第14章三角形（單元基礎卷） （滿分100分，完卷時間90分鐘） 考生注意： 1．本試卷含三個大題，共25題．答題時，考生務必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效． 2．除第一、二大題外，其余各題如無特別說明，都必須在答題紙的相應位置上寫出解題的主要步驟． 一、選擇題（本大題共6小題，每題3分，滿分18分） 1．滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（　?。?A．∠B+∠A＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 C．∠A＝2∠B＝3∠C D．一個外角等于和它相鄰的一個內角 【分析】①由∠A+∠B+∠C＝180°，得∠A+∠B＝∠C＝90°； ②∠A+∠B+∠C＝180°，則∠C＝×180°＝90°； ③∠B＝∠A，∠C＝∠A，則∠A≠90°； ④一個外角和它相鄰的內角互為補角，則每一個角等于90° 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形； B、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形； C、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A≠90°，∴△ABC不是直角三角形； D、∵一個外角等于和它相鄰的內角，∴每一個角等于90°，∴△ABC是直角三角形； 故選：C． 【點評】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵． 2．考查下列命題 （1）全等三角形的對應邊上的中線、高、角平分線對應相等； （2）兩邊和其中一邊上的中線（或第三邊上的中線）對應相等的兩個三角形全等； （3）兩角和其中一角的角平分線（或第三角的角平分線）對應相等的兩個三角形全等； （4）兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上的高）對應相等的兩個三角形全等． 其中正確命題的個數(shù)有（　　） A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【分析】根據全等三角形的判定方法，此題應采用排除法，對選項逐個進行分析從而確定正確答案． 【解答】解：（1）全等三角形的對應邊上的中線、高、角平分線對應相等，故選項正確； （2）兩邊和其中一邊上的中線對應相等易證兩個三角形全等，兩邊和第三邊上的中線對應相等，可以先證明兩邊的夾角相等，再證明兩個三角形全等，故選項正確； （3）兩角和其中一角的角平分線（或第三角的角平分線）對應相等，可以用AAS或者ASA判定兩個三角形全等，故選項正確； （4）兩邊和其中一邊上的高（或第三邊上的高）對應相等時，如圖BC＝BC′，CD＝C′D′，△ABC與△ABC′不全等，故選項錯誤． 正確的有3個，故選B． 【點評】本題考查了全等三角形的判定方法，要根據選項提供的已知條件逐個分析，看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判定兩三角形全等的． 3．如圖，△ABC和△DEF中，AB＝DE、∠B＝∠DEF，添加下列哪一個條件無法證明△ABC≌△DEF（　?。? A．AC∥DF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．∠ACB＝∠F 【分析】根據全等三角形的判定定理，即可得出答． 【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠DEF， ∴添加AC∥DF，得出∠ACB＝∠F，即可證明△ABC≌△DEF，故A、D都正確； 當添加∠A＝∠D時，根據ASA，也可證明△ABC≌△DEF，故B正確； 但添加AC＝DF時，沒有SSA定理，不能證明△ABC≌△DEF，故C不正確； 故選：C． 【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，證明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，還有直角三角形的HL定理． 4．如圖，在等邊△ABC中，∠BAD＝20°，AE＝AD，則∠CDE的度數(shù)是（　?。? A．10° B．12.5° C．15° D．20° 【分析】先求出∠DAE，根據等腰三角形性質求出∠ADE＝∠AED，可求出∠ADE，再根據三角形的外角性質求出∠ADC，即可求出答案． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B＝∠BAC＝60°， ∵∠BAD＝20°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝40°， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°， ∴∠ADE＝∠AED＝×（180°﹣40°）＝70°， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+20°＝80°， ∴∠CDE＝∠CDA﹣∠ADE＝80°﹣70°＝10°． 故選：A． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質，等腰三角形的性質和判定，三角形的外角性質，三角形的內角和定理等知識點的綜合運用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力． 5．已知：如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于O點，∠1＝∠2．圖中全等的三角形共有（　?。? A．4對 B．3對 C．2對 D．1對 【分析】解此題的關鍵是三角形全等的判定定理的準確應用．三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做題時要從已知入手由易到難，不重不漏． 【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°； ∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO（AAS）． ∴AD＝AE， ∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO， ∴△ADC≌△AEB（ASA）． ∴AB＝AC， ∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△AOB≌△AOC（SAS）． ∴∠B＝∠C， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴DB＝EC； ∵∠BOD＝∠COE， ∴△BOD≌△COE（AAS）． 故選：A． 【點評】此題考查了三角形全等的判定與性質，解題的關鍵是要注意正確識圖． 6．已知△ABC≌△A′B′C′，等腰△ABC的周長為18cm，BC＝8cm，那么△A′B′C′中一定有一條底邊的長等于（　?。?A．5cm B．2cm或5cm C．8cm D．2cm或8cm 【分析】根據全等三角形的性質得出AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，分為兩種情況，求出即可． 【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′， 分為兩種情況： ①當BC是底邊時，腰AB＝AC，A′B′＝A′C′， ∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝AC＝A′B′＝A′C′， ∵等腰△ABC的周長為18cm，BC＝8cm， ∴△A′B′C′中一定有一條底邊B′C′的長是8cm， ②BC是腰時，腰是8cm， ∵等腰△ABC的周長為18cm， ∴△A′B′C′中一定有一條底邊的長是18cm﹣8cm﹣8cm＝2cm， 即底邊長是8cm或2cm， 故選：D． 【點評】本題考查了全等三角形的性質和等腰三角形的性質，注意：要進行分類討論． 二、填空題（本大題共12題，每題2分，滿分24分） 7．如圖，在△ABC和△DEF中，點B、F、C、E在同一直線上，BF＝CE，AC∥DF，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC≌△DEF，這個添加的條件可以是　AC＝DF?。ㄖ恍鑼懸粋€，不添加輔助線） 【分析】求出BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，根據SAS推出兩三角形全等即可． 【解答】解：AC＝DF， 理由是：∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， ∴BC＝EF， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案為：AC＝DF． 【點評】本題考查了全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一． 8．在△ABC中，若∠C﹣∠B＝∠A，則△ABC的外角中最小的角是　直角?。ㄌ睢颁J角”“直角”或“鈍角”） 【分析】根據三角形的內角和定理可得∠C的度數(shù)，進而得到△ABC的外角中最小的角度數(shù)． 【解答】解：∵∠C﹣∠B＝∠A， ∴∠C＝∠A+∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC的外角中最小的角是直角， 故答案為：直角． 【點評】此題主要考查了三角形外角的性質，關鍵是計算出三角形內角的最大度數(shù)． 9．如圖，在正三角形ABC中，AD⊥BC于點D，則∠BAD＝　30　°． 【分析】根據正三角形ABC得到∠BAC＝60°，因為AD⊥BC，根據等腰三角形的三線合一得到∠BAD的度數(shù)． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°， 故答案為：30． 【點評】本題考查的是等邊三角形的性質，掌握等邊三角形的三個內角都是60°和等腰三角形的三線合一是解題的關鍵． 10．已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE＝CD＝1，連接DE，則DE＝　?。? 【分析】根據等腰三角形和三角形外角性質求出BD＝DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可． 【解答】解：∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC， ∵BD為中線， ∴∠DBC＝∠ABC＝30°， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠E+∠CDE＝∠ACB， ∴∠E＝30°＝∠DBC， ∴BD＝DE， ∵BD是AC中線，CD＝1， ∴AD＝DC＝1， ∵△ABC是等邊三角形， ∴BC＝AC＝1+1＝2，BD⊥AC， 在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD＝＝， 即DE＝BD＝， 故答案為：． 【點評】本題考查了等邊三角形性質，勾股定理，等腰三角形性質，三角形的外角性質等知識點的應用，關鍵是求出DE＝BD和求出BD的長． 11．當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個“特征三角形”的最小內角的度數(shù)為　30°　． 【分析】根據已知一個內角α是另一個內角β的兩倍得出β的度數(shù)，進而求出最小內角即可． 【解答】解：由題意得：α＝2β，α＝100°，則β＝50°， 180°﹣100°﹣50°＝30°， 故答案為：30°． 【點評】此題主要考查了新定義以及三角形的內角和定理，根據已知得出β的度數(shù)是解題關鍵． 12．如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折疊該紙片，使點A落在點B處，折痕為DE，則∠CBE＝　15　°． 【分析】由AB＝AC，∠A＝50°，根據等邊對等角及三角形內角和定理，可求得∠ABC的度數(shù)，又由折疊的性質，求得∠ABE的度數(shù)，繼而求得∠CBE的度數(shù)． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°， ∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°， ∵將△ABC折疊，使點A落在點B處，折痕為DE，∠A＝50°， ∴∠ABE＝∠A＝50°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°． 故答案為：15． 【點評】此題考查了折疊的性質、等腰三角形的性質及三角形內角和定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數(shù)形結合思想的應用． 13．如果一個三角形的三個外角之比為2：3：4，則與之對應的三個內角度數(shù)分別為　100°，60°，20°?。?【分析】先根據三個外角之比為2：3：4求出三個外角的度數(shù)，再根據平角的性質求出與之對應的三個內角的度數(shù)，再求出其比值即可． 【解答】解：∵三角形的三個外角之比為2：3：4， ∴設三個內角的度數(shù)分別為2x，3x，4x． ∴2x+3x+4x＝360°，∴x＝40°，2x＝80°，3x＝120°，4x＝160°． ∴與之相對應的三個內角的度數(shù)分別為：100°，60°，20°． 【點評】此題比較簡單，考查的是三角形的外角和為360°及平角的性質． 14．現(xiàn)有四根木棒，長度分別為4cm、6cm、8cm、10cm，從中任取三根木棒，能組成三角形的個數(shù)為　3　個． 【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依據三角形三邊關系定理將不合題意的方案舍去． 【解答】解：共有4種方案： ①取4cm，6cm，8cm；由于8﹣4＜6＜8+4，能構成三角形； ②取4cm，8cm，10cm；由于10﹣4＜8＜10+4，能構成三角形； ③取4cm，6cm，10cm；由于6＝10﹣4，不能構成三角形，此種情況不成立； ④取6cm，8cm，10cm；由于10﹣6＜8＜10+6，能構成三角形． 所以有3種方案符合要求． 故答案為：3 【點評】此題考查三角形的邊時，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．當題目指代不明時，一定要分情況討論，把符合條件的保留下來，不符合的舍去． 15．如圖，AF，AD分別是△ABC的高和角平分線，且∠B＝36°，∠C＝76°，則∠DAF＝　20　度． 【分析】根據角平分線的定義和高的定義結合三角形的內角和定理來解答． 【解答】解：∵∠B＝36°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180﹣∠B﹣∠C＝180°﹣76°﹣36°＝68°， 又∵AD是∠BAC的平分線， ∴∠CAD＝68°×＝34°， 在Rt△AFC中，∠FAC＝90﹣∠C＝90°﹣76°＝14°， 于是∠DAF＝34°﹣14°＝20°． 【點評】主要考查了角平分線、三角形高的定義和三角形的內角和定理． 16．如圖所示，將等腰△ABC（AB＝AC）繞點B順時針旋轉，使A點落在B邊上的點A1處，點C落在點C1處，如果A，A1，C1三點在一直線上，那么，∠BAC＝　108°?。? 【分析】由旋轉的性質可得 AB＝A1B＝A1C，由等腰三角形的性質可得∠C1＝∠A1BC1，∠BAA1＝∠BA1A，由三角形內角和定理列出方程，即可求解． 【解答】解：由旋轉性質可知 AB＝A1B＝A1C， ∴∠C1＝∠A1BC1，∠BAA1＝∠BA1A， 設∠ABC＝x，則∠BAA1＝∠AA1B＝2x， 在△ABA1 中，∠ABA1+∠BAA1+∠AA1B＝180°， 即 x+2x+2x＝180°， 解得 x＝36°， ∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°， 故答案為108°． 【點評】本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵． 17．邊長為2的正三角形的面積是　　． 【分析】求出等邊三角形一邊上的高，即可確定出三角形面積． 【解答】解：過A作AD⊥BC， ∵AB＝AB＝BC＝2， ∴BD＝CD＝BC＝1， 在Rt△ABD中，根據勾股定理得：AD＝＝， 則S△ABC＝BC?AD＝， 故答案為：． 【點評】此題考查了等邊三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質是解本題的關鍵． 18．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為　40°或140°?。灰阎妊切我谎系闹芯€把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，則這個等腰三角形的底邊BC的長為　11cm或7cm?。?【分析】（1）分兩種情況討論：當?shù)妊切螢殇J角三角形時；當?shù)妊切螢殁g角三角形時；先求出頂角∠BAC，即可求出底角的度數(shù)． （2）分兩種情況討論：當AB+AD＝12，BC+DC＝15或AB+AD＝15，BC+DC＝12，所以根據等腰三角形的兩腰相等和中線的性質可求得，三邊長為8，8，11或10，10，7．所以BC的長為7cm或11cm． 【解答】解：（1）當?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖1， ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴三角形的頂角為40°； 當?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖2， ∵∠ABD＝50°，BD⊥AC， ∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD+∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝140° ∴三角形的頂角為140°； 綜上，三角形的頂角為40°或140°； （2）如圖3， 設AD＝xcm，則當2x+x＝12時，x＝4，即AB＝AC＝8cm， ∵周長是12+15＝27cm， ∴BC＝11cm； 當2x+x＝15時，x＝5，即AB＝AC＝10cm， ∵周長是12+15＝27cm， ∴BC＝7cm， 綜上可知，底邊BC的長為7cm或11cm． 故答案為40°或140°；7cm或11cm． 【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理，做題時，考慮問題要全面，必要的時候可以做出模型幫助解答，進行分類討論是正確解答本題的關鍵，難度適中． 三、解答題（58分） 19．如圖∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度數(shù)． 【分析】先根據三角形的外角性質求出∠ADB，再根據三角形的外角性質計算即可． 【解答】解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝40°， ∴∠ADB＝40°+45°＝85°， ∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°， ∴∠DFE＝85°+20°＝105°． 【點評】本題考查的是三角形的外角性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵． 20．如圖，已知D、E分別是AB、AC的中點，AB＝AC，求證：∠B＝∠C． 【分析】根據已知條件可以證出AD＝AE，再加上條件∠A＝∠A．AB＝AC，可利用SAS證明△ADC≌△AEB，再根據全等三角形對應角相等可得結論． 【解答】證明：∵D、E 分別是 AB、AC 的中點（已知）， ∴，（線段中點的意義）． ∵AB＝AC（已知）， ∴AD＝AE（等量代換）． 在△ADC 和△AEB 中， ， ∴△ADC≌△AEB（SAS）． ∴∠B＝∠C（全等三角形對應角相等）． 【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵． 21．已知a，b，c是一個三角形的三邊長，化簡|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|． 【分析】根據三角形三邊關系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去絕對值，合并同類項即可求解． 【解答】解：∵a，b，c 是三角形的三邊， ∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0， ∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c） ＝a+3b． 【點評】考查了三角形三邊關系，絕對值的性質，整式的加減，關鍵是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0． 22．畫△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°． 【分析】根據要求作出圖形即可． 【解答】解：如圖，△ABC即為所求作． 【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型． 23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D、F分別在AB、AC上，CF＝CB，連接CD，將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE，連接EF． （1）求證：△BCD≌△FCE； （2）若EF∥CD，求∠BDC的度數(shù)． 【分析】（1）由旋轉的性質可得：CD＝CE，再根據同角的余角相等可證明∠BCD＝∠FCE，再根據全等三角形的判定方法即可證明△BCD≌△FCE； （2）由題意：∠DCE＝90°，易求∠E＝90°，進而可求出∠BDC的度數(shù)． 【解答】（1）證明：∵將線段CD繞點C按順時針方向旋轉90°后得CE， ∴CD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠ACD＝∠FCE， 在△BCD和△FCE中， ， ∴△BCD≌△FCE（SAS）． （2）解：由題意：∠DCE＝90°， ∵EF∥CD， ∴∠E＝180°﹣∠DCE＝90°， ∴∠BDC＝90°． 【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質、同角的余角相等、旋轉的性質、平行線的性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件． 24．如圖，在等邊△ABC中，D、E分別在邊BC、AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE交BC的延長線于點F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD＝2cm，求DF的長． 【分析】（1）根據平行線的性質可得∠EDC＝∠B＝60°，根據三角形內角和定理即可求解； （2）易證△EDC是等邊三角形，再根據直角三角形的性質即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°； （2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴△EDC是等邊三角形． ∴ED＝DC＝2（cm）， ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝4（cm）． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半． 25．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD＝2，求DF、EF的長． 【分析】（1）根據平行線的性質可得∠EDC＝∠B＝60°，根據三角形內角和定理即可求解； （2）易證△EDC是等邊三角形，再根據直角三角形的性質即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°； （2）∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°， ∴△EDC是等邊三角形． ∴ED＝DC＝2， ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°， ∴DF＝2DE＝4， ∴EF＝DE＝2． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質，熟記30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵．

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