14.2《全等三角形》課件+教案

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全等三角形2知識精要1．判定和性質(zhì) 一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）、角邊角（ASA）角角邊（AAS）、邊邊邊（SSS）具備一般三角形的判定方法斜邊和一條直角邊對應相等（HL）性質(zhì)對應邊相等，對應角相等對應中線相等，對應高相等，對應角平分線相等注：① 判定兩個三角形全等必須有一組邊對應相等；② 全等三角形面積相等．2．證題的思路：     三角形全等是證明線段相等，角相等最基本、最常用的方法，這不僅因為全等三角形有很多重要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結論聯(lián)系起來．那么我們應該怎樣應用三角形全等的判別方法呢？（1）條件充足時直接應用在證明與線段或角相等的有關問題時，常常需要先證明線段或角所在的兩個三角形全等，而從近年的中考題來看，這類試題難度不大，證明兩個三角形的條件比較充分．只要同學們認真觀察圖形，結合已知條件分析尋找兩個三角形全等的條件即可證明兩個三角形全等．例1 已知：如圖1，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分∠BAC．那么圖中全等的三角形有___對．分析：由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90o．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO為公共邊，所以△AEO≌△ADO．所以EO=DO，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90o，∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由AE=AD，∠AEO=∠ADO=90o，∠BAC為公共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又∠EAO=∠DAO， AO為公共邊，所以△ABO≌△ACO． 所以圖中全等的三角形一共有4對．（2）條件不足，會增加條件用判別方法此類問題實際是指條件開放題，即指題中沒有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補充使三角形全等的條件．解這類問題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，逐步分析，探索結論成立的條件，從而得出答案．例2 如圖2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是（只需填一個）_____．分析：要使△ABC≌△ADE，注意到∠1=∠2，所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．要使△ABC≌△ADE，根據(jù)SAS可知只需AC=AE        即可；根據(jù)ASA可知只需∠B=∠D；根據(jù)AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的條件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．（3）條件比較隱蔽時，可通過添加輔助線用判別方法在證明兩個三角形全等時，當邊或角的關系不明顯時，可通過添加輔助線作為橋梁，溝通邊或角的關系，使條件由隱變顯，從而順利運用全等三角形的判別方法證明兩個三角形全等．例3 已知：如圖3，AB=AC，∠1=∠2．求證：AO平分∠BAC．分析：要證AO平分∠BAC，即證∠BAO=∠BCO，要證∠BAO=∠BCO，只需證∠BAO和∠BCO所在的兩個三角形全等．而由已知條件知，只需再證明BO=CO即可．證明：連結BC．因為AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．因為∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．        即∠3=∠4，所以BO=CO．因為AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以△ABO≌△ACO．所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．（4）條件中沒有現(xiàn)成的全等三角形時，會通過構造全等三角形用判別方法有些幾何問題中，往往不能直接證明一對三角形全等，一般需要作輔助線來構造全等三角形． 例4 已知：如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF．求證：∠ADC=∠BDF．證明：過B作BG⊥BC交CF延長線于G，所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因為AC⊥BC，CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．因為AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90o，所以  △ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因為∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF． 說明：常見的構造三角形全等的方法有如下三種：①涉及三角形的中線問題時，常采用延長中線一倍的方法，構造出一對全等三角形；②涉及角平分線問題時，經(jīng)過角平分線上一點向兩邊作垂線，可以得到一對全等三角形；③證明兩條線段的和等于第三條線段時，用“截長補短”法可以構造一對全等三角形．熱身練習1.如圖，給出下列四組條件：①；②；③；④．其中，能使的條件共有（C    ）①②③均可.A．1組           B．2組       C．3組       D．4組2. 如圖，，=30°，則的度數(shù)為（  B  ）A.20°             B.30° C.35°            D.40°【解析】選B.由得,∴3.如圖，AC、BD是矩形ABCD的對角線，過點D作DE∥AC交BC的延長線于E，則圖中與△ABC全等的三角形共有（D   ）A．1個           B．2個           C．3個             D．4個   【解析】在矩形ABCD中，△CDA、△BAD、△DCB都和△ABC全等，由題意不難得出四邊形ＡＣＥＤ為平行四邊形，得出△ＤＣＥ也和△ABC全等．4.在△ABC和中，∠C＝，且b-a=,b+a=,則這兩個三角形（    ）A.不一定全等        B.不全等        C.全等，根據(jù)“ASA”    D. 全等，根據(jù)“SAS”【解析】選D.由b-a=,b+a=可得，，又∠C＝，根據(jù)“SAS”，可得這兩個三角形全等.5. 如圖，已知△ABC的六個元素，則下列甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是（    ）                                                  （A）甲乙             （B）甲丙       （C）乙丙        （D）乙答案：選C.6.如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，將腰CD以D為中心逆時針旋轉90°至DE，連接AE、CE，△ADE的面積為3，則BC的長為       5 ．【解析】過點E作EF⊥AF交AD的延長線于點F，過點D作DM⊥BC交BC于點M，因此四邊形ABMD是矩形，則BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,根據(jù)題意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,又因為∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM，從而△EDF≌△MCD,CM=EF,因為△ADE的面積為3，AD = 2，所以EF=3,所以BC=BM+CM=5.  7.如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連結AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的長.【解析】（1）∵四邊形ABCD是正方形，   ∴AB=AD，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF.（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=90o∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90o∴∠AFD=90o在正方形ABCD中， AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30o在Rt△ADF中，∠AFD=90o    AD=2 ,  ∴AF= ,  DF =1,由(1)得△ABE≌△ADF,∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=.  精解名題                              例 1.  已知：如圖 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，D為BC的中點，CE⊥AD于E，交AB于F，連接DF． 求證：∠ADC=∠BDF．證明：過B作BG⊥BC交CF延長線于G，所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因為AC⊥BC，CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．因為AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90o，所以            △ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因為∠CBF=∠GBF=45o，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．例2. 如圖 ，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求證：∠ACE=∠B+∠ECD．分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延長CE交AB于點F，即可構造全等三角形．證明：延長CE交AB于點F．∵AD平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE．∵CE⊥AD，∴∠FEA=∠CEA=90o．在△FEA和△CEA中，∠FAE=∠CAE，AE=AE，∠FEA=∠CEA．            ∴△FEA≌△CEA．∴∠ACE=∠AFE．∵∠AFE=∠B+∠ECD，∴∠ACE=∠B+∠ECD．例3．如圖，在中，、相交于點，于.求證:(1) (2)  證明：(1)在△ABE和△ADC中∴△ABE≌△ADC∴∠ABE=∠CAD(2)∵∠ABE=∠CAD∠BAP=∠A-∠CAD∴∠BAP+∠CAD=60°∠BAP+∠ABE=60°∴∠BPQ=60°  ∠PBQ=30°BP=2PQ 備選例題例：如圖：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長于E 。求證：BD＝2CE  分析：要證BD＝2CE，想到要構造線段2CE，同時CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長。                                證明：分別延長BA，CE交于點F。     ∵BE⊥CF  （已知）     ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定義）在△BEF與△BEC中，   ∵        ∴△BEF≌△BEC   （ASA）     ∴CE=FE=CF  （全等三角形對應邊相等）∵∠BAC=90°  BE⊥CF （已知）  ∴∠BAC＝∠CAF＝90°  ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°  ∴∠BDA＝∠BFC，在△ABD與△ACF中        ∴△ABD≌△ACF （AAS）    ∴BD＝CF （全等三角形對應邊相等）    ∴BD＝2CE鞏固練習1.如圖，已知那么添加下列一個條件后，仍無法判定的是（  C ）A．　　 B．   C． D．【解析】選C.根據(jù)SSS可知添加A正確，根據(jù)SAS可知添加B正確, 根據(jù)HL可知添加D正確.2．如圖，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些條件可以推證△ABC≌△DFE    （ D   ）（A）BC=EF  （B）∠A=∠D  （C）AC∥DF   （D）AC=DF（第2題圖）                        （第3題圖）3．已知，如圖，AC=BC，AD=BD，下列結論，不正確的是（  A   ）（A）CO=DO （B）AO=BO  （C）AB⊥BD  （D）△ACO≌△BCO4．在△ABC內(nèi)部取一點P使得點P到△ABC的三邊距離相等，則點P應是△ABC的哪三條線交點（  B    ）（A）高   （B）角平分線  （C）中線  （D）垂直平分線已知5．下列結論正確的是   （    C  ）（A）有兩個銳角相等的兩個直角三角形全等；（B）一條斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；（C）頂角和底邊對應相等的兩個等腰三角形全等；（D）兩個等邊三角形全等.　6．下列條件能判定△ABC≌△DEF的一組是（   A   ）（A）∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF;  （B）AB=DE，BC=EF,∠A=∠D （C）∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F;（D）AB=DE，△ABC的周長等于△DEF的周長7．已知，如圖，△ABC中，AB=AC，AD是角平分線，BE=CF，則下列說法正確的有幾個     （     D  ）（1）AD平分∠EDF；（2）△EBD≌△FCD； （3）BD=CD；（4）AD⊥BC．（A）1個       （B）2個   （C）3個       （D）4個  8. 如圖，AB∥CD，E為AD上一點，且BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD．求證：AE=ED．分析：由于角平分線上一點到角的兩邊的距離相等，而點E是兩條角平分線的交點，因此我們自然想到過點E分別作AB、BC、CD的垂線段．證明：過點E作EF⊥AB，交BA的延長線于點F，作EG⊥BC，垂足為G，作EH⊥CD，垂足為H．∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，∴EF=EG．同理EG =EH．∴EF=EH．∵AB∥CD，∴∠FAE=∠D．∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE=∠DHE=90o．       在△AFE和△DHE中，∠AFE=∠DHE，EF=EH，∠FAE=∠D．∴△AFE≌△DHE．∴AE=ED．自我測試1.根據(jù)下列條件，不能判定△ABC≌△DEF的是（A ）（A）AB=DE,BC=EF, ∠A=∠D;   （B）∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF;（C）∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EF;    （D）AB=DE,BC=EF, ∠B=∠E.2.如圖1-92所示，已知AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，圖中全等三角形有（ D   ）（A）3對  （B）4對（C）5對  （D）6對3.如圖1-93所示，已知△ABD和△ACE都是等邊三角形，那么△ADC≌△ABE的根據(jù)是（ B  ）（A）邊邊邊（B）邊角邊   （C）角邊角（D）角角邊4.如圖1-94所示，已知在△ABC中, ∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，AB=8cm，那么△DEB的周長為（  D  ）（A）4cm  （B）cm  （C）6cm  （D）8cm   5. 具有下列條件的兩個三角形，不可以證明它們?nèi)鹊氖牵?/span>  D ）（A）兩角相等，且其對應角所對的邊也相等;   （B）兩角相等，且有一邊也相等; （C）一邊相等，且這邊上的高也相等;    （D）兩邊相等，且其中一條對應邊的對角相等。6. 到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（　 D?。?/span>（Ａ）三條中線的交點       （Ｂ）三條高的交點（Ｃ）三條邊的垂直平分線的交點  （Ｄ）三條角平分線的交點7．.如圖，在△ABC中，∠B=60°，AD,CE分別平分∠BAC, ∠BCA,且AD與CE的交點為F，求證FE=FD.8. 如圖，已知△ABC的周長為21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC與D，且OD=3，求△ABC的面積。9. 如圖，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求證：AB=AD.證明：∵AC平分∠BAD∴∠BAC＝∠DAC．  ∵∠1=∠2 ∴∠ABC＝∠ADC．在△ABC和△ADC中  ∴△ABC≌△ADC （AAS）．  ∴AB＝AD．