考點一 利用“三線合一”作輔助線求線段的長 考點二 利用“三線合一”作輔助線求角的度數(shù)
考點三 利用“三線合一”作輔助線求面積 考點四 利用“三線合一”作輔助線證垂直
典型例題

考點一 利用“三線合一”作輔助線解決線段的有關(guān)問題
例題：（2022·山東·薛城區(qū)北臨城中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，已知，點P在邊上，，點M，N在邊上，，若，則（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】A
【分析】過P作PQ⊥MN，利用三線合一得到Q為MN中點，求出MQ的長，在直角三角形OPQ中，利用直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出OQ的長，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點P作PQ⊥MN于點Q，
∵PM=PN，，
∴MQ=NQ=1，
在Rt△OPQ中，OP=12，∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴，
∴ON=OQ+QN=6+1=7．
故選A．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·遼寧大連·八年級期末）在中，，D是中點，，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可直接得到AD平分∠BAC，AD⊥BC，結(jié)合圖形，利用各角之間的關(guān)系及三角形內(nèi)角和定理即可得．
【詳解】解：∵，
∴△ABC為等腰三角形，
∵D是中點，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，
∴，，
∴，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，找準各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延長BC到D，在∠ACD內(nèi)作射線CE，使得∠ECD=15°．過點A作AF⊥CE，垂足為F．若AF=，則AB的長為（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】過點C作CH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，則CA平分∠HCF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得AH＝AF，即可得AB的長．
【詳解】解：過點C作CH⊥AB于H，
∵CA＝CB，∠ACB＝110°，
∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°，
∵∠ECD＝15°．
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°，
∴∠ACH＝∠ACF＝55°，
∴CA平分∠HCF，
∵AF⊥CE，CH⊥AB，
∴AH＝AF，
∴AB＝2AH＝2．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解決問題的關(guān)鍵是得出CA平分∠HCF．
3．（2022·江蘇·八年級）如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點D在邊BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD＝4，則BD的長為（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
【答案】D
【分析】過點A作AE⊥BC于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DE＝ECCD＝2，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BE＝3，根據(jù)BD＝BE﹣DE即可求解．
【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，
又∵AD＝AC，CD＝4，
∴DE＝ECCD＝2．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝30°，
∴BEAB6＝3，
∴BD＝BE﹣DE＝3﹣2＝1．
故選：D．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，準確作出輔助線求出BE與DE是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·山西呂梁·八年級期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，點D在BC的延長線上，連接AD．點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．若EF＝3，則AD的長為（ ）
A．3B．C．6D．
【答案】C
【分析】連接AE，根據(jù)等腰三角形三線合一得到AE⊥BC，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AD=2EF，故可求解．
【詳解】連接AE，
∵AB＝AC，E是BC中點，
∴AE⊥BC，
∴△ADE是直角三角形，
∵F是AD中點，
∴EF=，
∴AD=2EF=6，
故選C．
【點睛】此題主要考查三角形內(nèi)線段長度，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)．
5．（2022·陜西·西北大學(xué)附中八年級期中）如圖，等邊邊長為，點在的延長線上，點在的延長線上，且滿足．已知，，則的值為_________．
【答案】
【分析】過D作DF⊥BE于F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BF的長，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得CF的長，進而可得答案．
【詳解】解：過D作DF⊥BE于F，
∵DB=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∵BE=4，
∴BF=EF=2，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠DCF=60°，
∴∠CDF=30°，
∴
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
6．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．
【答案】
【分析】作AF⊥BC于F，證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：作AF⊥BC于F，
∵AB的垂直平分線交BC于點D．
∴AD=BD，
∵AF⊥BC，BE⊥DE，
∴∠E=∠AFD=90°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（AAS），
∴DF=DE，
∴CD-DE=CD-DF=CF，
∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，
∴CF=BC=．
故答案為：．
【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級期中）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是12，腰AB的垂直平分線EF分別交AB，AC于點E、F，若點D為底邊BC的中點，點M為線段EF上一動點，則△BDM的周長的最小值為___．
【答案】8
【分析】連接AD，AM，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知AD垂直BC，則根據(jù)△ABC的面積即可求出AD，由題意點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，即有AM=BM，即有BM＋MD=AM＋MD，即當(dāng)A，M，D三點共線時，BM＋MD的值最小，最小為AD的長，進而即可求解．
【詳解】解：如圖，連接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
∵BC=4，△ABC的面積為12,
∴，
∴AD＝6，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴點B關(guān)于直線EF的對稱點為點A，
∴AM=BM，
∴BM＋MD=AM＋MD，
即當(dāng)A，M，D三點共線時，BM＋MD的值最小，
∴AD的長為BM＋MD的最小值，
∴△BDM的周長最短為BM+MD＋BD＝AD＋BD＝AD＋BC＝6+2=8，
故答案為：8．
【點睛】本題考查的是軸對稱?最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
8．（2022·山東泰安·七年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，底邊BC＝12，點P是底邊BC上任意一點，PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，則______．
【答案】9.6
【分析】連接AP，過A作AF⊥BC于F，由圖可得：S△ABC=S△ABP+S△ACP，代入數(shù)值，解答出即可．
【詳解】解：連接AP，過A作AF⊥BC于F．
∵AB=AC=10，BC=12，
∴BF=CFBC=6，
由勾股定理得：，
由圖可得：S△ABC=S△ABP+S△ACP．
∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴，
∴，
∴48=5(PD+PE)，
∴PD+PE=9.6．
故答案為：9.6．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，解答時注意，將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個三角形的面積和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．
考點二 利用“三線合一”作輔助線解決角的有關(guān)問題
例題：（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，于點D，，若，則的度數(shù)為 _____．
【答案】
【分析】如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點A作于點E，可證，即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，過點A作于點E，
∵AB=AC，
∴E是BC的中點，且AE平分．
∵，
∴BD=BE．
在和中，
，
∴．
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)以及直角三角形全等的判定定理，正確運用定理進行判定是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1.（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，在中，，AD為BC邊上的中線，，則的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得是等腰三角形，根據(jù)三線合一可知，據(jù)此即可求得．
【詳解】解：∵，為邊上的中線，
∴，，
∵，
∴．
故選：C．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2021·湖北恩施·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，且BD＝BE，∠ADE＝20°，則∠BAC的度數(shù)為（ ）
A．120°B．110°C．100°D．90°
【答案】C
【分析】根據(jù)垂直的定義以及等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDE=∠BED=70°，利用三角形的外角性質(zhì)得到∠BAD=50°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD，
∵∠ADE=20°，BD=BE，
∴∠BDE=∠BED=∠ADB-∠ADE=70°，
∵∠BED=∠BAD+∠ADE，
∴∠BAD=70°-20°=50°，
∴∠BAC=2∠BAD=100°，
故選：C．
【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·山東濟南·七年級期末）如圖，平分，，的延長線交于點，若，則的度數(shù)為______．
【答案】
【分析】如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F，利用等腰三角形的三線合一證明CF是BD的垂直平分線，從而得到AB=AD， 再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：∠DAF=∠BAF=∠EAC，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F，
∵AC平分∠DCB，CB=CD，
∴CF⊥BD，DF=BF，
∴CF是BD的垂直平分線，
∴AB=AD，
∴∠DAF=∠BAF，
∵
∴∠EAC=55°，
∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=55°，
∴∠BAE=180°?55°?55°=70°．
故答案為：70°．
【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·北京·人大附中八年級期中）如圖，在中，，，為等邊三角形，連接，則_____，的面積為 _____．
【答案】
【分析】如圖，過作于，第一個空：根據(jù)為等邊三角形，可得，，然后再根據(jù)，，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出，然后由即可得到答案；第二個空：根據(jù)和可確定的邊邊上的高等于，再根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得，則，代入數(shù)據(jù)計算即可得到答案．
【詳解】如圖，過作于，
∵為等邊三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴
∵，
∴，
∴的邊邊上的高等于，
∵為等邊三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
故答案為：；．
【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)及三角形面積計算等知識．發(fā)現(xiàn)的邊上的高等于的一半是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·浙江麗水·八年級期末）如圖，在△ABC中，，AD為BC邊上的中線，E為AC上一點，且，，求∠CDE的度數(shù)．
【答案】25°
【分析】由題意知，，根據(jù)等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理求出的值，進而可求出的值．
【詳解】解：∵，AD是中線，
∴，
∵
∴
∴
∴的值為25°．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)．
考點三 利用“三線合一”作輔助線求面積
例題：（2022·重慶九龍坡·八年級期末）如圖，AC＝BC＝BE＝DE．若∠C+∠E＝180°，AB＝6，BD＝8，則△ABC的面積為（ ）
A．6B．14C．12D．24
【答案】C
【分析】如圖所示，過點C作CF⊥AB于F，過點E作EG⊥BD于G，根據(jù)三線合一定理得到，，，然后證明△CFB≌△BGE得到CF=BG=4，則．
【詳解】解：如圖所示，過點C作CF⊥AB于F，過點E作EG⊥BD于G，
∴∠CFB=∠BGE=90°，
∴∠FCB+∠FBC=90°，
∵AC=BC=BE=DE，
∴，，，
∵∠ACB+∠BED=180°，
∴∠FCB+∠BEG=90°，
∴∠FBC=∠GEB，
又∵BE=CB，
∴△CFB≌△BGE（AAS），
∴CF=BG=4，
∴，
故選C．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形面積，三線合一定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·廣西·梧州市第一中學(xué)三模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=8，點F是AB的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且始終保持DF⊥EF，則四邊形CDFE的面積是______ ．
【答案】16
【分析】如圖所示，連接CF，只需要證明△AFD≌△CFE得到即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，連接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，F(xiàn)是AB的中點，
∴∠CFA=90°，，∠A=∠ACF=∠BCF=∠B=45°，
∴∠CFD+∠AFD=90°，
∵DF⊥EF，即∠DFE=90°，
∴∠CFE+CFD=90°，
∴∠AFD=∠CFE，
∴△AFD≌△CFE（ASA），
∴，
∴，
故答案為：16．
【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·浙江溫州·八年級期末）如圖，在中，AE是BC邊上的中線，過點C作，交AE的延長線于點D，連結(jié)BD．若，的面積為10，則的面積為______．
【答案】30
【分析】作BF⊥AE于點F，先證明△BEF≌△CED，則BF= CD，F(xiàn)E= DE，由AB = BD得AF= DF，設(shè)FE=DE=m，BF=CD=n，則AF= DF= 2FE= 2m，AE= 3m．根據(jù)S△BCD = 10求出mn的值，再用含mn的式子表示S△ABC，從而求出△ABC的面積．
【詳解】解：如圖，作BF⊥AE于點F，
∵CD⊥AE，
∴BFE=CDE=90°，
∵AE是BC邊上的中線，
∴BE=CE，
在△BEF和△CED中，
∴△BEF ≌△CED（AAS），
∴FE=DE，BF=CD，
∵AB = BD，
∴BF= DF，
設(shè)FE=DE=m，BF=CD=n，則AF= DF= 2FE= 2m，
∴AE=AF＋FE= 3m，
∵=DE·BF+12DE·CD=
且=10，
∴，
∴
∴=30．
故答案為：30．
【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，作BF⊥AE于點F構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，在等腰直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，BC＝4，一個三角尺的直角頂點與 BC 邊的中點 O 重合，且兩條直角邊分別與 AB，AC 分別交于點 E，F(xiàn) ，△BOE與△COF的面積之和為______．
【答案】2
【分析】連接AO，易證△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性質(zhì)可得出△COF的面積等于△AOE的面積，從而可進一步得出結(jié)論．
【詳解】解：連接AO，如圖所示．
∵△ABC為等腰直角三角形，點O為BC的中點，
∴OA=OC=，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴
∴
故答案為：2
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△EOA≌△FOC 是本題的關(guān)鍵．
考點四 利用“三線合一”作輔助線證垂直
例題：（2022·江蘇·八年級）如圖，已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC，AD＝AE．
(1)求證：BD＝CE；
(2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度數(shù)．
【答案】(1)見解析；
(2)90°．
【分析】（1）作AF⊥BC于點F，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到BF=CF，DF=EF，相減后即可得到正確的結(jié)論．
（2）根據(jù)等邊三角形的判定得到△ADE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．
(1)
證明：如圖，過點A作AF⊥BC于F．
∵AB＝AC，AD＝AE．
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BD＝CE．
(2)
解：∵AD＝DE＝AE，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝60°．
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA．
∴∠DAB∠ADE＝30°．
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·陜西·交大附中分校八年級階段練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，點O是底邊BC的中點，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．試說明：AD=AE．
【答案】見解析
【分析】連接AO，由AAS可得△AOD≌△AOE，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：連接AO，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
∵AB=AC，O是BC中點，
∴AO平分∠BAC，即∠DAO=∠EAO，
又AO=AO，∠ADO=∠AEO=90°，
∴△AOD≌△AOE(AAS)，
∴AD=AE．
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．
2．（2021·浙江杭州·八年級期末）如圖﹐在中﹐﹐D為的中點﹐點F在上﹐延長至點E﹐使﹐求與之間的位置關(guān)系．
【答案】AD∥EF
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義和外角的定義，可得∠AEF=∠BAD，進而可證明AD∥EF．
【詳解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵D為BC中點，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵AE=AF，
∴∠E=∠AFE，
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，
∴∠AEF=∠BAD，
∴AD∥EF．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．
3．（2022·河南鄭州·七年級期末）如圖，在中，，，D為BC的中點，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．
(1)若E點在線段AB上（非端點），則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；
(2)若E點在線段AB的延長線上，請你作圖（用黑色水筆），此時線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是_____________，請說明理由．
【答案】(1)
(2)圖見解析，，理由見解析
【分析】（1）連接，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)垂直的定義、等量代換可得，然后根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）分①當(dāng)點在線段的延長線上，且在的下方時，②當(dāng)點在線段的延長線上，且在的上方時兩種情況，參考（1）的思路，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論．
（1）
解：如圖，連接，
在中，，，為的中點，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
故答案為：．
（2）
解：，理由如下：
①如圖，當(dāng)點在線段的延長線上，且在的下方時，
如圖，連接，
在中，，，為的中點，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
②如圖，當(dāng)點在線段的延長線上，且在的上方時，
如圖，連接，
在中，，，為的中點，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
；
綜上，線段與的數(shù)量關(guān)系是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．
4．（2022·四川綿陽·八年級期末）如圖，在中，，是上任意一點，過分別向，引垂線，垂足分別為，，是邊上的高．
(1)當(dāng)點在的什么位置時，？并證明．
(2)，，的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；
(3)若在底邊的延長線上，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明．
【答案】(1)當(dāng)D點在BC的中點位置時，，證明見解析
(2)，證明見解析
(3)（2）中的結(jié)論不成立，，，之間的數(shù)量關(guān)系是：
【分析】（1）根據(jù)中點的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對等角可得，進而即可；
（2）連接，根據(jù)可得，根據(jù)可得結(jié)論；
（3）同（2）的方法求解即可
（1）
當(dāng)BD=CD時，DE=DF.
理由：∵是的中點.
∴，
又，
∴，
，，
∴，
∴，
∴
（2）
.
連接，
，
即，
∵，
∴
（3）
連接，
同理可得
即
∵，
∴
故（2）中的結(jié)論不成立，，，之間的數(shù)量關(guān)系是：
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的高，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

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