浙教版數(shù)學八上期末專題訓練專題21 用一次函數(shù)解決實際問題壓軸題五種模型全攻略（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

考點一用一次函數(shù)解決分配方案問題考點二用一次函數(shù)解決最大利潤問題
考點三用一次函數(shù)解決行程問題考點四用一次函數(shù)解決幾何問題
考點五用一次函數(shù)解決其他問題
典型例題

考點一用一次函數(shù)解決分配方案問題
例題：（2022·全國·八年級單元測試）旅游團一行60人到一旅館住宿，旅游館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人每天20元，二人間的每人每天30元，單人間的每天50元，如果旅游團共住滿了30間客房，問三種客房各住幾間，共幾種安排方案？怎樣安排住宿消費最低，最低消費是多少？
【答案】共16種安排方案，安排住三人間15間、單人間15間時消費最低，最低消費是1650元
【分析】設安排住三人間間，二人間間，則住單人間間，根據(jù)該旅游團共60人，即可得出關于，的二元一次方程，解之可得出，結合，均為正整數(shù)，即可得出方案的個數(shù)，設住宿費用為元，利用總費用每人的費用居住人數(shù)房間數(shù)，即可得出關于的函數(shù)關系式，再利用一次函數(shù)的性質，即可解決最值問題．
【詳解】解：設安排住三人間間，二人間間，則住單人間間，
依題意得：，
．
，均為非負整數(shù)，
∴30-2x≥0，
∴x≤15，
為非負整數(shù)），
共16種安排方案．
設住宿費用為元，則，
，
隨的增大而減小，
當時，（元）．
答：共16種安排方案，安排住三人間15間、單人間15間時消費最低，最低消費是1650元．
【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，以及一次函數(shù)的應用，熟練掌握一次函數(shù)的性質是解答本題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·貴州銅仁·八年級階段練習）某城市對用戶的自來水收費表示實行階梯水價，收費標準用如表所示：
問：
(1)用表示總的自來水費，用表示月用水量，請與的函數(shù)關系式并寫出的取值范圍？
(2)某用戶10月份繳水費51元，則該用戶10月份的用水量是多少？
【答案】(1)
(2)22噸
【分析】（1）根據(jù)表格所給的收費標準，分為，，三段函數(shù)進行計算即可；
（2）先判斷水費51元符合哪一段函數(shù)，然后代入計算，即可得到答案．
（1）
解：根據(jù)題意，則
當時，；
當時，；
當時，；
綜合上述，則
；
（2）
解：當時，水費為：，
∵，
∴10月份用水量超過18噸，
當時，則，
解得：，
∴10月份的用水量為22噸；
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，分段函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)等量關系，正確的求出函數(shù)的解析式．
2．（2021·黑龍江鶴崗·七年級期末）哈爾濱至名山風景區(qū)的高鐵工程已經(jīng)進入施工階段，現(xiàn)要把248噸物資從伊春運往綏化和鶴崗兩地，用大、小兩種貨車共20輛恰好能一次性運完這批貨物，已知大、小兩種貨車的載重量分別是每輛16噸和10噸，運往綏化和鶴崗的運費如表：
(1)兩種貨車各有多少輛？
(2)若安排9量貨車前往綏化，其余貨車前往鶴崗，設前往綏化的大貨車為a輛，且運往綏化的物資不少于120噸，那么一共有多少種運送方案？其中那種方案運費最省錢？
【答案】(1)大貨車用8輛，小貨車用12輛．
(2)共有4種方案，使總運費最少的調(diào)配方案是：5輛大貨車、4輛小貨車前往綏化地；3輛大貨車、8輛小貨車前往鶴崗地．
【分析】（1）根據(jù)大、小兩種貨車共20輛，以及兩種車所運的貨物的和是248噸，據(jù)此即可列方程或方程組即可求解；
（2）首先表示出每種車中，每條路線中的費用，總運費為w元就是各個費用的和，據(jù)此即可寫出函數(shù)關系式，再根據(jù)運往綏化地的物資不少于120噸，即可列出不等式求得a的范圍，再根據(jù)a是整數(shù)，即可確定a的值，根據(jù)函數(shù)關系式，即可確定費用最少的運輸方案．
（1）
設大貨車用x輛，則小貨車用（20-x）輛，根據(jù)題意得
16x+10（20-x）=248，
解得x=8，
20-x=20-8=12．
答：大貨車用8輛，小貨車用12輛．
（2）
設運往綏化地的大貨車是a,那么運往鶴崗地的大貨車就應該是（8-a），運往綏化地的小貨車是（9-a），運往鶴崗地的小貨車是（3+a），
w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]
=70a+10850，
則w=70a+10850（0≤a≤8且為整數(shù)）；
根據(jù)題意得：16a+10（9-a）≥120，
解得a≥5，
又∵0≤a≤8，
∴5≤a≤8 且為整數(shù)．
∴a=5，6，7，8，共有4種方案，
∵w=70a+10850，
k=70＞0，w隨a的增大而增大，
∴當a=5時，W最?。?br>答：共有4種方案，使總運費最少的調(diào)配方案是：5輛大貨車、4輛小貨車前往綏化地；3輛大貨車、8輛小貨車前往鶴崗地．
【點睛】主要考查了函數(shù)的應用．解題的關鍵是根據(jù)實際意義列出函數(shù)關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再根據(jù)自變量的值求算對應的函數(shù)值．
考點二用一次函數(shù)解決最大利潤問題
例題：（2022·全國·八年級單元測試）2月4日，北京冬奧會開幕式當天，天貓“奧林匹克旗艦店”里的“冰墩墩”相關產(chǎn)品均已售罄．從“一墩難求”的殘酷現(xiàn)狀到“一人一墩”的強烈要求，許多工廠在假期紛紛開工加緊生產(chǎn)．硅膠是生產(chǎn)“冰墩墩”外殼的主要原材料．某硅膠制品公司現(xiàn)有的378千克原料全部用于生產(chǎn)、兩種硅膠外殼型號，且恰好用完．
(1)若生產(chǎn)的、兩種型號的硅膠外殼共4000個，分別求、兩種型號的硅膠外殼個數(shù)．
(2)某專賣店欲從該硅膠制品公司購進、兩種型號的“冰墩墩”共3000個，其中型號的數(shù)量不超型號數(shù)量的2倍，全部售出后為使獲利最大，請你為該專賣店設計進貨方案．
【答案】(1)型號外殼2000個，型號外殼2000個
(2)型號外殼為2000個，型號外殼為1000個時，冰墩墩的銷售金額最大，最大銷售金額為86000元
【分析】（1）設生產(chǎn)A型號外殼個，B型號外殼個，根據(jù)生產(chǎn)的A，B兩種型號的外殼共4000個，該公司現(xiàn)有378千克的原材料用于生產(chǎn)外殼，并恰好全部用完，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設生產(chǎn)A型號外殼個，B型號外殼個，銷售金額為元，由題意得出的取值范圍，然后求出，結合一次函數(shù)的性質即可得出結論．
（1）
解：設生產(chǎn)A型號外殼x個，B型號外殼y個，
由題意得：，
解得：
即生產(chǎn)A型號外殼2000個，B型號外殼2000個；
（2）
解：設A種型號的“冰墩墩” 個，則B種型號的“冰墩墩” 個，銷售獲利為元，
由題意得：，
解得：，
由題意得：，
∵，
∴y隨的增大而增大，
∵m是正整數(shù)，
則m的最大值為2000，
當時，有最大值，最大值為：（元），
即A型號外殼為2000個，B型號外殼為1000個時，冰墩墩的銷售金額最大，最大銷售金額為86000元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是根據(jù)題意列出二元一次方程組并正確求解，掌握一次函數(shù)的性質．
【變式訓練】
1．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)大墩初級中學八年級期中）為響應創(chuàng)建全國文明城市，某校決定安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買1個溫馨提示牌和2個垃圾箱共需270元，若購買2個溫馨提示牌和1個垃圾箱共需180元．
(1)求一個溫磐提示牌和一個垃圾箱各需多少元？
(2)根據(jù)計劃，該校需購買溫馨提示牌和垃圾箱共60個，且溫馨提示牌數(shù)量不超過垃圾箱數(shù)量的一半，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．
【答案】(1)30元，120元
(2)應購買20個溫馨提示牌和40個垃圾箱才能使得總費用最少，最少費用為5400元
【分析】（1）設購買1個溫馨提示牌需要x元，購買1個垃圾箱需要y元，根據(jù)“購買1個溫馨提示牌和2個垃圾箱共需270元”得x+2y＝270，根據(jù)“購買2個溫馨提示牌和1個垃圾箱共需180元”得2x+y＝180，組合成二元一次方程組便可；
（2）設購買溫馨提示牌a個，垃圾箱（60﹣a）個，總費用為W元，根據(jù)題意列出不等式得出a的取值范圍，再列出W與x的函數(shù)關系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質求解即可．
（1）
解：設一個溫馨提示牌x元，一個垃圾箱y元，依題意得：
，
解得：，
答：一個溫馨提示牌30元，一個垃圾箱120元；
（2）
設購買溫馨提示牌a個，垃圾箱（60﹣a）個，總費用為w元，
則：a≤（60﹣a），
解得：a≤20，
，即：，
∵ ，
∴W隨a的增大而減小，
∴當a＝20時，W取最小值，，
此時：垃圾箱：60﹣20＝40（個），
答：應購買20個溫馨提示牌和40個垃圾箱才能使得總費用最少，最少費用為5400元．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是明確題意，列出相應的二元一次方程組和一次函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質解答．
2．（2022·河南·許昌市建安區(qū)第三高級中學八年級期末）小剛的爸爸在兩個學校門口開了兩家文具店（分別簡稱甲店、乙店）．一天，小剛的爸爸購進了A、B兩種文具各10箱，預計每箱文具的盈利情況下表：
(1)如果甲店按照A種文具5箱、B種文具5箱配貨，那么小剛的爸爸甲店能盈利______元．
(2)如果乙店按照A種文具3箱、B種文具7箱配貨，可盈利118元；如果乙店按照A種文具8箱、B種文具2箱配貨，可盈利98元．請求出乙店A、B兩種文具每箱分別盈利多少元？
(3)在甲、乙兩店各配貨10箱，且保證乙店盈利不小于100元的條件下，請你設計出使小剛的爸爸盈利最大的配貨方案，并求出最大盈利為多少？
【答案】(1)140
(2)乙店A、B兩種文具每箱分別盈利元/箱，元/箱，
(3)甲店配A種文具3箱，B種文具7箱．乙店配A種文具7箱，B種文具3箱．最大盈利254元
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，甲店A種文具盈利11元/箱，B種文具盈利17元/箱，列出算式進行計算即可求解；
（2）根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；
（3）設甲店配A種文具x箱，分別表示出配給乙店的A文具，B文具的箱數(shù)，根據(jù)盈利不小于110元，列不等式求解，進一步利用經(jīng)銷商盈利=A種文具甲店盈利×x+B種文具甲店盈利×（10-x）+A種文具乙店盈利×（10-x）+B種文具乙店盈利×x；列出函數(shù)解析式利用函數(shù)性質求得答案即可．
（1）
解：依題意，如果甲店按照A種文具5箱、B種文具5箱配貨，那么小剛的爸爸甲店能盈利：（元）
故答案為：140
（2）
解：依題意
解得
∴乙店A、B兩種文具每箱分別盈利元/箱，元/箱，
（3）
設甲店配A種文具x箱，則甲店配B種文具（10-x）箱，
乙店配A種文具（10-x）箱，乙店配B種文具10-（10-x）=x箱．
∵9×（10-x）+13x≥100，
∴x≥，
經(jīng)銷商盈利為．
∵-2＜0，
∴w隨x增大而減小，
∵為正整數(shù)，
∴當時，w值最大．
甲店配A種文具3箱，B種文具7箱．乙店配A種文具7箱，B種文具3箱．
最大盈利： =254（元）．
【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數(shù)的實際運用，找出題目蘊含的不等關系與等量關系解決問題．
考點三用一次函數(shù)解決行程問題
例題：（2021·吉林·長春市赫行實驗學校九年級階段練習）張師傅開車到某地送貨，汽車出發(fā)前油箱中有油50升，行駛一段時間，張師傅在加油站加油，然后繼續(xù)向目的地行駛，已知加油前、后汽車都勻速行駛，汽車行駛時每小時的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）與汽車行駛時間t（時）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
(1)張師傅開車行駛____小時后開始加油，本次加油____升．
(2)求加油前Q與t之間的函數(shù)關系式．
(3)如果加油站距目的地320千米，汽車行駛速度為80千米/時，張師傅要想到達目的地，油箱中的油是否夠用？請通過計算說明理由．
【答案】(1)3，31
(2)Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）
(3)不夠用，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以寫出張師傅開車行駛幾小時后開始加油，本次加油多少升；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出加油前Q與t之間的函數(shù)關系式；
（3）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出每小時耗油多少升，然后再根據(jù)后來加油后油箱中的升數(shù)，即可計算出可以最多跑的路程，再與320比較大小即可．
（1）
解：由圖象可得，
張師傅開車行駛3小時后開始加油，本次加油45﹣14＝31（升），
故答案為：3，31．
（2）
解：設加油前Q與t之間的函數(shù)關系式是Q＝kt+b，
∵點（0，50），（3，14）在該函數(shù)圖象上，
∴，
解得，
即加油前Q與t之間的函數(shù)關系式是Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）．
（3）
解：張師傅要想到達目的地，油箱中的油不夠用，
理由：由圖象可得，
汽車的耗油量為：（50﹣14）÷3＝12（升/時），
45÷12×80
＝×80
＝300（千米），
∵300＜320，
∴張師傅要想到達目的地，油箱中的油不夠用．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合的思想解答．
【變式訓練】
1．（2021·江蘇·西安交大蘇州附中八年級階段練習）甲、乙兩人沿相同的路線由A地到B地勻速前進，A、B兩地間的路程為20km，他們前進的路程為s（km），甲出發(fā)后的時間為t（h），甲、乙前進的路程與時間的函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息回答下列問題：
(1)甲的速度是 km/h，乙比甲晚出發(fā) h；
(2)分別求出甲、乙兩人前進的路程s與甲出發(fā)后的時間t之間的函數(shù)關系式；
(3)甲經(jīng)過多長時間被乙追上？此時兩人距離B地還有多遠？
【答案】(1)5，1
(2)甲的函數(shù)關系式為s＝5t；乙的函數(shù)關系式為s＝20t﹣20
(3)甲經(jīng)過h被乙追上，此時兩人距B地還有km
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可以求得甲的速度和乙比甲晚出發(fā)的時間；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以分別設出甲、乙兩人前進的路程s與甲出發(fā)后的時間t之間的函數(shù)關系式，然后根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)即可解答本題；
（3）令（2）中的兩個函數(shù)值相等，即可求得t的值，進而求得s的值，然后再用20減去s的值即可解答本題．
（1）
解：由圖象可得，
甲的速度為：20÷4＝5km/h，乙比甲晚出發(fā)1小時，
故答案為：5，1．
（2）
解：設甲出發(fā)的路程s與t的函數(shù)關系式為s＝kt，
則20＝4k，得k＝5，
∴甲出發(fā)的路程s與t的函數(shù)關系式為s＝5t；
設乙出發(fā)的路程s與t的函數(shù)關系式為s＝at+b，
，得，
∴乙出發(fā)的路程s與t的函數(shù)關系式為s＝20t﹣20．
（3）
解：由題意可得，
5t＝20t﹣20，
解得，t＝，
當t＝時，s＝5t＝5×，
20﹣，
即甲經(jīng)過h被乙追上，此時兩人距B地還有km．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答．
2．（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學九年級階段練習）在一條筆直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地，在甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車與C地的距離（單位：km），（單位：km）與甲車行駛時間t（單位：h）之間的函數(shù)關系如圖．請根據(jù)所給圖象解答下列問題：
(1)甲車的行駛速度為 km/h，乙車的行駛速度為 km/h；
(2)當時，求乙車與C地的距離與甲車行駛時間t之間的函數(shù)關系式；
(3)當乙車出發(fā) 小時，兩車相遇；
【答案】(1)甲車行駛速度是60km/h，乙車行駛速度是80km/h；
(2)＝；
(3)乙車出發(fā)小時，兩車相遇．
【分析】（1）根據(jù)速度=路程÷時間分別求出甲、乙兩車的速度即可；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法分類討論求解乙車與C地的距離y2與甲車行駛時間t之間的函數(shù)關系式；
（3）設乙車出發(fā)m小時，兩車相遇，根據(jù)甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=200+240列方程求解即可；
（1）
解：甲車行駛速度是240÷4＝60（km/h），乙車行駛速度是200÷（﹣1）＝80（km/h），
∴甲車行駛速度是60km/h，乙車行駛速度是80km/h；
故答案為60，80
（2）
解：當1＜t≤時，設＝kt+b，
∵圖象過點（1，200），（，0），
∴，
∴，
∴＝﹣80t+280；
當＜t≤4時，
∵（4﹣）×80＝40（km），
∴圖象過點（4，40），
設＝kt+b，
∵圖象過點（4，40），（，0），
∴，
∴，
∴＝80t﹣280．
∴＝；
（3）
解：設乙車出發(fā)m小時，兩車相遇，由題意得：
80m+60（m+1）＝200+240，
解得：m＝．
∴乙車出發(fā)小時，兩車相遇．
故答案為
【點睛】本題主要考查了一元一次方程及一次函數(shù)的應用，能從圖象中獲取有效信息，熟練運用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的關系式是解題的關鍵．
考點四用一次函數(shù)解決幾何問題
例題：（2022·山東濟寧·八年級期末）如圖，已知直線與x軸、y軸分別相交于點A、B，再將沿直線CD折疊，使點A與點B重合．折痕CD與x軸交于點C，與AB交于點D．
(1)點A的坐標為______；點B的坐標為______；
(2)求OC的長度，并求出此時直線BC的表達式；
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）由一次函數(shù)與坐標軸的交點求解即可；
（2）由折疊的性質得出直線CD垂直平分線段AB，設，得出，根據(jù)勾股定理得出，即可確定點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求解即可．
（1）
解：令，則；令，則，
故點A的坐標為，點B的坐標為．
（2）
設，
∵直線CD垂直平分線段AB，
∴，
∵，
∴，
，
解得，
∴，
∴設直線BC的解析式為
∴
解得
∴直線BC的解析式為．
【點睛】題目主要考查折疊的性質，一次函數(shù)的基本性質及利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學八年級期末）如圖，一次函數(shù)的圖像分別與x軸，y軸交于A，B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形ABC，使．
(1)分別求點B，C的坐標；
(2)在x軸上求一點P，使它到B，C兩點的距離之和最?。?br>【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求出當時，的值即可得點的坐標，求出當時，的值即可得點的坐標，再過點作軸于點，利用三角形全等的判定定理證出，然后根據(jù)全等三角形的性質可得，則，由此即可得點的坐標；
（2）作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，根據(jù)軸對稱的性質、兩點之間線段最短可得此時的點即為所求，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后求出當時，的值即可得點的坐標．
（1）
解：對于一次函數(shù)，
當時，，即，
∴，
當時，，解得，即，
∴，
如圖1，過點作軸于點，
∵為等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
，
∴點的坐標為．
（2）
解：如圖2，作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，
∵，
∴，
由軸對稱的性質可知，，
，
由兩點之間線段最短可知，此時點到兩點的距離之和最小，
設直線的解析式為，
將點，代入得：，解得，
則直線的解析式為，
當時，，解得，
，
即點到兩點的距離之和最?。?br>【點睛】本題考查了一次函數(shù)的幾何應用、三角形全等的判定與性質、軸對稱的性質等知識點，較難的是題（2），利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短找出到兩點的距離之和最小的點的位置是解題關鍵．
2．（2022·陜西咸陽·七年級期末）如圖，OM是一條垂直于河岸ON的小路，現(xiàn)計劃在河岸ON上找一點A，小路OM上找一點C，修建一個長方形OABC區(qū)域，作為河道保護工作站，要求，若設米，長方形OABC的周長為y米．
(1)請求出y與x之間的關系式；
(2)當OA的長為20米時，求長方形OABC的周長y是多少？
(3)要使長方形OABC的周長y為150米，求OA的長為多少？
【答案】(1)
(2)當OA的長為20米時，長方形OABC的周長y是120米
(3)要使長方形OABC的周長y為150米，OA的長為25米
【分析】（1）根據(jù)，得出OC=2x，利用長方形周長公式即可得出y與x之間的關系式；
（2）將x=20代入（1）中的關系式即可得出答案；
（3）將y=150代入（1）中的關系式即可得出答案．
（1）
∵，，
∴，
∴；
（2）
當時，，
即當OA的長為20米時，長方形OABC的周長y是120米；
（3）
當時，，解得，
即要使長方形OABC的周長y為150米，OA的長為25米．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握長方形的周長公式是解題的關鍵．
考點五用一次函數(shù)解決其他問題
例題：（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學校八年級階段練習）五一節(jié)快到了，單位組織員工去旅游，參加人數(shù)估計為10至20人．甲，乙兩家旅行社為了吸引更多的顧客，分別提出了優(yōu)惠方案．甲旅行社的優(yōu)惠方案是：買3張全票，其余人按半價優(yōu)惠；乙旅行社的優(yōu)惠方案是：一律按6折優(yōu)惠．已知兩家旅行社的原價均為每人100元．
(1)分別表示出甲旅行社收費y1 ，乙旅行社收費y2與旅游人數(shù)x的函數(shù)關系式；
(2)隨著團體人數(shù)的變化，哪家旅行社的收費更優(yōu)惠？
【答案】(1)，
(2)當10≤x

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