第15講全等三角形的七種模型（核心考點講與練） 題型一：一線三等角構(gòu)造全等模型 一．解答題（共2小題） 1．（2017秋?浦東新區(qū)期中）已知：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點，AC⊥CE，AB＝CD，求證：BC＝DE． 【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等． 【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知） ∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意義） ∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意義） ∠ACE＝90°（已證） ∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性質(zhì)） ∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形內(nèi)角和等于180°） ∠B＝90°（已證） ∴∠BCA+∠A＝90°（等式性質(zhì)） ∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等） 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA） ∴BC＝DE．（全等三角形對應(yīng)邊相等） 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵． 2．（2013秋?上海期中）如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一點，BC＝DE，AB＝CD．求證：AC⊥CE． 【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ABC＝∠EDC＝90°，則可根據(jù)”SAS“判定△ABC≌△CDE，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得∠A＝∠DCE，利用∠ACB+∠A＝90°可得∠ACB+∠DCE＝90°，再利用平角的定義計算出∠ACE＝90°， 然后根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)論． 【解答】證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE， ∴∠A＝∠DCE， ∵∠ACB+∠A＝90°， ∴∠ACB+∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝90°， ∴AC⊥CE． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件． 題型二：手拉手模型—旋轉(zhuǎn)型全等 一．填空題（共1小題） 1．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝6，∠DAC＝60°，點F在線段AO上從點A至點O運(yùn)動，連接DF，以DF為邊作等邊三角形DFE，點E和點A分別位于DF兩側(cè)，下列結(jié)論：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④點E運(yùn)動的路程是2，其中正確結(jié)論的序號為 ?、佗冖邰堋。? 【分析】①根據(jù)∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD為等邊三角形，再由△DFE為等邊三角形，得∠DOA＝∠DEF＝60°，再證明△DEG∽△FOG，即可得出結(jié)論①正確； ②如圖，連接OE，利用SAS證明△DAF≌△DOE，再證明△ODE≌△OCE，即可得出結(jié)論②正確； ③通過等量代換即可得出結(jié)論③正確； ④如圖，延長OE至E′，使OE′＝OD，連接DE′，通過△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出點F在線段AO上從點A至點O運(yùn)動時，點E從點O沿線段OE′運(yùn)動到E′，從而得出結(jié)論④正確； 【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA， ∴△OAD為等邊三角形， ∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD， ∵△DFE為等邊三角形， ∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE， ∴∠DOA＝∠DEF＝60°， ∵∠∠DGE＝∠FGO， ∴△DEG∽△FOG， ∴∠BDE＝∠EFC， 故結(jié)論①正確； ②如圖，連接OE， 在△DAF和△DOE中， ， ∴△DAF≌△DOE（SAS）， ∴∠DOE＝∠DAF＝60°， ∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°， ∴∠COE＝∠DOE， 在△ODE和△OCE中， ， ∴△ODE≌△OCE（SAS）， ∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE， 故結(jié)論②正確； ③∵∠ODE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF， 故結(jié)論③正確； ④如圖，延長OE至E′，使OE′＝OD，連接DE′， ∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°， ∴點F在線段AO上從點A至點O運(yùn)動時，點E從點O沿線段OE′運(yùn)動到E′， ∵OE′＝OD＝AD＝AB?tan∠ABD＝6?tan30°＝2， ∴點E運(yùn)動的路程是2 ， 故結(jié)論④正確； 故答案為：①②③④． 【點評】本題主要考查了矩形性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，點的運(yùn)動軌跡等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)、等邊三角形判定和性質(zhì)等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵． 二．解答題（共2小題） 2．（2021秋?太康縣期末）在△ABC中，AB＝AC，點D是直線BC上的一點（不與點B、C重合），以AD為腰右側(cè)作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，聯(lián)接CE． （1）如圖1，當(dāng)點D在線段BC上，如果∠BAC＝90°，則∠BCE＝　90　度． （2）設(shè)∠BAC＝α，∠BCE＝β． ①點D是在線段BC上移動時，如圖2，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由． ②點D是在射線CB上移動時，則α、β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試直接寫出結(jié)論． 【分析】（1）證明△BAD≌△CAE，得∠B＝∠ACE，即可證明； （2）①與（1）同理證明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，則∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°； ②同理證明△ADB≌△AEC，得∠ABD＝∠ACE，由∠ABD＝∠BAC+∠ACB，則∠BAC＝∠BCE． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD與△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， 故答案為：90； （2）①α+β＝180°，理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD與△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°， ∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°， ∴α+β＝180°； ②α＝β，理由如下： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△ADB與△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB， ∴∠BAC＝∠BCE， ∴α＝β． 【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識，證明△ADB≌△AEC是解題的關(guān)鍵． 3．（2021春?浦東新區(qū)月考）（1）問題發(fā)現(xiàn) 如圖1，已知△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)． （2）拓展探究 如圖2，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE； 求：①∠AEB的度數(shù)； ②線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【分析】（1）先判斷出CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，進(jìn)而得出∠ACD＝∠BCE，進(jìn)而用SAS判斷出△ACD≌△BCE，得出∠ADC＝∠BEC，即可得出結(jié)論； （2）①同（1）的方法，即可得出結(jié)論； ②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）得出AD＝BE，再判斷出DM＝CM，即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE是等邊三角形， ∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△CD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵△CDE是等邊三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°， ∴∠BEC＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°； （2）①同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC， ∵△DCE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°； ②同（1）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， 在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM＝45°， ∴∠DCM＝∠CDM＝45°， ∴DM＝CM， ∴DM＝ME＝CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出△ACD≌△BCE時解本題的關(guān)鍵． 題型三：倍長中線模型 一．選擇題（共2小題） 1．（2020秋?饒平縣校級期末）在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（　?。?A．0＜AD＜10 B．1＜AD＜5 C．2＜AD＜10 D．0＜AD＜5 【分析】延長AD至點E，使得DE＝AD，可證△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得AE的取值范圍，即可解題． 【解答】解：延長AD至點E，使得DE＝AD， ∵在△ABD和△CDE中， ∵， ∴△ABD≌△CDE（SAS）， ∴AB＝CE，AD＝DE ∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB， ∴2＜AE＜10， ∴1＜AD＜5． 故選：B． 【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△CDE是解題的關(guān)鍵． 2．（2006秋?閔行區(qū)期末）在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是邊BC的中線，那么AD的取值范圍是（　?。?A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6 【分析】延長AD至E，使DE＝AD，連接CE．根據(jù)SAS證明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解． 【解答】 解：延長AD至E，使DE＝AD，連接CE． ∵AD是邊BC的中線， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝7． 在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即：2＜2AD＜12， 1＜AD＜6． 故選：D． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系． 注意：出現(xiàn)中點的輔助線一般應(yīng)延長中線所在的直線構(gòu)造全等三角形，這是一種非常重要的方法，要注意掌握． 二．填空題（共1小題） 3．（2018秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是　1＜AD＜6?。?【分析】作出圖形，延長中線AD到E，使DE＝AD，利用“邊角邊”證明△ACD和△EBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC＝BE，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的范圍，再除以2即可得解． 【解答】解：如圖，延長中線AD到E，使DE＝AD， ∵AD是三角形的中線 ∴BD＝CD， 在△ACD和△EBD中， ∵， ∴△ACD≌△EBD（SAS）， ∴AC＝BE， ∵AB＝5，BE＝AC＝7， ∴7﹣5＜2AD＜7+5，即2＜2x＜12， ∴1＜AD＜6． 故答案為：1＜AD＜6． 【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)輔助線的作法，“遇中線加倍延”作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 題型四：平行線＋線段中的構(gòu)造全等模型 一．解答題（共2小題） 1．（2017春?松江區(qū)期末）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB中點，DE⊥EC． 求證：（1）DE平分∠ADC； （2）AD+BC＝DC． 【分析】（1）延長DE交CB的延長線于F，可證得△AED≌△BEF，根據(jù)三線合一的性質(zhì)可得出CD＝CF，推出∠CDF＝∠F，由∠ADF＝∠F即可證明； （2）由△AED≌△BEF，根據(jù)三線合一的性質(zhì)可得出CD＝CF，進(jìn)而利用等線段的代換可證得結(jié)論； 【解答】證明：（1）延長DE交CB的延長線于F， ∵AD∥CF， ∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F． 在△AED與△BEF中， ， ∴△AED≌△BEF， ∴AD＝BF，DE＝EF， ∵CE⊥DF， ∴∠CDF＝∠F， ∵AD∥CF， ∴∠ADE＝∠F， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴ED平分∠ADC． （2）∵△AED≌△BEF， ∴AD＝BF，DE＝EF， ∵CE⊥DF， ∴CD＝CF＝BC+BF， ∴AD+BC＝DC． 【點評】本題考查梯形、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是因為點E是中點，所以應(yīng)該聯(lián)想到構(gòu)造全等三角形，這是經(jīng)常用到的解題思路，同學(xué)們要注意掌握． 2．（2015春?普陀區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠1＝∠2． （1）求證：△ADE≌△BFE； （2）聯(lián)結(jié)EG，試說明EG與DF垂直的理由． 【分析】（1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE； （2）由∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代換得到∠GDF＝∠BFE，利用等角對等邊得到GF＝GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直． 【解答】解：（1）∵AD∥BC， ∴∠1＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） ∵E為AB的中點， ∴AE＝BE（中點的意義）， 在△ADE和△BFE中， ∴△ADE≌△BFE（AAS）． （2）∵∠1＝∠F，∠1＝∠2， ∴∠F＝∠2（等量代換）， ∴DG＝FG（等角對等邊）． ∵△ADE≌△BFE （已證）， ∴DE＝FE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）， ∴EG⊥DF（等腰三角形三線合一）． 【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 聲明： 題型五：角平分線+垂直全等模型 一．解答題（共1小題） 1．（2018秋?招遠(yuǎn)市期末）如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點F在邊AB上，EF∥BC． （1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形； （2）線段BF、AB、AC的數(shù)量之間具有怎樣的關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論． 【分析】（1）證明△AGE≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到GE＝EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件EF∥BC可證出結(jié)論； （2）先證明BF＝DE＝BG，再證明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）． 【解答】（1）證明：延長CE交AB于點G， ∵AE⊥CE， ∴∠AEG＝∠AEC＝90°， 在△AEG和△AEC中， ∴△AGE≌△ACE（ASA）． ∴GE＝EC． ∵BD＝CD， ∴DE為△CGB的中位線， ∴DE∥AB． ∵EF∥BC， ∴四邊形BDEF是平行四邊形． （2）解：BF＝（AB﹣AC）． 理由如下： ∵四邊形BDEF是平行四邊形， ∴BF＝DE． ∵D、E分別是BC、GC的中點， ∴BF＝DE＝BG． ∵△AGE≌△ACE， ∴AG＝AC， ∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）． 【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，題目綜合性較強(qiáng)，證明GE＝EC，再利用三角形中位線定理證明DE∥AB是解決問題的關(guān)鍵． 題型六：正方形中的半角模型 一．解答題（共1小題） 1．（2009?寶山區(qū)二模）小杰和他的同學(xué)組成了“愛琢磨”學(xué)習(xí)小組，有一次，他們碰到這樣一道題： “已知正方形ABCD，點E、F、G、H分別在邊AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，則EG＝FH“ 經(jīng)過思考，大家給出了以下兩個方案： （甲）過點A作AM∥HF交BC于點M，過點B作BN∥EG交CD于點N； （乙）過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N； 小杰和他的同學(xué)順利的解決了該題后，大家琢磨著想改變問題的條件，作更多的探索． … （1）對小杰遇到的問題，請在甲、乙兩個方案中任選一個，加以證明（如圖1）； （2）如果把條件中的“正方形”改為“長方形”，并設(shè)AB＝2，BC＝3（如圖2），試探究EG、FH之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （3）如果把條件中的“EG⊥FH”改為“EG與FH的夾角為45°”，并假設(shè)正方形ABCD的邊長為1，F(xiàn)H的長為（如圖3），試求EG的長度． 【分析】（1）無論選甲還是選乙都是通過構(gòu)建全等三角形來求解．甲中，通過證△AMB≌△BNC來得出所求的結(jié)論．乙中，通過證△AMB≌△ADN來得出結(jié)論； （2）同（1）一樣，只不過將全等三角形該成了相似三角形，通過相似三角形得出的對應(yīng)線段成比例來得出EG：FH＝3：2； （3）按（1）的思路也要通過構(gòu)建全等三角形來求解，可過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N，將△AND繞點A旋轉(zhuǎn)到△APB，不難得出△APM和△ANM全等，那么可得出PM＝MN，而MB的長可在直角三角形ABM中根據(jù)AB和AM（即HF的長）求出．如果設(shè)DN＝x，那么NM＝PM＝BM+x，MC＝BC﹣BM＝1﹣BM，因此可在直角三角形MNC中用勾股定理求出DN的長，進(jìn)而可在直角三角形AND中求出AN即EG的長． 【解答】（1）證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N ∴AM＝HF，AN＝EG ∵正方形ABCD， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH ∴∠NAM＝90° ∴∠BAM＝∠DAN 在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN ∴△ABM≌△ADN， ∴AM＝AN 即EG＝FH； （2）結(jié)論：EG：FH＝3：2 證明：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交CD的延長線于點N ∴AM＝HF，AN＝EG， ∵長方形ABCD， ∴∠BAD＝∠ADN＝90°， ∵EG⊥FH， ∴∠NAM＝90°， ∴∠BAM＝∠DAN， ∴△ABM∽△ADN， ∴， ∵AB＝2BC＝AD＝3， ∴； （3）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，過點A作AN∥EG交CD于點N， ∵AB＝1，AM＝FH＝ ∴在Rt△ABM中，BM＝ 將△AND繞點A旋轉(zhuǎn)到△APB， ∵EG與FH的夾角為45°， ∴∠MAN＝45°， ∴∠DAN+∠MAB＝45°， 即∠PAM＝∠MAN＝45°， 從而△APM≌△ANM， ∴PM＝NM， 設(shè)DN＝x，則NC＝1﹣x，NM＝PM＝+x 在Rt△CMN中，（+x）2＝+（1﹣x）2， 解得x＝， ∴EG＝AN＝＝， 答：EG的長為． 【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)變換等知識．通過輔助線或圖形的旋轉(zhuǎn)將所求的線段與已知的線段構(gòu)建到一對全等或相似的三角形中是本題的基本思路． 題型七：等腰三角形中的半角模型 一．解答題（共3小題） 1．（2021春?嘉定區(qū)期末）在等邊三角形ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，P為△ABC外一點，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：當(dāng)點M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系． （1）如圖①，當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且PM＝PN時，試說明MN＝BM+CN． （2）如圖②，當(dāng)點M、N在邊AB、AC上，且PM≠PN時，MN＝BM+CN還成立嗎？ 答：　一定成立　．（請在空格內(nèi)填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． （3）如圖③，當(dāng)點M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，請直接寫出BM，NC，MN之間的數(shù)量關(guān)系． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理得到∴∠PBC＝∠＝30°，進(jìn)而得到∠PBM＝∠PCN＝90°，證明Rt△PBM≌Rt△PCN，得到∠BPM＝∠CPN＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論； （2）延長AC至H，使CH＝BM，連接PH，證明△PBM≌△PCH，得到PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，再證明△MPN≌△HPN，得到MN＝HN，得到答案； （3）在AC上截取CK＝BM，連接PK，仿照（2）的方法得出結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠BPC＝120°，BP＝CP， ∴∠PBC＝∠PCB＝×（180°﹣120°）＝30°， ∴∠PBM＝∠PCN＝90°， 在Rt△PBM和Rt△PCN中， ， ∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL）， ∴∠BPM＝∠CPN＝30°， ∵∠MPN＝60°，PM＝PN， ∴△PMN為等邊三角形， ∴PM＝PN＝MN， 在Rt△PBM中，∠BPM＝30°， ∴BM＝PM， 同理可得，CN＝PN， ∴BM+CN＝MN； （2）解：一定成立， 理由如下：如圖②，延長AC至H，使CH＝BM，連接PH， 由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°， ∴∠PCH＝90°， ∴∠PBM＝∠PCH， 在△PBM和△PCH中， ， ∴△PBM≌△PCH（SAS）， ∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH， ∵∠BPM+∠CPN＝60°， ∴∠CPN+∠CPH＝60°， ∴∠MPN＝∠HPN， 在△MPN和△HPN中， ， ∴△MPN≌△HPN（SAS）， ∴MN＝HN＝BM+CN， 故答案為：一定成立； （3）解：如圖③，在AC上截取CK＝BM，連接PK， 在△PBM和△PCK中， ， ∴△PBM≌△PCK（SAS）， ∴PM＝PK，∠BPM＝∠CPK， ∵∠BPM+∠BPN＝60°， ∴∠CPK+∠BPN＝60°， ∴∠KPN＝60°， ∴∠MPN＝∠KPN， 在△MPN和△KPN中， ， ∴△MPN≌△KPN（SAS）， ∴MN＝KN， ∵KN＝NC﹣CK＝NC﹣BM， ∴MN＝NC﹣BM． 【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 2．（2017春?楊浦區(qū)校級期末）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系． （1）如圖1，△ABC是周長為9的等邊三角形，則△AMN的周長Q＝　6??； （2）如圖2，當(dāng)點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是　BM+CN＝MN??；此時＝　??； （3）點M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時，猜想（2）問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明． 【分析】（1）構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換．延長AC至E，使CE＝BM，連接DE．根據(jù)題意得到∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB＝CE，BD＝DC，因此兩三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN＝NE，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．可根據(jù)L的值確定與Q的值； （2）如果DM＝DN，∠DMN＝∠DNM，因為BD＝DC，那么∠DBC＝∠DCB＝30°，也就有∠MBD＝∠NCD＝60+30＝90°，直角三角形MBD、NCD中，因為BD＝CD，DM＝DN，根據(jù)HL定理，兩三角形全等．那么BM＝NC，∠BMD＝∠DNC＝60°，三角形NCD中，∠NDC＝30°，DN＝2NC，在三角形DNM中，DM＝DN，∠MDN＝60°，因此三角形DMN是個等邊三角形，因此MN＝DN＝2NC＝NC+BM，三角形AMN的周長Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+MB+NC＝AB+AC＝2AB，三角形ABC的周長L＝3AB，因此Q：L＝2：3． （3）如果DM≠DN，我們可通過構(gòu)建全等三角形來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換．延長AC至E，使CE＝BM，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，∠MBD＝∠NCD＝90°，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB＝CE，BD＝DC，因此兩三角形全等，那么DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°．三角形MDN和EDN中，有DM＝DE，∠EDN＝∠MDN＝60°，有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN＝NE，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因為NE＝CN+CE，因此NM＝BM+CN．Q與L的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的． 【解答】（1）解：如圖2，延長AC至E，使CE＝BM，連接DE， ∵BD＝CD，且∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， 又∵△ABC是等邊三角形， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°， 在△MBD與△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）． ∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE． ∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°． 在△MDN與△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝NE＝NC+BM， ∵△AMN的周長Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+（NC+BM）＝（AM+BM）+（AN+NC）＝AB+AC＝2AB， 等邊△ABC的周長L＝3AB＝9，即AB＝3， 則Q＝6； （2）解：如圖，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN． 此時＝； （3）猜想：（2）中的結(jié)論仍然成立， 證明：如圖，延長AC至E，使CE＝BM，連接DE， ∵BD＝CD，且∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， 又∵△ABC是等邊三角形， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°， 在△MBD與△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）． ∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE． ∴∠EDN＝∠BDC﹣∠MDN＝60°． 在△MDN與△EDN中， ， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝NE＝NC+BM， ∵△AMN的周長Q＝AM+AN+MN＝AM+AN+（NC+BM）＝（AM+BM）+（AN+NC）＝AB+AC＝2AB， 等邊△ABC的周長L＝3AB， ∴＝． 故答案為：（1）6；（2）BM+NC＝MN； 【點評】此題考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，題目中線段的轉(zhuǎn)換都是根據(jù)全等三角形來實現(xiàn)的，當(dāng)題中沒有明顯的全等三角形時，我們要根據(jù)條件通過作輔助線來構(gòu)建于已知和所求條件相關(guān)的全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 3．（2014秋?新鄉(xiāng)期末）閱讀下面材料： 小輝遇到這樣一個問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E在邊BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的長． 小輝發(fā)現(xiàn)，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACF，連接EF（如圖2），由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)以及∠DAE＝45°，可證△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的長． 請回答：在圖2中，∠FCE的度數(shù)是 　90°　，DE的長為 　?。?參考小輝思考問題的方法，解決問題： 如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點，且∠EAF＝∠BAD．猜想線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由． 【分析】對于圖2，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到∠ACF＝∠B＝45°，CF＝BD，所以∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝90°，然后利用勾股定理計算EF，即可得到DE； 對于圖3，將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，由于∠B+∠ADC＝180°，則∠ADG+∠ADC＝180°，則可判斷點F，D，G在同一條直線上，接著證明△AEF≌△AGF，得到EF＝FG，由于FG＝DG+FD＝BE+DF，于是得到EF＝BE+FD． 【解答】解：如圖2，∵∠ACF＝∠B＝45°， ∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°， 在Rt△EFC中，∵CF＝BD＝3，CE＝1， ∴EF＝＝＝， ∴DE＝， 故答案為90°；； 如圖3， 猜想：EF＝BE+FD．理由如下： 如圖，將△ABE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到△ADG， ∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG， ∵∠B+∠ADC＝180°， ∴∠ADG+∠ADC＝180°，即點F，D，G在同一條直線上， ∵∠DAG＝∠BAE， ∴∠GAE＝∠BAD， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+FD＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．

英語朗讀寶
相關(guān)資料 更多
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)滬教版（五四制）（2024）七年級下冊電子課本 舊教材

章節(jié)綜合與測試

版本： 滬教版（五四制）（2024）

年級： 七年級下冊

切換課文
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部