考點(diǎn)一 用勾股定理解三角形 考點(diǎn)二 以直角三角形三邊為邊的圖形面積
考點(diǎn)三 勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題 考點(diǎn)四 勾股定理與折疊問(wèn)題
考點(diǎn)五 判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形 考點(diǎn)六 在網(wǎng)格中判斷直角三角形
考點(diǎn)七 圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn) 考點(diǎn)八 利用勾股定理逆定理求解
考點(diǎn)九 勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題
典型例題

考點(diǎn)一 用勾股定理解三角形
例題：（2022·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)期末）在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，則AC的長(zhǎng)應(yīng)是（ ）
A．5B．C．5或D．5或
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意分為直角邊和斜邊兩種情況討論，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】
解：， AB＝3，BC＝4，
①為直角邊時(shí)，，
②為斜邊時(shí)，，
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·福建省福州屏東中學(xué)八年級(jí)期中）已知一個(gè)直角三角形的兩邊分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)可以是__________．（寫出一個(gè)即可）
【答案】（或5）
【解析】
【分析】
根據(jù)題意分情況討論，進(jìn)而即可求解．
【詳解】
解：一個(gè)直角三角形的兩邊分別為3和4，
①當(dāng)4為直角邊長(zhǎng)，則第三邊為斜邊，第三邊的長(zhǎng)為．
②當(dāng)4為斜邊長(zhǎng)，則第三邊為直角邊，第三邊的長(zhǎng)為．
故答案為：（或5）．
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理，分類討論是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC＝10，CD＝8，BC＝3AD．求BC的長(zhǎng)．
【答案】18
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出，再結(jié)合BC＝3AD即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵CD是△ABC中AB邊上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AC＝10，CD＝8，由勾股定理得：AD＝＝6，
∴BC＝3AD＝18，
∴BC的長(zhǎng)為18．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
考點(diǎn)二 以直角三角形三邊為邊的圖形面積
例題：（2022·天津二中八年級(jí)期中）如圖所示，三個(gè)大小不一的正方形拼合在一起，其中兩個(gè)正方形的面積為144，225，那么正方形A的面積是（ ）
A．225B．144C．81D．無(wú)法確定
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意得出?EFG為直角三角形，然后利用勾股定理即可得出結(jié)果．
【詳解】
解：如圖所示，?EFG為直角三角形，
∴，
∴正方形A的面積為81，
故選：C．
【點(diǎn)睛】
題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣東陽(yáng)江·八年級(jí)期中）如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間的關(guān)系是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由勾股定理求出三邊之間的關(guān)系，根據(jù)圓的面積公式求出三個(gè)半圓的面積，即可得出答案．
【詳解】
解：如圖，
由勾股定理得：，
，
，
同理，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是勾股定理及圓的面積公式，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，所有四邊形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5，則正方形D的面積為_(kāi)_____．
【答案】15
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：由勾股定理得，正方形D的面積=正方形A的面積+正方形B的面積+正方形C面積=2+8+5=15，
故答案為：15．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)三 勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題
例題：（2022·福建福州·八年級(jí)期末）在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A、B、C、D、E在格點(diǎn)上，長(zhǎng)度是的線段是（ ）
A．ABB．ACC．ADD．AE
【答案】B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求得各線段的長(zhǎng)，即可求解．
【詳解】
解：AB=，
AC=，
AD=，
AE=，
綜上，只有B選項(xiàng)符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．點(diǎn)A、B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：由勾股定理得：AC=，
∵S△ABC=3×4-×1×2-×3×2-×2×4=4，
∴AC?BD=4，
∴×2BD=4，
∴BD=，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·遼寧鞍山·八年級(jí)期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．求出四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積．
【答案】周長(zhǎng)為；面積為26
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理分別求出AB，BC，CD，AD的長(zhǎng)即可得到四邊形ABCD的周長(zhǎng)；根據(jù)四邊形ABCD的面積等于其所在的長(zhǎng)方形面積減去周圍四個(gè)三角形面積求解即可．
【詳解】
解：根據(jù)勾股定理得，，， ，
故四邊形ABCD的周長(zhǎng)：；
四邊形ABCD的面積：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題，熟知勾股定理是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)四 勾股定理與折疊問(wèn)題
例題：（2022·湖北咸寧·八年級(jí)期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6 cm、BC＝8 cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為（ ）
A．4 cmB．4.75 cmC．6 cmD．5cm
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，由AB的長(zhǎng)度可求出BE的長(zhǎng)度．
【詳解】
解：∵AC＝6 cm、BC＝8 cm，
在△ABC中，由勾股定理可知：=10，
∵將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，
故E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE=5，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查勾股定理的應(yīng)用，折疊變換，能夠熟練應(yīng)用勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖，在中，．將折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上，與點(diǎn)重合，為折痕，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_________．
【答案】6
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求出AC=5，根據(jù)折疊得到B’C=2，求出三角形的周長(zhǎng)．
【詳解】
解：Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ,
由折疊知AB’=AB=3，
∴B’C=AC-AB’=5-3=2，
∴△B’EC的周長(zhǎng)為B’C+EC+B’E=B’C+EC+BE=B’C+CB=2+4=6，
故答案為6．
【點(diǎn)睛】
本題考查折疊的性質(zhì)以及勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分清折疊前后的對(duì)應(yīng)的關(guān)系．
2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在線段DE上的點(diǎn)F處，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．
【詳解】
解：設(shè)，則，
由折疊的性質(zhì)可知，，，．
在中，，
．
在中，，即，
解得．
的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)五 判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形
例題：（2022·廣西柳州·八年級(jí)期中）以下列各組數(shù)為三邊長(zhǎng)，其中能構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，6D．5，6，7
【答案】B
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那這個(gè)三角形就是直角三角形，逐一判斷即可．
【詳解】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；
B、，能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)符合題意；
C、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；
D、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，已知三邊的長(zhǎng)，只需要利用逆定理判斷即可．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）若的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則是____________．
【答案】等腰直角三角形
【分析】根據(jù)平方的結(jié)果是非負(fù)數(shù)、絕對(duì)值的結(jié)果為非負(fù)數(shù)，再根據(jù)勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定進(jìn)行判定即可．
【詳解】解：∵
又∵、
∴、
∴、
∴是等腰直角三角形
故答案為：等腰直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，解答此題的關(guān)鍵是得出、．
2．（2022·廣東·東莞市松山湖莞美學(xué)校八年級(jí)期中）已知△ABC的三邊a，b，c滿足（a﹣5）2+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，則△ABC是 _____三角形．
【答案】直角
【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b、c的值，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．
【詳解】∵(a-5)2+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案為：直角．
【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及勾股定理逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，在一個(gè)三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
考點(diǎn)六 在網(wǎng)格中判斷直角三角形
例題：（2022·湖北·谷城縣教學(xué)研究室八年級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上（即小正方形的項(xiàng)點(diǎn)上），則圖中的度數(shù)為_(kāi)__________．
【答案】90°##90度
【分析】先利用勾股定理求出AB2，BC2，AC2，再利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，即可解答．
【詳解】解：由題意得：AB2=22+42=20，
CB2=22+12=5，
AC2=32+42=25，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC=90°，
故答案為：90°．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·吉林松原·八年級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，A，B，C是小正方形的頂點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為_(kāi)__．
【答案】45°
【分析】根據(jù)勾股定理得到AB，BC，AC的長(zhǎng)度，再判斷△ABC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接AC．
由題意，AC＝ ，BC＝，AB＝，
∴AC＝BC，AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°．
故答案為：45°．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，判斷出△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022·青海西寧·八年級(jí)期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，．
(1)__________；
(2)判斷△的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)直角三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)勾股定理，已知直角三角形的兩條直角邊可以求出斜邊長(zhǎng)．
(2)根據(jù)勾股定理的逆定理可判定△是直角三角形．
（1）由圖知∴故答案為
（2）△是直角三角形， 理由如下 ： ，，∴，又∵∴∴△是直角三角形（如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和它的逆定理.根據(jù) 勾股定理，已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)可以求出第三條邊長(zhǎng)．而勾股定理的逆定理的作用是：已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，判定這個(gè)三角形是否為直角三角形，注意運(yùn)用時(shí)不要弄混淆．
考點(diǎn)七 圖形上與已知兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的點(diǎn)
例題：（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）同一平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，，兩點(diǎn)之間的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，且為直角三角形，則滿足上述條件的點(diǎn)有______個(gè)．
【答案】8
【分析】該題存在兩種情況；（1）AB為斜邊，則；（2）AB為直角邊，或；
【詳解】（1）當(dāng)AB為斜邊時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為，即AB邊上的高為，符合要求的C點(diǎn)有4個(gè)，如圖：
（2）當(dāng)AB為直角邊時(shí)，或，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，如圖；
符合要求的C點(diǎn)有8個(gè)；
故答案是8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，點(diǎn)A是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間，當(dāng)_________s時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)_________s時(shí)，是直角三角形．
【答案】 或5 4或10
【分析】根據(jù)是等腰三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：點(diǎn)在上，或點(diǎn)在上；根據(jù)是直角三角形，分兩種情況進(jìn)行討論：，或，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，
，，
當(dāng)時(shí)，，
解得；
如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，
，，
當(dāng)時(shí)，，
解得；
如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，且，
，，
當(dāng)時(shí)，，
解得；
如圖，當(dāng)時(shí)，是直角三角形，且，
，，
當(dāng)時(shí)，，
解得：t=10．
故答案為：或5；4或10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，分類時(shí)注意不能遺漏，也不能重復(fù)．
2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以3cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
(1)求BC邊的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值；
(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．
【答案】(1)3cm
(2)t=1或
(3)t=或2或
【分析】（1）根據(jù)題意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可；
（2）由題意可知，分兩種情況：①；②，代值求解即可；
（3）由題意可知，分三種情況：①；②；③，分別結(jié)算求解即可．
(1)
解：∵在△ABC中，，，，
∴BC=；
(2)
解：由題意可知，分兩種情況：①；②，
設(shè)BP=3tcm，∠B≠90°：
①當(dāng)∠APB=90°時(shí)，易知點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∴BP = BC，即3t=3，
∴；
②當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，如下圖所示：
∴CP=BP－BC=（3t－3）cm，
∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=，
綜上所述：當(dāng)為直角三角形時(shí)，t=1或；
(3)
解：由題意可知，分三種情況：①；②；③，
①當(dāng)時(shí)，如圖所示：
；
②當(dāng)時(shí)，如圖所示：
根據(jù)等腰三角形“三線合一”可知，是邊上的中線，
，
；
③當(dāng)時(shí)，如圖所示：
設(shè)，則，
在中，，，，，則由勾股定理可得，即，解得，
，
，
綜上所述：t=或2或．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到勾股定理求線段長(zhǎng)、三角形為直角三角形的討論和三角形為等腰三角形的討論等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及分類情況是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)八 利用勾股定理逆定理求解
例題：（2022·河北衡水·八年級(jí)期中）如圖，已知在中，，．
（1）的度數(shù)為_(kāi)____；
（2）若是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為_(kāi)____．
【答案】 ##90度 ##60度
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可證得為等邊三角形，從而得到的度數(shù)．
【詳解】（1）∵在中，，，
∴，，
∴，
∴為直角三角形，且．
故答案為：．
（2）∵在中，是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∴為等邊三角形，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，能夠根據(jù)勾股定理的逆定理判定出直角三角形是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·福建福州·八年級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 8，AD = ，∠ACD = 90°，求∠B的度數(shù)．
【答案】∠B=90°
【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀，進(jìn)而得到∠B的度數(shù)．
【詳解】解：∵∠ACD=90°，CD=8，AD=，
∴AC==5，
在△ABC中，∵AB2+BC2=32+42=25=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠B=90°．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及其逆定理，能根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB 上一點(diǎn)，BD＝9，CD＝12
(1)求證：CD⊥AB；
(2)求AC的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
（1）∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，∴，∴，∴CD⊥AB．
（2）∵AB＝AC，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)九 勾股定理逆定理解決實(shí)際問(wèn)題
例題：（2022·湖南張家界·八年級(jí)期中）已知某開(kāi)發(fā)區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要300元，求一共需要投入多少元．
【答案】10800元
【分析】仔細(xì)分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果．連接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的長(zhǎng)，由BD、CD、BC的長(zhǎng)度關(guān)系可得△DBC為一直角三角形，DC為斜邊；由此看，四邊形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC構(gòu)成，則容易求解．
【詳解】解：連接BD，
在Rt△ABD中，，
在△CBD中，，
而，
即，
∴∠DBC＝90°，
．
所以需費(fèi)用（元）．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，在一個(gè)三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川廣安·八年級(jí)期末）城市綠化是城市重要的基礎(chǔ)設(shè)施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質(zhì)量的公益事業(yè)．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖為該空地的示意圖，已知，，，，．現(xiàn)計(jì)劃在空地上種草，若每平方米草地造價(jià)30元，在這塊空地上全部種草的費(fèi)用是多少元？
【答案】1080元
【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，連接AC．
∵∠B=90°，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52，
在△ACD中，CD2=132，AD2=122，
∵52+122=132，
∴AC2+AD2=CD2，
∴∠DAC=90°，
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=36（平方米），
36×30=1080（元），
答：這塊地全部種草的費(fèi)用是1080元．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟練掌握定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵．
2．（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）“村村通”公路是我國(guó)的一項(xiàng)重要的民生工程，如圖，A，B，C三個(gè)村都分別修建了一條互通公路，其中AB=BC，現(xiàn)要在公路BC邊修建一個(gè)景點(diǎn)M（B，C，M在同一條直線上），為方便A村村民到達(dá)景點(diǎn)M，又修建了一條公路AM，測(cè)得AC=13千米，CM=5千米，AM=12千米.
(1)判斷△ACM的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)求公路AB的長(zhǎng).
【答案】(1)△ACM是直角三角形，見(jiàn)解析
(2)原來(lái)的路線AB的長(zhǎng)為16.9千米．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可．
（1）解：（1）△ACM是直角三角形， 理由是：在△ACM中，∵AM2+CM2=122+52=169，AC2=169， ∴AM2+CM2=AC2，∴△ACM是直角三角形且∠AMC=90°；
（2）設(shè)BC=AB=x千米，則BM=BC-CM=（x-5）千米，在Rt△AMB中，由已知得AB=x，BM=x-5，AM=12，由勾股定理得：AB2=BM2+AM2，∴x2=（x-5）2+122， 解這個(gè)方程，得x=16.9，答：原來(lái)的路線AB的長(zhǎng)為16.9千米．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及它的逆定理，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)定理的內(nèi)容．
3．（2022·山東聊城·八年級(jí)期末）聊城市在創(chuàng)建“全國(guó)文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測(cè)量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費(fèi)用為150元，試計(jì)算綠化這片空地共需花費(fèi)多少元？
【答案】綠化這片空地共需花費(fèi)17100元
【分析】連接AC，直接利用勾股定理得出AC，進(jìn)而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面積求法得出答案．
【詳解】解：連接AC，如圖
∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，
∴AC＝＝15（m），
∵CD＝17m，AD＝8m，
∴AD2＋AC2＝DC2，
∴∠DAC＝90°，
∴S△DAC＝×AD?AC＝×8×15＝60（m2），
S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54（m2），
∴S四邊形ABCD＝60＋54＝114（m2），
∴150×114＝17100（元），
答：綠化這片空地共需花費(fèi)17100元．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理以及勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2022·黑龍江·林口縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)期末）滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2B．BC∶AC∶AB＝5∶12∶14
C．BC＝1，AC＝2，AB＝D．BC＝3，AC＝4，AB＝5
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，即可判斷A；先求出兩小邊的平方和，再求出最長(zhǎng)邊的平方，看看是否相等，即可判斷選項(xiàng)C、選項(xiàng)D，設(shè)BC＝5k，AC＝12k，AB＝14k， AB2，可判斷選項(xiàng)B．
【詳解】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、BC：AC：AB＝5：12：14，
設(shè)BC＝5k，AC＝12k，AB＝14k，
∴，
∴△ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
C．∵BC＝1，AC＝2，AB＝，
∴，
∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，
∴
∴△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一個(gè)內(nèi)角為直角；或勾股定理的逆定理．
2．（2022·寧夏·吳忠市第三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，P是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則∠PAB+∠PBA=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【分析】延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，根據(jù)勾股定理得，，求得，于是得到∠PDB=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AP交格點(diǎn)于D，連接BD，
則，，
∴，
∴∠PDB=90°，則△DPB為等腰直角三角形，
∴∠DPB=45°，
∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·西藏昂仁縣中學(xué)八年級(jí)期中）已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是3和5，那么這個(gè)三角形的第三條邊的長(zhǎng)為（ ）
A．4B．16C．D．4或
【答案】D
【分析】此題要分兩種情況：當(dāng)3和5都是直角邊時(shí)；當(dāng)5是斜邊長(zhǎng)時(shí)；分別利用勾股定理計(jì)算出第三邊長(zhǎng)即可．
【詳解】解：當(dāng)3和5都是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：；
當(dāng)5是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用勾股定理，當(dāng)已知條件中沒(méi)有明確哪是斜邊時(shí)，要注意討論，一些學(xué)生往往忽略這一點(diǎn)，造成丟解．
4．（2022·廣東·廣州市五中附屬初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）若、、滿足，則、、為邊的三角形面積是（ ）
A．B．C．D．以上答案均不對(duì)
【答案】C
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得的值，根據(jù)勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角，根據(jù)直角三角形的面積公式即可求解．
【詳解】，
，，，
解得，，，
，
以、、為邊的三角形為直角三角形，且為直角邊，
、、為邊的三角形面積為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性，；平方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理，求得的值是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·黑龍江·綏棱縣克音河鄉(xiāng)學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，∠ACB=90°，分別以AB，BC，AC為直徑作三個(gè)半圓，則陰影部分的面積等于（ ）cm2
A．18B．24C．36D．48
【答案】B
【分析】陰影部分面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個(gè)半圓加上一個(gè)直角三角形ABC的面積減去一個(gè)以AB為直徑的半圓的面積．
【詳解】解：S陰影=直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC-直徑為AB的半圓的面積
=
=
=
=
= cm2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了不規(guī)則圖形面積的計(jì)算公式和勾股定理的應(yīng)用，陰影部分可以看作是幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差，學(xué)會(huì)把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022·西藏昂仁縣中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線BD＝5，BC＝4，則△ABD的周長(zhǎng)＝______．
【答案】12
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)求出AB，利用勾股定理求出CD，從而得到結(jié)果．
【詳解】解：在長(zhǎng)方形ABCD中，∠C=90°，AB=CD，AD=BC=4，
∴CD===3，
∴AB=3，
∴△ABD的周長(zhǎng)為：AB+AD+BD=3+4+5=12，
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)．
7．（2022·河南·靈寶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方形的一邊在數(shù)軸上，寬為1，，則數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為_(kāi)_____．
【答案】##
【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出線段BC的長(zhǎng)度，然后根據(jù)AB=CB即可求出BC的長(zhǎng)度，接著可以求出數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)．
【詳解】解：∵BC=，
則AB=BC=，
∵A在原點(diǎn)右側(cè)．
則點(diǎn)A所表示的數(shù)是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，首先正確根據(jù)數(shù)在數(shù)軸上的位置判斷數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行判斷．
8．（2022·新疆塔城·八年級(jí)期末）如圖，園丁住宅小區(qū)有一塊草坪如圖所示．已知米，米，米，米，且，這塊草坪的面積是_______．
【答案】##36平方米
【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理，求得AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷 是直角三角形．這塊草坪的面積等于兩個(gè)直角三角形的面積之和
【詳解】解：連接AC，如圖，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
∵AB=3米，BC=4米，
∴AC==5米．
∵CD=12米，DA=13米，
∴，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD為直角三角形，
∴草坪的面積等于．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
9．（2022·寧夏·吳忠市第三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖有兩棵樹(shù)，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹(shù)相距8m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行________m．
【答案】10
【分析】由題意可構(gòu)建直角三角形求出AC的長(zhǎng)，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于點(diǎn)E，則四邊形EBDC是矩形．BE=CD，AE長(zhǎng)度可求，CE=BD,在Rt△AEC中,可根據(jù)勾股定理求出AC長(zhǎng)．
【詳解】
如圖，設(shè)大樹(shù)高為AB=10m，小樹(shù)高為CD=4m，
過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB于點(diǎn)E，則四邊形EBDC是矩形．
EB=CD=4m，EC=8m．
AE=AB－EB=10－4=6m．連接AC，
在Rt△AEC中，根據(jù)勾股定理得：
m，
故答案為10
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，建立適當(dāng)數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解．
10．（2021·河南·鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）動(dòng)手操作：如圖，在中，，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，將沿直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】3或5##5或3
【分析】分，兩種情況討論，由勾股定理和折疊的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，
將沿直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，
，，
，，
，，
，
，
在中，．
，
，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，
，
，
，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題與勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·重慶·八年級(jí)期中）有一旅游景點(diǎn)在一條筆直河流的一側(cè)，河邊有兩個(gè)碼頭，并且，由于某種原因，由到的路已經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊點(diǎn)新建一個(gè)碼頭點(diǎn)，，在同一直線上，并新修一條筆直的公路，測(cè)得千米，千米，千米．
(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)求原路線的長(zhǎng)．
【答案】(1)是直角三角形，理由見(jiàn)解析
(2)原來(lái)的路線的長(zhǎng)為千米
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；
（2）設(shè)千米，則千米，在中根據(jù)勾股定理解答即可．
（1）
是直角三角形，
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形且；
（2）
設(shè)千米，則千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
．
解得，
答：原來(lái)的路線的長(zhǎng)為千米．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理和定理．
12．（2020·四川涼山·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC，
(1)求證：；
(2)求四邊形ABCD的面積．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)四邊形ABCD的面積為1+．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AC，求出，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，即；
（2）根據(jù)圖形得出四邊形ABCD的面積，再求出答案即可．
（1）
證明：∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵AB=1，BC=2，
∴AC=，
∵CD=2，AD=3，
∴，，
∴，
∴△ACD是直角三角形，
∴；
（2）
解：四邊形ABCD的面積
=×AB×BC+×AC×DC
=×1×2+××2
=1+，
故答案為：1+．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
13．（2021·江西·崇仁縣第二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在△ABC與△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AB，AB＝DE．
(1)求證：BC＝DB；
(2)若BD＝6cm，求AB的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)3cm
【分析】（1）由，可得，由直角三角形兩銳角互余，可得，由，由直角三角形兩銳角互余可得，根據(jù)同角的余角相等可得，然后根據(jù)AAS判斷，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到；
（2）求出cm，由勾股定理可求出答案；
（1）
證明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（AAS），
∴；
（2）
解：∵，
∴，
∵E是BC的中點(diǎn)， cm，
∴cm．
∴cm，
∴（cm）．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和勾股定理，解題關(guān)鍵是證明三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等，靈活應(yīng)用相關(guān)定理是必備能力．
14．（2021·甘肅·北京師范大學(xué)慶陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長(zhǎng)為1，
(1)求△ABC周長(zhǎng)．
(2)證明△ABC是直角三角形．
(3)求△ABC面積．
【答案】(1)△ABC周長(zhǎng)為；
(2)見(jiàn)解析
(3)△ABC面積為13．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理分別求出AB、BC、AC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)的定義即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形ABC的形狀；
（2）根據(jù)三角形面積公式求解即可．
（1）
解：由勾股定理可得，AC；
BC=；
AB=；
故△ABC的周長(zhǎng)是；
（2）
證明：∵，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
（3）
解：∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC面積==13．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的周長(zhǎng)和面積，充分利用網(wǎng)格是解題的關(guān)鍵．
15．（2020·浙江寧波·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
(1)出發(fā)2秒后，求△ABP的周長(zhǎng)．
(2)當(dāng)P在AB邊上時(shí)（不與A點(diǎn)重合），且△BCP為直角三角形，求t的值．
(3)問(wèn)t滿足什么條件時(shí)，△BCP為等腰三角形？
【答案】(1)
(2)7.2
(3)t的值為3或5.4或6或6.5
【分析】（1）根據(jù)題意可知．根據(jù)勾股定理可求出AC=4cm，從而求出AP= 2cm，進(jìn)而利用勾股定理求出的長(zhǎng)，最后由三角形周長(zhǎng)公式求解即可；
（2）由題意可知只有當(dāng)時(shí)符合題意，由等面積法可求出，再利用勾股定理可求出AP的長(zhǎng)，從而求出t的值；
（3）分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，且時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在AB上，且時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在AB上，且時(shí)和④當(dāng)點(diǎn)P在AB上，且時(shí)，分別計(jì)算出的長(zhǎng)，即可求出t的值．
（1）
根據(jù)題意可知出發(fā)2秒后，點(diǎn)P在AC上，且，如圖．
∵∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，
∴AP=AC-CP=2cm，，
∴；
（2）
∵點(diǎn)P在AB邊上，且不與A點(diǎn)重合，
∴只有當(dāng)時(shí)符合題意，如圖．
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）
分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，且時(shí)，如圖，
∴此時(shí)，
∴；
②當(dāng)點(diǎn)P在AB上，且時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作，
由（2）可知，
∴．
∵，
∴，
∴
∴；
③當(dāng)點(diǎn)P在AB上，且時(shí)，如圖，
∴，
∴，
∴；
④當(dāng)點(diǎn)P在AB上，且時(shí)，如圖．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
綜上可知當(dāng)t的值為3或5.4或6或6.5時(shí)，△BCP為等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)．理解題意，正確作出圖形，并利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．

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