
5. 如果分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（ ）
A. 擴(kuò)大為原來的2倍B. 擴(kuò)大為原來的4倍C. 不變D. 不能確定
6. 如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC分別經(jīng)過正五邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，則∠1＋∠2等于（ ）
A. 126°B. 130°C. 136°D. 140°
7. 已知，則的值為（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
8. 下列圖形陰影部分的面積能夠直觀地解釋的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在中，，將沿圖中虛線剪開，剪下的兩個(gè)三角形不一定全等的是（ ）．
A. B. C. D.
10. 如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線恰好垂直平分線段，，則的長是（ ）．
A. B. C. D.
11. 記載“綾羅尺價(jià)”問題：“今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文， ■ ．”其大意為：“現(xiàn)在有綾布和羅布長共3丈（1丈尺），已知綾布和羅布分別出售均能收入896文，■ ．”設(shè)綾布有尺，則可得方程為根據(jù)此情境，題中“■”表示缺失的條件，下列可以作為補(bǔ)充條件的是（ ）
A. 每尺綾布比每尺羅布貴120文B. 每尺綾布比每尺羅布便宜120文
C. 每尺綾布和每尺羅布一共需要120文D. 綾布的總價(jià)比羅布總價(jià)便宜120文
12. 如圖，將沿、翻折，頂點(diǎn)，均落在點(diǎn)處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）
13. 用科學(xué)記數(shù)法把0.00000005201表示成，則______．
14. 若，則_____．
15. 如圖，是等邊三角形，是邊上高，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，最小值為____．
16. 小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為，邊與其中一把直尺邊緣的交點(diǎn)為，點(diǎn)、在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則的長度是______．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟））
17. 先化簡：，然后從的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)作為的值代入求值．
18. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
19. 解方程：
（1）
（2）
20. 如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．
（1）畫出與關(guān)于軸對稱的，并直接寫出的坐標(biāo)；
（2）在軸上有一點(diǎn)，使得，請直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)．
21. 下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解過程：
解：設(shè)，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______（填序號）．
A. 提取公因式 B. 平方差公式
C. 兩數(shù)和的完全平方公式 D. 兩數(shù)差的完全平方公式
（2）該同學(xué)在第四步將用所設(shè)中的代數(shù)式代換，得到因式分解的最后結(jié)果．這個(gè)結(jié)果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接寫出最后的結(jié)果______．
（3）請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
22. 某公司在工程招標(biāo)時(shí)，收到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，該公司根據(jù)投標(biāo)書提出三種方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好如期完工；②乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，要比規(guī)定工期多用5天；③甲、乙兩隊(duì)合作4天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完工．
（1）求規(guī)定的工期為多少天？
（2）甲工程隊(duì)每天需支付1.5萬，乙工程隊(duì)每天需支付1萬，在保證工程如期完工的前提下，哪種方案施工費(fèi)用最少？
23. 如圖，在和中，，，，、相交于點(diǎn)F，

（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
24. 數(shù)學(xué)課上，老師提出下列問題：如圖，在中，是銳角，于點(diǎn)D，且，，，求的長．小亮積極思考后向同學(xué)們展示了自己的解題過程，過程如下：
證明：如圖1，在線段上取一點(diǎn)E，使，連接．
，，
垂直平分，
，（依據(jù)1）
．（依據(jù)2）
，
．
又，
，
，
，（依據(jù)3）
，
．
（1）上述解題過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指的是什么？依據(jù)1： ．依據(jù)2： ．依據(jù)3： ．
（2）看完小亮的解題過程，小創(chuàng)提出了自己的想法：證明：如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接．……請根據(jù)小亮的思路寫出完整的解題步驟．
藁城區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量評價(jià)
八年級數(shù)學(xué)試卷
注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁，總分120分，考試時(shí)間120分鐘．
2答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡的相應(yīng)位置．
3．所有答案均在答題卡上作答，在本試卷或草稿紙上作答無效．答題前，請仔細(xì)閱讀答題卡上的“注意事項(xiàng)”，按照“注意事項(xiàng)”的規(guī)定答題．
4．答題時(shí)，請?jiān)诖痤}卡上對應(yīng)題目的答題區(qū)城內(nèi)答題．
5．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡交回．
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的）
1. 下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵：如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸．
根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項(xiàng)分析判斷即可得出答案．
【詳解】解：A. 軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
B. 是軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
C. 是軸對稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；
D. 不是軸對稱圖形，故選項(xiàng)符合題意；
故選：．
2. 下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查因式分解的識別，把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．中等號右邊不是積的形式，故A不符合題意；
B．是乘法運(yùn)算，故B不符合題意；
C．是乘法運(yùn)算，故C不符合題意；
D．符合因式分解的定義，故D符合題意；
故選D．
3. 下列計(jì)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方、積的乘方逐個(gè)判斷，即可得出答案．
【詳解】解：A、，本選項(xiàng)不符合題意；
B、，本選項(xiàng)不符合題意；
C、，本選項(xiàng)不符合題意；
D、，本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方、積的乘方等知識，熟練掌握這些運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．
4. 在圖中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
故選：B
5. 如果分式中的x，y都擴(kuò)大為原來的2倍，那么分式的值（ ）
A. 擴(kuò)大為原來的2倍B. 擴(kuò)大為原來的4倍C. 不變D. 不能確定
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了分式的性質(zhì)，分式的分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)或者整式分式的值不變．
將分式中的都擴(kuò)大為原來的2倍，得到新的分式化簡與原分式比較即可得答案．
【詳解】解：分式中的都擴(kuò)大到原來的2倍，
那么新分式為，
所以分式的值擴(kuò)大為原來的2倍．
故選：A．
6. 如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC分別經(jīng)過正五邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，則∠1＋∠2等于（ ）
A. 126°B. 130°C. 136°D. 140°
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正五邊形的特征求出正五邊形的一個(gè)內(nèi)角，進(jìn)一步得到2個(gè)內(nèi)角的和；再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°以及角的和差即可解答．
【詳解】解：∵正五邊形，
∴每一個(gè)內(nèi)角為：180°-=108°，即：兩個(gè)內(nèi)角和為216°，
∴∠1＋∠2=216°-90°=126°．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)多邊形內(nèi)角和外角的性質(zhì)求得正五邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成為解答本題的關(guān)鍵．
7. 已知，則的值為（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】把變形為，再代入，利用完全平方公式計(jì)算，合并同類項(xiàng)即可求解．
詳解】解：∵，
∴，
∴
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的求值，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．
8. 下列圖形陰影部分的面積能夠直觀地解釋的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，熟練根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)進(jìn)行列等式是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式的幾何背景，結(jié)合面積之間的和差關(guān)系進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A中，利用陰影部分的面積可得，故不符合題意；
B中，利用陰影部分的面積可得，故不符合題意；
C中，利用陰影部分的面積可得，故不符合題意；
D中，利用陰影部分的面積可得，故符合題意；
故選：D．
9. 在中，，將沿圖中虛線剪開，剪下的兩個(gè)三角形不一定全等的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵，根據(jù)全等三角形的判定方法逐一分析判斷即可．
【詳解】解：A選項(xiàng)：滿足兩邊對應(yīng)相等且夾角相等，所以剪下的兩個(gè)三角形全等；不符合題意；
B選項(xiàng)：滿足兩邊對應(yīng)相等且夾角相等，所以剪下的兩個(gè)三角形全等；不符合題意；
C選項(xiàng)：如圖，
∵，，
∴，
而，
∴剪下的兩個(gè)三角形全等；不符合題意；
D選項(xiàng)：如圖，
同理可得：，而，
但是不是兩個(gè)角的夾邊相等，兩個(gè)三角形不一定全等，符合題意；
故選D
10. 如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線恰好垂直平分線段，，則的長是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出，由，，得到，進(jìn)而得出，即可求解．
【詳解】解：直線恰好垂直平分線段，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選： B．
11. 記載“綾羅尺價(jià)”問題：“今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文， ■ ．”其大意為：“現(xiàn)在有綾布和羅布長共3丈（1丈尺），已知綾布和羅布分別出售均能收入896文，■ ．”設(shè)綾布有尺，則可得方程為根據(jù)此情境，題中“■”表示缺失的條件，下列可以作為補(bǔ)充條件的是（ ）
A. 每尺綾布比每尺羅布貴120文B. 每尺綾布比每尺羅布便宜120文
C. 每尺綾布和每尺羅布一共需要120文D. 綾布的總價(jià)比羅布總價(jià)便宜120文
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，理解方程的意義是解題的關(guān)鍵．
設(shè)綾布有尺，則羅布有尺，再表示每尺綾布和每尺羅布需要的費(fèi)用，最后根據(jù)所列的方程求解即可．
【詳解】設(shè)綾布有尺，則羅布有尺，
∵綾布和羅布分別出售均能收入896文，
∴每尺綾布的費(fèi)用為元，每尺羅布的費(fèi)用為元，
∵，
∴，
∴可以作為補(bǔ)充條件的是：每尺綾布和每尺羅布一共需要120文．
故選：C．
12. 如圖，將沿、翻折，頂點(diǎn)，均落在點(diǎn)處，且與重合于線段，若，則的度數(shù)為（ ）
A. 38B. 39C. 40D. 41
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．連接并延長，設(shè)，則，依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接并延長至，
設(shè)，則，
由折疊可得，
，
是的外角，
，
同理可得，，
∵
，
解得，
，
故選：A．
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）
13. 用科學(xué)記數(shù)法把0.00000005201表示成，則______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義（將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法）是解題關(guān)鍵．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
【詳解】解：，
則，
故答案為：．
14. 若，則_____．
【答案】8
【解析】
【分析】此題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．
根據(jù)同底數(shù)冪的乘法得到，然后得到求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案為：8．
15. 如圖，是等邊三角形，是邊上的高，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，最小值為____．
【答案】4
【解析】
【分析】本題考查了最短路徑問題及等邊三角形的性質(zhì)，理解“兩點(diǎn)之間線段最短”是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”找到最小值，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．
【詳解】解：如圖，連接，
是等邊三角形，是邊上的高，
，
B，C關(guān)于直線對稱，
，
，
是等邊三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
，
最小值為4，
故答案為：4．
16. 小明將兩把完全相同的長方形直尺如圖放置在上，兩把直尺的接觸點(diǎn)為，邊與其中一把直尺邊緣的交點(diǎn)為，點(diǎn)、在這把直尺上的刻度讀數(shù)分別是2、5，則的長度是______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查角平分線性質(zhì)定理的逆定理，平行線的性質(zhì)，過作于，由角平分線性質(zhì)定理的逆定理推出平分，得到，由平行線的性質(zhì)推出，得到，因此，由，即可得到的長度是．
【詳解】解：過作于，
由題意得：，，，
平分，
，
∵，
，
，
，
、在這把直尺上刻度讀數(shù)分別是2、5，
，
的長度是．
故答案為：．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟））
17. 先化簡：，然后從的范圍內(nèi)選取一個(gè)合適的整數(shù)作為的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡求值，化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．
先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡，再選取合適的x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式
，
且且，
在的范圍內(nèi)可以取整數(shù)0，
當(dāng)時(shí)，原式．
18. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算及整式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則和順序正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．
（1）先計(jì)算乘方，絕對值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后再計(jì)算加減法即可；
（2）先做乘方，然后做乘除，最后做加減；
【小問1詳解】
解：原式；
【小問2詳解】
解：原式．
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）方程無解
（2）
【解析】
【分析】此題考查了解分式方程，掌握轉(zhuǎn)化思想，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解是解題的關(guān)鍵．
（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【小問1詳解】
解：
方程兩邊同時(shí)乘以得：，
即，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
故原方程無解；
【小問2詳解】
解：
方程兩邊同時(shí)乘以得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．
20. 如圖，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，．
（1）畫出與關(guān)于軸對稱的，并直接寫出的坐標(biāo)；
（2）在軸上有一點(diǎn)，使得，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）作圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）作圖見解析，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【解析】
【分析】（）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可，根據(jù)圖形即可寫出的坐標(biāo)；
（）根據(jù)全等三角形的判定可確定點(diǎn)的位置，即可得到答案；
本題考查了作軸對稱圖形，全等三角形的判定，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
【小問1詳解】
解：如圖，即為所求，由圖可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
【小問2詳解】
如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)即為所求．
理由：由勾股定理可得，，，
又∵，
∴．
21. 下面是某同學(xué)對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程：
解：設(shè)，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______（填序號）．
A. 提取公因式 B. 平方差公式
C. 兩數(shù)和的完全平方公式 D. 兩數(shù)差的完全平方公式
（2）該同學(xué)在第四步將用所設(shè)中的的代數(shù)式代換，得到因式分解的最后結(jié)果．這個(gè)結(jié)果是否分解到最后？______（填“是”或“否”），如果否，直接寫出最后的結(jié)果______．
（3）請你模仿以上方法嘗試對多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．
【答案】（1）C （2）否；
（3）
【解析】
【分析】本題考查了利用換元法和完全平方公式進(jìn)行因式分解；
（1）根據(jù)兩數(shù)和的完全平方公式即可得；
（2）根據(jù)兩數(shù)差的完全平方公式即可得．
（3）仿照例題，進(jìn)行因式分解，即可求解．
【小問1詳解】
該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的兩數(shù)和的完全平方公式，
故選：C；
【小問2詳解】
否，最后結(jié)果求解如下：
原式，
，
，
故答案為：否，．
【小問3詳解】
解：設(shè)
原式
．
22. 某公司在工程招標(biāo)時(shí)，收到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，該公司根據(jù)投標(biāo)書提出三種方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好如期完工；②乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，要比規(guī)定工期多用5天；③甲、乙兩隊(duì)合作4天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完工．
（1）求規(guī)定的工期為多少天？
（2）甲工程隊(duì)每天需支付1.5萬，乙工程隊(duì)每天需支付1萬，在保證工程如期完工的前提下，哪種方案施工費(fèi)用最少？
【答案】（1）20天 （2）方案③施工費(fèi)用最少
【解析】
【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．
（1）設(shè)這項(xiàng)工程為單位1，規(guī)定的工期為x天，根據(jù)題意列出方程求解即可；
（2）先求得方案①③所需費(fèi)用，再比較可得結(jié)論．
小問1詳解】
解：設(shè)這項(xiàng)工程為單位1，規(guī)定的工期為x天，
根據(jù)題意，得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，
答：規(guī)定的工期為20天；
【小問2詳解】
解：由題意和（1）知，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需20天，乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需25天，故①③方案能夠保證工程如期完工，
方案①所需施工費(fèi)用為（萬元），
方案③所需施工費(fèi)用為（萬元），
∵，
∴方案③的施工費(fèi)用最少．
23. 如圖，在和中，，，，、相交于點(diǎn)F，

（1）求證：；
（2）若，，求的度數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明．
（1）根據(jù)題意利用證明，即可得結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，結(jié)合（1）中結(jié)論，利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
【小問1詳解】
證明：，
，
，
在和中，
，
，
；
【小問2詳解】
解：，
，
，
．
24. 數(shù)學(xué)課上，老師提出下列問題：如圖，在中，是銳角，于點(diǎn)D，且，，，求的長．小亮積極思考后向同學(xué)們展示了自己的解題過程，過程如下：
證明：如圖1，在線段上取一點(diǎn)E，使，連接．
，，
垂直平分，
，（依據(jù)1）
．（依據(jù)2）
，
．
又，
，
，
，（依據(jù)3）
，
．
（1）上述解題過程中的“依據(jù)1”，“依據(jù)2”，“依據(jù)3”分別指的是什么？依據(jù)1： ．依據(jù)2： ．依據(jù)3： ．
（2）看完小亮的解題過程，小創(chuàng)提出了自己的想法：證明：如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接．……請根據(jù)小亮的思路寫出完整的解題步驟．
【答案】（1）垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；在同一三角形中，等邊對等角；在同一三角形中，等角對等邊
（2）見解析
【解析】
【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)．
（1）在線段上取一點(diǎn)E，使，連接，證明垂直平分，推出，利用三角形的外角性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可；
（2）延長到點(diǎn)E，使，連接，推出，得到，根據(jù)，進(jìn)一步計(jì)算即可求解．
【小問1詳解】
證明：在線段上取一點(diǎn)E，使，連接．
，，
垂直平分，
，（垂直平分線上任意一點(diǎn),到線段兩端點(diǎn)的距離相等）
．（在同一三角形中，等邊對等角）
，
．
又，
，
，
，（在同一三角形中，等角對等邊）
，
．
故答案為：垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等；在同一三角形中，等邊對等角；在同一三角形中，等角對等邊；
【小問2詳解】
證明：如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，，
垂直平分，
．

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