貴州省貴陽市某校2024-2025學年九年級上學期第一次月考數(shù)學試題.（解析版）-A4-試卷下載-教習網(wǎng)

同學你好！答題前請認真閱讀以下內(nèi)容：
1．本卷為數(shù)學試卷，全卷共4頁，三大題，25小題，滿分150分，考試時間120分鐘．考試形式閉卷．
2．答題前，務(wù)必將自己的姓名、座位號填寫在答題卡上相應(yīng)的位置．
3．答題時，必須使用2B鉛筆或0.5毫米黑色簽字筆，將答案填涂或書寫在答題卡上相應(yīng)位置，字體工整，筆跡清楚，在試卷上答題無效．
4．不能使用科學計算器．
一、選擇題：以下每小題均有A、B、C、D四個選項，其中只有一個選項正確，請在答題卡上相應(yīng)位置填涂，每小題3分，共36分．
1. 下列方程中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的定義，根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程求解即可．
【詳解】解：A、是一元一次方程，不是關(guān)于x的一元二次方程，不符合題意；
B、中含有兩個未知數(shù)，不是關(guān)于x的一元二次方程，不符合題意；
C、不是整式，不是關(guān)于x的一元二次方程，不符合題意；
D、是關(guān)于x的一元二次方程，符合題意，
故選：D．
2. 正方形具有而菱形不一定有的性質(zhì)是（）
A. 對角相等B. 鄰邊相等C. 對角線相等D. 對角線互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了正方形與菱形的性質(zhì)，熟記正方形與菱形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)正方形與菱形的性質(zhì)逐項判定即可解答．
【詳解】解：菱形和矩形的性質(zhì)合在一起得到了正方形．
正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)即為矩形的特性，由矩形對角線相等滿足條件．
故選：C．
3. 一元二次方程的一次項系數(shù)是（）
A. 5B. C. 2D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得一次項為，即可求解．
【詳解】解：由題意可得：一次項為，其系數(shù)為
故選B
【點睛】此題考查了一元二次方程的有關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是確定一次項，掌握單項式系數(shù)的概念，單項式中的數(shù)字因數(shù)為單項式的系數(shù)．
4. 對角線互相垂直平分且相等的四邊形一定是（）
A. 正方形B. 菱形C. 矩形D. 平行四邊形
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查正方形的判定，掌握正方形判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】對角線互相垂直平分且相等的四邊形一定是正方形，
故選A．
5. 下列方程中，沒有實數(shù)根的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判別式，當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根，依次判斷即可求解．
【詳解】解：A、，其中，，，
，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；
B、，其中，，，
?=22-4×1×-15=64>0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；
C、，其中，，，
，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；
D、，其中，，，
，
∴方程沒有實數(shù)根，故本選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，將兩條寬度相同的紙條相交成30°角疊放，重合部分構(gòu)成四邊形，已知，則原紙條的寬度為（）
A. 6B. 3C. D. 無法確定
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，證得四邊形ABCD為菱形是解題的關(guān)鍵．
先可判斷重疊部分為平行四邊形，再由平行四邊形的面積可得鄰邊相等，即重疊部分為菱形可得，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：如圖：過點A作于E，于F，
∵兩條紙條寬度相同，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，，
∵，
又∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，
在中，，
∴．
故選：B．
7. 若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義：是解題的關(guān)鍵．
先將方程整理為，再根據(jù)一元二次方程定義列不等式解答即可．
【詳解】解：∵，
∴
∵是關(guān)于x的一元二次方程，
∴，則．
故選：D．
8. 如圖，將長方形紙片折疊，使A點落BC上的F處，折痕為BE，若沿EF剪下，則折疊部分是一個正方形，其數(shù)學原理是（）
A. 鄰邊相等的矩形是正方形
B. 對角線相等的菱形是正方形
C. 兩個全等的直角三角形構(gòu)成正方形
D. 軸對稱圖形是正方形
【答案】A
【解析】
【分析】將長方形紙片折疊，使A點落BC上的F處，可得到BA＝BF，折痕為BE，沿EF剪下，故四邊形ABFE為矩形，且有一組鄰邊相等，故四邊形ABFE為正方形．
【詳解】解：∵將長方形紙片折疊，A落在BC上的F處，
∴BA＝BF，
∵折痕為BE，沿EF剪下，
∴四邊形ABFE為矩形，
∴四邊形ABEF為正方形．
故用的判定定理是；鄰邊相等的矩形是正方形．
故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的判定定理，關(guān)鍵是根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形和翻折變換解答．
9. 小星利用表格中的數(shù)據(jù)，估算一元二次方程的根，
由此可以確定，方程的一個根的大致范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】觀察表格可知，隨的值逐漸增大，的值在之間由負到正，故可判斷時，對應(yīng)的的值在之間．
【詳解】解：根據(jù)表格可知，時，對應(yīng)的的值在之間．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與一元二次方程的解之間的關(guān)系．關(guān)鍵是觀察表格，確定函數(shù)值由負到正時，對應(yīng)的自變量取值范圍．
10. 若，是一元二次方程的兩個根，則的值為（）
A. B. 5C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，直接求解即可．
【詳解】解：由題意，得：；
故選B．
11. 如圖，O是矩形的對角線的中點，E是邊的中點．若，，則線段的長為（）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，斜邊上的中線，中位線定理求出的長，勾股定理求出的長，斜邊上的中線求出線段的長即可．
【詳解】解：∵O是矩形的對角線的中點，E是邊的中點，
∴，，
∴，，
∴；
故選C．
12. 如圖，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 為邊 BC 上一動點，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC于 F，M 為 EF 中點，則 AM 的最小值為（）
A. 1B. 1.3C. 1.2D. 1.5
【答案】C
【解析】
【分析】首先證明四邊形AEPF為矩形，可得AM=AP，最后利用垂線段最短確定AP的位置，利用面積相等求出AP的長，即可得AM.
【詳解】在△ABC中，因為AB2+AC2=BC2，
所以△ABC為直角三角形，∠A=90°，
又因為PE⊥AB，PF⊥AC，
故四邊形AEPF為矩形，
因為M 為 EF 中點，
所以M 也是 AP中點，即AM=AP，
故當AP⊥BC時，AP有最小值，此時AM最小，
由，可得AP=，
AM=AP=
故本題正確答案為C.
【點睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì),確定出AP⊥BC時AM最小是解題關(guān)鍵.
二、填空題：每小題4分，共16分．
13. 已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則m的值是_______．
【答案】0
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的解，把代入方程進行求解即可．
【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，
∴，
∴；
故答案為：0．
14. 如圖，在一塊長為22m、寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形一邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300m2．若設(shè)道路寬為xm，則根據(jù)題意可列方程為_____．
【答案】（22-x）（17-x）=300．
【解析】
【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程．
【詳解】設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意有（22﹣x）（17﹣x）=300，
故答案為：（22﹣x）（17﹣x）=300．
15. 矩形的兩條對角線將矩形分成4個三角形，它們的面積_______．（填“相等”或“不相等”）
【答案】相等
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積問題等知識點，掌握矩形的對角線互相平分與等底同高的三角形面積相等成為解題的關(guān)鍵．
如圖：由四邊形是矩形，根據(jù)矩形的對角線互相平分，即可得，則易證，即可得，又由與等底同高，可得，進而完成解答．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵與等底同高，
∴，
同理：，
∴．
∴矩形的兩條對角線將矩形分成4個三角形的面積相等．
故答案為：相等．
16. 如圖，在正方形中，點E是邊上的一點，點F在邊的延長線上，且，連接交邊于點G．過點A作，垂足為點M，交邊于點N．若，，則線段的長為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．連接，，，先證明，得到，，證明為等腰直角三角形，從而可證明，設(shè)，則根據(jù)勾股定理列方程并求解，得到，進而求出的長，勾股定理求出的長，證明，列出比例式進行求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，，，
四邊形為正方形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
為等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
設(shè)，
，，
，
，，
在中，，
即，
解得，
，
，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴
故答案為：．
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程，本大題有9小題，共98分．
17. 解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵.
（1）直接運用因式分解法求解即可；
（2）先運用根的判別式確定根的情況，然后再運用公式法求解即可.
【小問1詳解】
解：，
，
，
.
【小問2詳解】
解：，
，
∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
，.
18. 如圖，四邊形的對角線與相交于點O，已知，，有下列條件：
①，②．
請從以上①②中任選1個作為條件，求證：四邊形是矩形．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查矩形判定，選擇①，根據(jù)，，得到四邊形為平行四邊形，再根據(jù)有一個角是90度的平行四邊形是矩形，即可得證，選擇②，根據(jù)，，得到四邊形為平行四邊形，再根據(jù)有一個角是90度的平行四邊形是矩形，即可得證．
【詳解】解：選擇①：
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形；
選擇②：
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形是矩形．
19 解方程時，小明同學解答過程如下：
第①步∵，，
第②步∴
第③步∴
第④步∴，．
小華同學發(fā)現(xiàn)解題過程中存在錯誤，請你指出錯誤的是第_______步；并寫出正確的解題過程．
【答案】①，正確解答過程見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了解一元二次方程-公式法、一元二次方程的一般形式等知識點，掌握運用公式法解一元二次方程成為解題的關(guān)鍵．
先把方程化成一般式，然后再按照公式法逐步判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，，，即第①步發(fā)生錯誤；
∴，
第③步∴，
第④步∴，．
20. 已知：如圖，在中，，是邊的中點，，，垂足
分別是、．
求證：；
只添加一個條件，使四邊形是正方形，并給出證明．
【答案】（1）證明見解析；（2）添加
【解析】
【分析】(1)連接AD，已知AB=AC，D是的BC邊的中點，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AD是∠BAC的角平分線，又因DE⊥AC，DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證得DF=DE；（2）添加，再由，，根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形，可以證明四邊形AFDE為矩形，再由DF=DE，即可判定四邊形EDFA是正方形．
【詳解】連接AD，
∵，是的邊的中點，
∴AD是的角平分線，
∵，，
∴；
添加，
∵，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∵，
∴四邊形是正方形．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理及正方形的判定，熟知性質(zhì)及判定方法是解決本題的關(guān)鍵.
21. 關(guān)于x的一元二次方程
（1）當時，求這個方程的根；
（2）當k取何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程，根的判別式：
（1）將代入方程，因式分解法解方程即可；
（2）根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到，進行求解即可．
【小問1詳解】
解：當時，原方程化為：，
∴，
解得：；
【小問2詳解】
解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴，
解得：．
22. 如圖，是矩形的一條對角線，延長至點E，使得，延長至點F，使得，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求菱形的面積．
【答案】（1）見解析（2）4
【解析】
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)：
（1）根據(jù)對角線互相垂直且平分的四邊形為菱形，即可得證；
（2）根據(jù)菱形的面積公式進行計算即可．
【小問1詳解】
解：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四邊形是菱形；
小問2詳解】
∵矩形，，，
∴，
∴，
∴菱形的面積為．
23. 在2024年巴黎奧運會上，中國射擊隊員謝瑜以240.9環(huán)的優(yōu)異成績摘得男子10米氣手槍金牌，激勵著千千萬萬的青少年堅定理想、奮力拼搏．奧運冠軍謝瑜的家鄉(xiāng)在貴州省畢節(jié)市納雍縣，該縣盛產(chǎn)辣椒，當?shù)卣捎谩肮竞献魃甾r(nóng)戶”利益鏈接模式，讓群眾增收，為鄉(xiāng)村振興注入新動能．某村民2022年種植辣椒100畝，該村民逐年擴大規(guī)模，到2024年種植面積達到169畝．
（1）求該村民這兩年種植辣椒畝數(shù)的平均增長率．
（2）某村民經(jīng)營辣椒銷售店，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當辣椒售價為10元/千克時，每天能售出200千克，售價每降低1元，每天可多售出50千克，為了盡快減少庫存，該店決定降價促銷，已知辣椒的平均成本價為4元/千克，若使銷售辣椒每天獲利800元，則售價應(yīng)降低多少元？
【答案】（1）該村民這兩年種植辣椒畝數(shù)的平均增長率為
（2）售價應(yīng)降低4元
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵：
（1）設(shè)該村民這兩年種植辣椒畝數(shù)的平均增長率為，根據(jù)平均增長率的等量關(guān)系，列出方程進行求解即可；
（2）設(shè)售價應(yīng)降低元，根據(jù)總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出方程，進行求解即可．
【小問1詳解】
解：設(shè)該村民這兩年種植辣椒畝數(shù)的平均增長率為，由題意，得：
，
解得：（舍去），
答：該村民這兩年種植辣椒畝數(shù)的平均增長率為；
【小問2詳解】
設(shè)售價應(yīng)降低元，由題意，得：
，
解得：（舍去），
答：售價應(yīng)降低4元．
24. 我校即將開展秋季運動會，為了展示同學們的美術(shù)和科技作品，現(xiàn)用長42米的繩子，靠墻圍成如圖所示的矩形展覽區(qū)域，墻長為a米．（捆扎處繩子長度忽略不計）
（1）設(shè)邊的長為x米，則邊的長為________米，展覽區(qū)（矩形）的面積為________；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當時，所圍成的展覽區(qū)總面積為144平方米，求的長；
（3）能否圍成總面積為的展覽區(qū)？請說明理由．
【答案】（1）,
（2）
（3）不能圍成總面積為的展覽區(qū)
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程與幾何圖形的應(yīng)用、列代數(shù)式等知識點，正確理解題意找到等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形可表示出的長，再根據(jù)矩形面積公式表示出矩形面積即可；
（2）由圍成總面積為144平方米以及代入（1）所得的展覽區(qū)面積求出x的值，再檢驗，進而求得的長即可；
（3）根據(jù)圍成總面積為的展覽區(qū)列方程，判斷方程解的情況即可解答．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得：,即，
∴矩形的面積為．
故答案為：,．
【小問2詳解】
解：若，能圍成展覽區(qū)總面積144平方米,李依如下：
根據(jù)題意得：，解得或，
當時，，不符合題意；
當時，，符合題意．
∴的長為．
【小問3詳解】
解：不能圍成總面積為的展覽區(qū)，理由如下：
根據(jù)題意得：，整理得：，
∵，
∴方程無實數(shù)解，
∴不能圍成總面積為的展覽區(qū)．
25. 如圖，已知正方形，點E在的延長線上，以為一邊構(gòu)造正方形，連接和．
（1）【問題解決】
如圖1，求證：；
（2）【拓展探究】
如圖2，若正方形的邊長為3，點E是邊上的一個動點，連接，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接．
①若，求線段的長度．
②如圖3，當點E在射線上運動時，直接寫出的最小值．
【答案】（1）證明見解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由“”可證；
（2）①過點作，交延長線于點，，得出，，求出，根據(jù)勾股定理求出；②先證明點的運動軌跡是直線，直線與直線之間的距離為3，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，．在中，可得．根據(jù)求解即可．
【小問1詳解】
證明：四邊形是正方形，四邊形是正方形，
，，，
；
【小問2詳解】
解：①如圖，過點作，交延長線于點，

∵，
∴，
由正方形的性質(zhì)可得，，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如圖4中，過點過點作，交延長線于點，
同理可證明，
∴，

點的運動軌跡是直線，直線與直線之間的距離為3，
作點關(guān)于直線的對稱點，連接，．
在中，，，，
，
同理可證明，
∴，
，，
，
，
，
的最小值為．
x
…
0
1.1
1.2
1.3
1.4
…
…
－2
－0.68
－0.32
0.08
0.52
…

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