山東省德州市寧津縣育新中學(xué)（小學(xué)部）等校 2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．
2．請(qǐng)將選擇題答案用2B鉛筆填涂在答題卡指定題號(hào)里，將非選擇題的答案用0．5毫米黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無(wú)效．
3．考生必須保持答題卡的整潔，不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．
第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 地鐵是城市生活中的重要交通工具，地鐵標(biāo)志作為城市地鐵的形象和符號(hào)，是城市文化的縮影，下列城市地鐵的標(biāo)志圖案中（文字部分除外），既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和軸對(duì)稱圖形的定義，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷，即可判斷出答案．
【詳解】解：A、該圖形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
B、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
C、該圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；
D、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的概念，掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵，圖形繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能夠與原圖形完全重合則此圖形為中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．
2. 若點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在第四象限，則滿足（）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了點(diǎn)所在的象限的坐標(biāo)特征，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，先得到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，再根據(jù)第四象限的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征得到一元一次不等式組，解不等式組即可解答，熟練掌握關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫縱坐標(biāo)相反是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)在第四象限，
，
解得，
故選：C．
3. 一元二次方程的實(shí)數(shù)根的情況是（）
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 沒(méi)有實(shí)數(shù)根D. 無(wú)法判斷
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的情況之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵：當(dāng)時(shí)，一元二次方程（）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程（）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，一元二次方程（）沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
先計(jì)算判別式得到，然后根據(jù)判別式判斷方程根的情況即可．
【詳解】解：將一元二次方程化為一般形式，得：
，
，
一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
故選：．
4. 如圖，在中，將繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．若點(diǎn)恰好落在邊上，且，則的大小是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，由得，由旋轉(zhuǎn)得．
【詳解】解：∵將繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．
∴，旋轉(zhuǎn)角，
∴，
∵，
∴
∴．
故選：A
5. 某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值為175億元，若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量增長(zhǎng)前的量（增長(zhǎng)率），本題可先用x表示出二月份的產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個(gè)月的產(chǎn)值相加，即可列出方程．
【詳解】解：二月份的產(chǎn)值為：，
三月份的產(chǎn)值為：，
故第一季度總產(chǎn)值為：．
故選：D．
6. 已知，在同一平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】題干中二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，可以判斷出a的符號(hào)為負(fù)，一次函數(shù)的圖象與x軸正方向夾角小于90°，且與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸，可以據(jù)此判斷出b、c的符號(hào)皆為正，再去判斷各選項(xiàng)哪個(gè)符合二次函數(shù)的圖象．
【詳解】∵二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，
∴a0，c>0，
則>0，
可知二次函數(shù)開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，且與y軸交點(diǎn)在y的正半軸，選項(xiàng)B圖象符合，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，題目比較簡(jiǎn)單，解決題目需要熟練掌握?qǐng)D象與系數(shù)的關(guān)系．
7. 如圖，把圓形紙片放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，紙片的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知，則圓形紙片的半徑長(zhǎng)是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，過(guò)點(diǎn)作于，則，，設(shè)圓形紙片的半徑長(zhǎng)為，則，，由勾股定理得，解方程即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，則，，
設(shè)圓形紙片的半徑長(zhǎng)為，則，，
∵，
∴，
解得，
∴圓形紙片的半徑長(zhǎng)是，
故選：．
8. 以下命題：（1）等弧所對(duì)的弦相等；（2）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（3）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（4）圓的對(duì)稱軸是直徑；（5）三角形的外心到三角形三邊距離相等．其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（）
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要查了圓周角定理，圓的基本性質(zhì)等．根據(jù)圓周角定理，圓的基本性質(zhì)，三角形的內(nèi)心和外心，逐項(xiàng)判斷，即可求解．
【詳解】解：（1）等弧所對(duì)的弦相等，正確；
（2）同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
（3）不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
（4）圓的對(duì)稱軸是直徑所在的直線，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
（5）三角形的內(nèi)心到三角形三邊距離相等，故原說(shuō)法錯(cuò)誤．
所以正確的命題的個(gè)數(shù)是1．
故選：A
9. 我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽（公元世紀(jì)）在其所著的《勾股圓方圖注》中記載過(guò)一元二次方程（正根）的幾何解法，以方程即為例說(shuō)明，記載的方法是：構(gòu)造如圖，大正方形的面積是．同時(shí)它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即，因此．則在下面四個(gè)構(gòu)圖中，能正確說(shuō)明方程解法的構(gòu)圖是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用、完全平方公式的幾何背景等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)圖形直觀得到面積之間的關(guān)系并用代數(shù)式表示出來(lái)是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意，畫(huà)出方程，即的拼圖過(guò)程，由面積之間的關(guān)系即可解答．
【詳解】解：方程，即的拼圖如圖所示：
中間小正方形的邊長(zhǎng)，其面積為25，
大正方形的面積：，其邊長(zhǎng)為7，
因此，D選項(xiàng)所表示的圖形符合題意．
故選：D．
10. 已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值等于（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根的定義，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，由題意可得，，即得，再代入代數(shù)式計(jì)算即可求解，掌握一元二次方程根的定義及根和系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，
∴，
故選：．
11. 已知點(diǎn)，，均在拋物線上，下列說(shuō)法中正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)即可判定，解題的關(guān)鍵掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．
【詳解】解：由二次函數(shù)，則它的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，則圖象上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)則的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故選：．
12. 若拋物線（為常數(shù)）與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，，且，則的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由與有兩個(gè)交點(diǎn)，可知有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即，可得關(guān)于的不等式；再由，不等式左邊展開(kāi)，利用韋達(dá)定理可得關(guān)于的不等式，聯(lián)立不等式組即可．
【詳解】解：因?yàn)榕c有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即，解得：，
由整理得：
，
由韋達(dá)定理可知：，代入上式得，，解得：，
聯(lián)立解得：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題結(jié)合函數(shù)考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是理解圖像有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，從而得出含的不等式，利用韋達(dá)定理展開(kāi)已知含兩根的不等式得出含的不等式．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，共24分）
13. 若拋物線先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位得到一個(gè)新的拋物線，則新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，的圖象與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化——平移等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握“左減右加，上加下減”的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
先得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后按照“左減右加，上加下減”的平移規(guī)律求出其先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，于是得解．
【詳解】解：，
其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
故答案為：．
14. 如圖，點(diǎn)是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且，，，若將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度后得到，則的度數(shù)是________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．
首先證明為等邊三角形，得，由可得，在中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出得出，可求的度數(shù)，由此即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：連接，由題意可知
則，，，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
又∵，，，
∴，
∴，
∵為等邊三角形，
∴，
∴
∴，
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是勾股定理逆定理的應(yīng)用，屬于中考?？碱}型．
15. 已知二次函數(shù)的圖象和x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍____．
【答案】且
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求不等式的解集，掌握二次函數(shù)定義，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)二次函數(shù)的定義可得，根據(jù)圖象和x軸有交點(diǎn)，可得，再根據(jù)不等式求解集即可求解．
【詳解】解：∵是二次函數(shù)，
∴，
∵圖象和x軸有交點(diǎn)，
∴，
解得，，
故答案為：且．
16. 如圖，已知的直徑，點(diǎn)是弦上一點(diǎn)，連接，，，則弦的長(zhǎng)為_(kāi)___．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，等腰三角形判定和勾股定理，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．過(guò)作于，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，設(shè)，則根據(jù)垂徑定理得出，然后根據(jù)勾股定理求出即可．
【詳解】解：過(guò)作于，則，
，
，
，
設(shè)，
直徑，
，
，過(guò)圓心，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：或（不符合題意，舍去），
，
，
故答案為：．
17. 如圖，是半圓的直徑，為圓心，是半圓上的點(diǎn)，是上的點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可得，然后利用等式的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】解：如圖，連接，
是半圓的直徑，
，
，
，
，
故答案：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18. 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2的圖象如圖所示．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），過(guò)點(diǎn)A作AA1∥x軸交拋物線于點(diǎn)A1，過(guò)點(diǎn)A1作A1A2∥OA交拋物線于點(diǎn)A2，過(guò)點(diǎn)A2作A2A3∥x軸交拋物線于點(diǎn)A3，過(guò)點(diǎn)A3作A3A4∥OA交拋物線于點(diǎn)A4……，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為_(kāi)______．
【答案】(-1010,10102)
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點(diǎn)A1的坐標(biāo)，求得直線A1A2為y=x+2，聯(lián)立方程求得A2的坐標(biāo)，即可求得A3的坐標(biāo)，同理求得A4的坐標(biāo)，即可求得A5的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律，即可找出點(diǎn)A2019的坐標(biāo)．
【詳解】∵A點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
∴直線OA為y=x，A1（-1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直線A1A2為y=x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（-2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直線A3A4為y=x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（-3，9）
…，
∴A2019（-1010，10102），
故答案為（-1010，10102）．
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象以及交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
三、解答題：（本大題有7小題，共78分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程解法是解題的關(guān)鍵．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
，
即：，
或，
，；
【小問(wèn)2詳解】
解：，
整理，得：，
即：，
或，
，．
20. 新高考采用“”的模式，對(duì)生物學(xué)科提出了更高的要求．某學(xué)校生物組為培養(yǎng)同學(xué)們觀察、歸納的能力，組建了生物課外活動(dòng)小組．在一次野外實(shí)踐時(shí)，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一種水果黃瓜的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是21．
（1）這種水果黃瓜每個(gè)支干長(zhǎng)出多少小分支？
（2）學(xué)校打算建立一塊矩形的生物種植田來(lái)種植這種水果黃瓜，一面利用學(xué)校的墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為10米），其余部分需要用總長(zhǎng)為22米的柵欄圍成，且矩形中間需用柵欄隔開(kāi)，柵欄因?qū)嶒?yàn)需要，有兩個(gè)寬為1米的門（門無(wú)需柵欄，如圖所示）．設(shè)種植田的寬為米．若該種植田的面積為36平方米（柵欄的占地面積忽略不計(jì)），求該種植田的寬．
【答案】（1）4個(gè) （2）6米
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用：
（1）設(shè)這種水果黃瓜每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是x，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是21，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
（2）設(shè)種植田的寬為米，則長(zhǎng)為米，根據(jù)題意列一元二次方程組，解方程組，再根據(jù)對(duì)求出的根進(jìn)行取舍．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)這種水果黃瓜每個(gè)支干長(zhǎng)出x個(gè)小分支，
由題意得：，
解得，（舍），
即這種水果黃瓜每個(gè)支干長(zhǎng)出4個(gè)小分支；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)種植田的寬為米，則長(zhǎng)為米，
由題意得：，
整理得：，
解得，，
當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，符合題意；
綜上可知，該種植田的寬為6米．
21. 在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．

（1）將向右平移4個(gè)單位，畫(huà)出平移后的；
（2）以點(diǎn)為對(duì)稱中心，畫(huà)出與成中心對(duì)稱的，此時(shí)四邊形的形狀是________；
（3）在平面上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）平行四邊形；（3）存在，滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
【解析】
【分析】（1）直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；
（2）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定方法得出答案；
（3）直接利用平行四邊形的判定方法得出符合題意的答案．
【詳解】解：（1）如圖，即為所作．

（2）如圖，即為所作，四邊形是平行四邊形，故答案為平行四邊形．
（3）存在．滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為，，．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移變換、旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．
22. 如圖，是外一點(diǎn)，是的切線，是切點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)分別與、切線相交于、兩點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）為邊上的中線，若，，求的值．
【答案】（1）見(jiàn)解析；
（2）．
【解析】
【分析】本題考查切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
（1）要證明是的切線，只要證明即可，根據(jù)題意可以證明，從而可以解答本題；
（2）根據(jù)題意和勾股定理的知識(shí)，可以求得的值．
【小問(wèn)1詳解】
證明：連接，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵是的切線，是切點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
【小問(wèn)2詳解】
解：連接，設(shè)，則，
∵，，，
∴即，
解得，，
∴，，
設(shè)，則，
∵是圓的切線，
∴，
∴，，
解得，x=6，
∴，
∵為邊上的中線，
∴，
∴．
23. 某數(shù)學(xué)興趣小組在暑假開(kāi)展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，銷售某品牌書(shū)包，平均每天可以銷售20個(gè)，每個(gè)盈利12元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該小組決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每個(gè)書(shū)包每降價(jià)1元，平均每天可以多賣5個(gè)．
（1）若該興趣小組同學(xué)想要一天盈利300元，每個(gè)書(shū)包應(yīng)降價(jià)多少元；
（2）該興趣小組同學(xué)想要一天盈利最大，應(yīng)降價(jià)多少元，所得最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】（1）元或元
（2）元，元
【解析】
【分析】（1）設(shè)每個(gè)書(shū)包應(yīng)降價(jià)元，則每個(gè)書(shū)包盈利元，平均每天可售出個(gè)，根據(jù)“數(shù)學(xué)興趣小組每天銷售該品牌書(shū)包獲得的總利潤(rùn)每個(gè)書(shū)包的銷售利潤(rùn)每天的銷售量”，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）設(shè)每個(gè)書(shū)包降價(jià)元，則每個(gè)書(shū)包盈利元，平均每天可售出個(gè)，設(shè)每天盈利為元，根據(jù)“數(shù)學(xué)興趣小組每天銷售該品牌書(shū)包獲得的總利潤(rùn)每個(gè)書(shū)包的銷售利潤(rùn)每天的銷售量”，即可得出關(guān)于的二次函數(shù)，求該二次函數(shù)的最值，即可得出結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)每個(gè)書(shū)包應(yīng)降價(jià)元，則每個(gè)書(shū)包盈利元，平均每天可售出個(gè)，
依題意可得：，
整理，得：，
解得：，，
每個(gè)書(shū)包應(yīng)降價(jià)元或元；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)每個(gè)書(shū)包降價(jià)元，則每個(gè)書(shū)包盈利元，平均每天可售出個(gè)，設(shè)每天盈利為元，
依題意可得：，
整理，得：，
，
拋物線開(kāi)口向下，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
答：該興趣小組同學(xué)想要一天盈利最大，應(yīng)降價(jià)元，所得最大利潤(rùn)是元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用（營(yíng)銷問(wèn)題），因式分解法解一元二次方程，實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)（銷售問(wèn)題），把化成頂點(diǎn)式，二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)“數(shù)學(xué)興趣小組每天銷售該品牌書(shū)包獲得的總利潤(rùn)每個(gè)書(shū)包的銷售利潤(rùn)每天的銷售量”正確列出一元二次方程或二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
24. 如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)H是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，直接寫(xiě)出周長(zhǎng)的最小值為；
（3）若點(diǎn)G是第四象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)；
【答案】（1）；
（2）；
（3）面積的最大值為，此時(shí)
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式即可；
（2）將拋物線解析式變形為頂點(diǎn)式，然后確定出拋物線的對(duì)稱軸，連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，此時(shí)取得最小值，再由勾股定理求解即可；
（3）設(shè)，，過(guò)點(diǎn)G作軸，交于點(diǎn)F，設(shè)直線BC的解析式為，利用待定系數(shù)法得出，確定，，結(jié)合圖形得出三角形面積的二次函數(shù)，由函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
【小問(wèn)2詳解】
，
∴拋物線的對(duì)稱軸為，
當(dāng)x=0時(shí)，，
如圖所示：連接交對(duì)稱軸于點(diǎn)H，
∵、兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
∴，
∴，此時(shí)取得最小值，
∵，
在中，
，
在中，
，
∴周長(zhǎng)的最小值為：，
故答案為：；
【小問(wèn)3詳解】
如圖2所示：設(shè)，
過(guò)點(diǎn)G作軸，交于點(diǎn)F，
設(shè)直線BC的解析式為，
∵，
∴，
解得：，
直線的解析式為：，
∴，
∴，
∴
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，面積的最大值為，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，最短周長(zhǎng)及最大面積問(wèn)題，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
25. 如圖1，在和中，，，且，則可證明得到．
（1）【初步探究】如圖2，為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到，連．請(qǐng)寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
（2）【深入探究】如圖3，在（1）的條件下，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，若，求的長(zhǎng)；
（3）【拓展探究】如圖4，在中，，以為直角邊，為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角，連接，若，，則長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】（1），理由見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）證明即可；
（2）連接，，結(jié)合（1）結(jié)論，先證明是等邊三角形，再證明垂直平分，，即可得，在中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，即有，在中，根據(jù)，，可得，在中，利用勾股定理可得，即有；
（3）在的上方作等腰直角，使得，，連接，利用勾股定理得到，，即有，進(jìn)而有，再證明，即可解答．
【小問(wèn)1詳解】
，理由如下：
證明：∵為等邊三角形，
∴，，
∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
如圖，連接，，
由（1）得，，
∵，，
∴是等邊三角形，
又∵，
∴垂直平分，，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
在的上方作等腰直角，使得，，連接，如圖：
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴
故答案為：．

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