1. 在下列方程中，一元二次方程的個數(shù)是（ ）
①3x2+7=0；②ax2+bx+c=0；③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1；④3x2﹣=0．
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】A
【解析】
【詳解】試題分析：本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
解：①3x2+7=0，是一元二次方程，故本小題正確；
②ax2+bx+c=0，a≠0時是一元二次方程，故本小題錯誤；
③（x﹣2）（x+5）=x2﹣1，整理后不是一元二次方程，故本小題錯誤；
④3x2﹣=0，是分式方程，不是一元二次方程，故本小題錯誤．
故選A．
考點：一元二次方程的定義．
2. 關于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（ ）
A. 1B. C. 1或D. 0.5
【答案】B
【解析】
【分析】此題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程．把代入方程即可求解，解題的關鍵是熟記方程的解和解一元二次方程．
【詳解】解：把代入一元二次方程得：
，
解得，，
∵，
∴的值為，
故選：B．
3. 二次函數(shù)圖象的對稱軸是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】把二次函數(shù)化成一般形式，利用對稱軸為直線x=求解即可.
【詳解】∵=，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是x==；
故選D.
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸的計算，學會選擇計算對稱軸的基本方法是解題的關鍵.
4. 是下列哪個一元二次方程的根（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了用公式法解一元二次方程，將求根公式一一代入方程驗證即可得出答案．
【詳解】解：A．中，，不合題意；
B．中，，不合題意；
C．，，不合題意；
D．3x2+5x﹣1＝0中，，符合題意；
故選：D．
5. 根據(jù)下面表格中的對應值：
判斷方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（ ）
A. 3＜x＜3.23B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25D. 3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到x＝3.24時，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25時，ax2+bx+c＝0.03，則x取3.24到3.25之間的某一個數(shù)時，使ax2+bx+c＝0，于是可判斷關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25．
【詳解】解：∵x＝3.24時，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25時，ax2+bx+c＝0.03，
∴關于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個解x的范圍是3.24＜x＜3.25．
故選：C．
【點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．
6. 某超市一月份的營業(yè)額為100萬元，第一季度的營業(yè)額共800萬元，如果平均每月增長率為x，則所列方程應為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，然后根據(jù)一月份的營業(yè)額＋二月份的營業(yè)額＋三月份的營業(yè)額，把相關數(shù)值代入即可．
【詳解】解：∵一月份的營業(yè)額為100萬元，平均每月增長率為x，
∴二月份的營業(yè)額為，三月份的營業(yè)額為，
∴可列方程為，
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用—變化率問題，若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為．
7. 如圖是二次函數(shù)的圖象，使成立的的取值范圍是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了利用圖象法解不等式，數(shù)形結合思想，根據(jù)函數(shù)圖像可得出當時對應的x的值，然后結合函數(shù)圖像求解即可．
【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像可知，當時，，，
結合函數(shù)圖像可知，當成立的的取值范圍是或，
故選：D．
8. 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，且，則的值可能是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質，根據(jù)拋物線解析式可知拋物線的開口向下，對稱軸為直線，由點A和點B坐標求出A，B關于對稱軸對稱時m的值，然后結合即可得出答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)，
∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線，
當時，，
∵，
∴，
故選：D．
9. 把二次函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得到圖象的函數(shù)解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移，頂點式與一般式互相轉化等知識，先把二次函數(shù)的一般形式轉化成頂點式，再根據(jù)平移的性質得出平移后的解析式，再把平移后的解析式化成一般形式即可得出答案．
【詳解】解：
把它向右平移2個單位，再向上平移3個單位，所得到圖象的函數(shù)解析式是 ，
即，化為一般形式為：，
故選：C．
10. 在同一直角坐標系中，一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象及性質，掌握系數(shù)對函數(shù)圖象的影響是解題的關鍵．
根據(jù)函數(shù)圖象分別確定系數(shù)的正負，同一字母在同一圖象中取值不能相異，據(jù)此判定即可．
【詳解】解：A． 由一次函數(shù)圖象得，由二次函數(shù)圖象得，矛盾，不符合題意；
B． 由一次函數(shù)圖象得，由二次函數(shù)圖象得，一致，符合題意；
C． 由一次函數(shù)圖象得，由二次函數(shù)圖象得，矛盾，不符合題意；
D． 由一次函數(shù)圖象得，由二次函數(shù)圖象得，矛盾，不符合題意；
故選：B．
11. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，以下結論：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其頂點坐標為（ ，﹣2）；⑤當x＜時，y隨x的增大而減??；⑥a+b+c＞0，正確的有（ ）
A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個
【答案】B
【解析】
【詳解】解：由圖象可知，拋物線開口向上，則a＞0，頂點在y軸右側，則b＜0，與y軸交于負半軸，則c＜0，∴abc＞0，故①正確，函數(shù)圖象與x軸有兩個不同交點，則b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，故②正確，由圖象可知，，則2b=﹣2a，2a+b=﹣b＞0，故③正確，由拋物線過點（﹣1，0），（0，﹣2），（2，0），可得：，解得：，∴ =，∴頂點坐標是（，﹣），故④錯誤，∴當x＜時，y隨x的增大而減小，故⑤正確，當x=1時，y=a+b+c＜0，故⑥錯誤，由上可得，正確的是①②③⑤，故選B．
點睛：本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解答本題的關鍵是明確二次函數(shù)的性質，利用數(shù)形結合的思想解答．
12. 正方形ABCD邊長為1，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH．設小正方形EFGH的面積為y，AE=x． 則y關于x的函數(shù)圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知得BE=CF=DG=AH=1-x，根據(jù)y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH，求函數(shù)關系式，判斷函數(shù)圖象．
【詳解】解：依題意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH=1-4×（1-x）x=2x2-2x+1，
即y=2x2-2x+1（0≤x≤1），拋物線開口向上，對稱軸為x=．
故答案選C ．
二、填空題
13. 拋物線的頂點坐標是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了求二次函數(shù)的頂點坐標，熟練掌握將二次函數(shù)解析式化為頂點式的方法和步驟是解題的關鍵．將化為頂點式，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴拋物線頂點坐標為，
故答案為：．
14. 定義新運算“”：對于任意實數(shù)，都有，例如．若，則它的根為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了定義新運算，因式分解求一元二次方程的根，根據(jù)定義新運算的計算方法可得為，根據(jù)因式分解法即可求解．
【詳解】解：∵，
∴得，，整理得，，
∴或，
解得，，
故答案為： ．
15. 已知拋物線與拋物線關于軸對稱，則的值為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖像與幾何變換，利用關于軸對稱的點坐標特點，橫坐標不變，縱坐標變成相反數(shù)從而得出，，，然后代入代數(shù)式計算即可得出答案．
【詳解】解：∵拋物線與拋物線關于軸對稱，
又，
∴函數(shù)的解析式為：，
∴，，，
∴，
故答案為：．
16. 如圖所示，四個二次函數(shù)的圖象對應的表達式分別是：①；②；③；④，則，，，的大小關系為__________．（用“”連接）
【答案】
【解析】
【分析】題主要考查了二次函數(shù)的性質，解決問題的關鍵是采用了取特殊點的方法，比較字母系數(shù)的大小.
【詳解】解：如圖，因為直線與四條拋物線的交點從上到下依次，
所以.
17. 是方程的一個根，則代數(shù)式的值是______．
【答案】2025
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根，求代數(shù)式的值，根據(jù)一元二次方程根的定義得，進而得出，然后整體代入計算即可．
【詳解】∵a是方程的一個根，
∴，
即，
∴．
所以代數(shù)式．
故答案為：2025．
18. 如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門．當羊圈的長為______米時，能圍成一個面積為的羊圈？
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，理解題意，正確列方程是解題關鍵．設羊圈的寬為米，則長為米，根據(jù)面積為列一元二次方程求解即可．
【詳解】解：設羊圈的寬為米，則長為米，
由題意得：，
整理得：，
解得：，，
當時，；
當時，；
即當羊圈的長為或米時，能圍成一個面積為的羊圈，
故答案為：或
三、解答題（共78分）
19. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3）
（4），
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程．
（1）把9移到方程的右邊，利用直接開平方法解一元二次方程即可．
（2）把7移到方程的右邊，利用配方法解一元二次方程即可．
（3）利用直接開平方法解一元二次方程即可．
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小問1詳解】
解：
∴，
【小問2詳解】
∴
∴，
【小問3詳解】
∴
【小問4詳解】
∴，
20. 已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根x1，x2．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k使得成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）（2）不存在
【解析】
【分析】（1）由題意可得△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通過解該不等式即可求得k取值范圍；
（2）假設存在實數(shù)k使得x1·x2-x12-x22≥0成立．由根與系數(shù)的關系可得x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，然后利用完全平方公式可以把x1·x2-x12-x22≥0轉化為3x1·x2-（x1+x2）2≥0的形式，通過解不等式可以求得k的值．
【詳解】（1）∵原方程有兩個實數(shù)根，
∴△≥0
即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0 ，
∴1﹣4k≥0，
∴k≤，
∴當k≤時，原方程有兩個實數(shù)根；
（2）假設存在實數(shù)k使得x1·x2-x12-x22≥0成立，
∵x1，x2是原方程的兩根，
∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k，
由x1·x2-x12-x22≥0，
得3x1·x2-（x1+x2）2≥0
∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，
整理得：﹣（k﹣1）2≥0，
∴只有當k=1時，上式才能成立；
又∵由（1）知k≤，
∴不存在實數(shù)k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.
21. 在平面直角坐標系中，已知拋物線．
（1）拋物線的對稱軸為______；
（2）當時求拋物線最大值（用含a的字母表示）
（3）若當時，的最小值是，求當時，的最大值；
【答案】（1）直線
（2）
（3）11
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質．
（1）根據(jù)對稱軸直線代入求解即可．
（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式可得出拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時，y隨著x的增大而增大．進而可得出當時y的值為最大值，代入求解即可．
（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質可得出當時，，進而求出a的值，再得出當時，取的最大值，代入計算即可．
【小問1詳解】
解：拋物線對稱軸為直線．
【小問2詳解】
解：∵，
∴拋物線開口向上，
又對稱軸為直線，
∴當時，y隨著x的增大而增大．
∴當時拋物線的最大值即當時，y的值，
此時
【小問3詳解】
解：∵拋物線開口向上，對稱軸為直線，
又當時，的最小值是，
∴當時，，
即，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
∵當比當離對稱軸直線近，
∴當時，取的最大值，
此時．
22. 云夢魚面是湖北地區(qū)的漢族傳統(tǒng)名吃之一，主產(chǎn)于湖北省云夢縣，并因此而得名，1915年，云夢魚面在巴拿馬萬國博覽會參加特產(chǎn)比賽獲優(yōu)質銀牌獎，產(chǎn)品暢銷全國及國際市場．今年云夢縣某魚面廠在“農(nóng)村淘寶網(wǎng)店”上銷售云夢魚面，每袋成本16元，該網(wǎng)店于今年3月銷售出200袋，每袋售價30元，為了擴大銷售，4月準備適當降價．據(jù)測算每袋魚面每降價1元，銷售量可增加20袋．
（1）每袋魚面降價5元時，4月共獲利多少元？
（2）當每袋魚面降價多少元時，能盡可能讓利于顧客，并且讓廠家獲利2860元？
【答案】（1）2700
（2）3
【解析】
【分析】（1）根據(jù)總利潤等于每袋的利潤×銷售量，即可求解；
（2）設每袋魚面降價x元，根據(jù)總利潤等于每袋的利潤×銷售量，列出方程，即可求解．
【小問1詳解】
解∶根據(jù)題意得：元，
答：每袋魚面降價5元時，4月共獲利2700元；
【小問2詳解】
解∶設每袋魚面降價x元，根據(jù)題意得：
，
整理得：，
解得：，
因為能盡可能讓利于顧客，
所以x=3，
答：每袋魚面降價3元．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．
23. 二次函數(shù)，其頂點的坐標為．是拋物線與x軸的兩個交點（在右側）
（1）求出圖象與軸的交點的坐標；
（2）畫出二次函數(shù)圖像
（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）或
【解析】
【分析】對于（1），先將頂點坐標代入關系式，再令，可得答案；
對于（2），根據(jù)關系式畫出拋物線即可；
對于（3），先求出，可知，即可得出y的值，再代入關系式得出答案．
【小問1詳解】
∵二次函數(shù)圖象的頂點坐標是，
∴．
令，則，
解得，
所以點；
【小問2詳解】
如圖所示．
【小問3詳解】
設點P的坐標是，
根據(jù)題意得，
∴，
即，
解得或（舍），
∴，
解得或，
∴點P的是或．
【點睛】這是一關于二次函數(shù)與幾何圖形的綜合問題，主要考查了求二次函數(shù)關系式，求拋物線與坐標軸的交點坐標，畫二次函數(shù)的圖象，選擇適當?shù)年P系式是解題的關鍵．
24. 小明在解一元二次方程時，發(fā)現(xiàn)這樣一種解法．
如：解方程
解：原方程可變形為
，
直接開平方整理得：；
我們稱小明的這種解法為“平均數(shù)法”
（1）下面是小明用“平均數(shù)法”解方程時寫的解題過程．
解：原方程變形為
，
直接開平方整理得：；
上述過程中的______；______；______；______．
（2）請用“平均數(shù)法”解方程：
【答案】（1）5，2，，
（2）；
【解析】
【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，新定義運算的含義，理解平均數(shù)法結合直接開平方法解一元二次方程是解本題的關鍵．
（1）仿照平均數(shù)法可把原方程化為，可得，再解方程即可；
（2）仿照平均數(shù)法可把原方程化為，可得，再解方程即可；
【小問1詳解】
解：
原方程可變形為
∴
∴
∴直接開平方整理得：；
∴，，，．
∴上述過程中的a、b、c、d表示的數(shù)分別為5，2，，．
【小問2詳解】
原方程可變形為，
∴
∴
∴直接開平方整理得：；
25. 數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要方法．小明同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)進行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：
（1）【觀察探究】
方程的解為：___；
（2）【問題解決】
若方程有四個實數(shù)根，分別為、、、．
①a的取值范圍是___；
②計算___；
（3）【拓展延伸】
①將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？畫出平移后的圖象并寫出平移過程：
②觀察平移后的圖像，當時，直接寫出自變量x的取值范圍___．
【答案】（1）
（2）①；②0
（3）①見解析；②
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)圖象及方程可得當時，自變量x的值，則可看作直線與函數(shù)的圖象交點問題，進而問題可求解；
（2）①由題意可看作直線與函數(shù)的圖象有四個交點的問題，進而問題可求解；②由圖象可得：該函數(shù)的一條性質為關于y軸對稱，即可求解；
（2）①由函數(shù)圖象平移可直接進行求解；②結合函數(shù)圖象可求解x的范圍問題．
【小問1詳解】
解：由題意及圖象可看作直線與函數(shù)圖象交點問題，如圖所示：
∴方程的解為；
故答案為：；
【小問2詳解】
解：①由題意可看作直線與函數(shù)的圖象有四個交點的問題，如圖所示：
∴由圖象可得若方程有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是；
故答案為：；
②由圖象可得：該函數(shù)的一條性質為關于y軸對稱，
假設方程有四個實數(shù)根，從小到大分別為、、、，
∴，
∴；
故答案為：0
【小問3詳解】
解：①由題意得：將函數(shù)的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度可得到函數(shù)的圖象，則平移后的函數(shù)圖象如圖所示：
；
②由圖象可得：當時，自變量x的取值范圍為．
故答案為：．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
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山東省德州市三校聯(lián)考2024-2025學年八年級上學期第一次月考數(shù)學試題

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