滬教版數(shù)學七年級下冊同步講練第13章相交線平行線（易錯30題專練）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

第13章相交線平行線（易錯30題專練）一．選擇題（共7小題） 1．（2021?西湖區(qū)一模）如圖，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點E、F，EG平分∠BEF，如果∠EFG＝64°，那么∠EGD的大小是（　?。? A．122° B．124° C．120° D．126° 【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BEG＝∠BEF＝58°，由平行線的性質即可得到結論．【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°， ∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°， ∵EG平分∠BEF交CD于點G， ∴∠BEG＝∠BEF＝58°， ∵AB∥CD， ∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°，故選：A．【點評】此題考查了平行線的性質與角平分線的定義．解題的關鍵是掌握兩直線平行，同旁內角互補與兩直線平行，內錯角相等定理． 2．（2019春?花都區(qū)期末）如圖，能判定直線a∥b的條件是（　?。? A．∠2+∠4＝180° B．∠3＝∠4 C．∠1+∠4＝90° D．∠1＝∠4 【分析】同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行；依據(jù)平行線的判定方法得出結論．【解答】解：A．由∠2+∠4＝180°，不能判定直線a∥b； B．由∠3＝∠4，不能判定直線a∥b； C．由∠1+∠4＝90°，不能判定直線a∥b； D．由∠1＝∠4，能判定直線a∥b；故選：D．【點評】本題主要考查了平行線的判定，解題時注意：同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行． 3．（2021春?松江區(qū)期末）如圖，下列判斷正確的是（　?。? A．∠1與∠3是同位角 B．∠3與∠4是內錯角 C．∠1與∠4是內錯角 D．∠2與∠3是同位角【分析】利用內錯角、同位角、同旁內角定義進行解答即可．【解答】解：A、∠1與∠3是同位角，原題說法正確，故此選項符合題意； B、∠3與∠4是同旁內角，原題說法錯誤確，故此選項不符合題意； C、∠1與∠4不是內錯角，原題說法錯誤，故此選項不符合題意； D、∠2與∠3不是同旁內角，原題說法錯誤，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】此題主要考查了內錯角、同位角、同旁內角，關鍵是掌握同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形． 4．（2021?饒平縣校級模擬）已知，OA⊥OC，且∠AOB：∠AOC＝2：3，則∠BOC的度數(shù)為（　?。?A．30° B．150° C．30°或150° D．90° 【分析】根據(jù)垂直關系知∠AOC＝90°，由∠AOB：∠AOC＝2：3，可求∠AOB，根據(jù)∠AOB與∠AOC的位置關系，分類求解．【解答】解：∵OA⊥OC， ∴∠AOC＝90°， ∵∠AOB：∠AOC＝2：3， ∴∠AOB＝60°．因為∠AOB的位置有兩種：一種是在∠AOC內，一種是在∠AOC外． ①當在∠AOC內時，∠BOC＝90°﹣60°＝30°； ②當在∠AOC外時，∠B′OC＝90°+60°＝150°．故選：C．【點評】此題主要考查了垂線的定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，即兩條直線互相垂直．同時做這類題時一定要結合圖形． 5．（2019春?金山區(qū)期中）下列說法正確的的是（　?。?A．如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角 B．兩直線被第三條直線所截，所得的內錯角相等 C．兩平行線被第三條直線所截，同位角相等 D．經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線平行【分析】利用對頂角的性質、平行線的性質及平行公理分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、相等的角不一定是對頂角，故此選項錯誤； B、兩平行線被第三條直線所截，所得的內錯角相等，故此選項錯誤； C、兩平行線被第三條直線所截，所得的同位角相等，故此選項正確； D、經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故此選項錯誤，故選：C．【點評】本題考查了對頂角的性質、平行線的性質及平行公理等知識，解題的關鍵是了解有關的定理及定義，難度不大． 6．（2021春?松江區(qū)期末）如圖，點P是直線l外的一點，點A、B、C在直線l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，則下列判斷不正確的是（　?。? A．線段PB的長是點P到直線l的距離 B．PA、PB、PC三條線段中，PB最短 C．線段AC的長是點A到直線PC的距離 D．線段PC的長是點C到直線PA的距離【分析】根據(jù)“從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短”；“從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離”進行判斷，即可解答．【解答】解：A、線段PB的長度叫做點P到直線l的距離，原說法正確，故此選項不符合題意； B、PA、PB、PC三條線段中，依據(jù)垂線段最短可知PB最短，原說法正確，故此選項不符合題意； C、線段PA的長度叫做點A到直線PC的距離，原說法不正確，故此選項符合題意； D、線段PC的長是點C到直線PA的距離，原說法正確，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了垂線段的性質．解題的關鍵是掌握垂線段的性質，從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂線段最短． 7．（2019春?楊浦區(qū)期中）下列說法中，正確的個數(shù)有（　?。?①直線外一點到這條直線的垂線段叫做點到直線的距離； ②經(jīng)過一點，有且只有一條直線與已知直線平行； ③兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等； ④兩條平行直線被第三條直線所截，一組內錯角的角平分線互相平行． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)平行線的性質和判定，點到直線的距離的定義，平行公理與推論逐個判斷即可．【解答】解：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離，故①錯誤；經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，故②錯誤；兩個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤；兩條平行直線被第三條直線所截，一組內錯角的角平分線互相平行，故④正確；即正確的個數(shù)是1個，故選：A．【點評】本題考查了平行線的性質和判定，點到直線的距離的定義，平行公理與推論等知識點，能熟記知識點的內容是解此題的關鍵．二．填空題（共13小題） 8．（2020春?虹口區(qū)期中）如圖，直線AB和CD的夾角是　70　度．【分析】根據(jù)鄰補角互補求出∠AOC．【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝110°． ∴∠AOC＝70°．故答案為：70．【點評】本題考查對頂角，理解對頂角，鄰補角的意義是正確判斷的前提． 9．（2021春?浦東新區(qū)校級期中）如果∠1和∠2有公共頂點，且∠1的兩邊分別垂直于∠2的兩邊，若∠1＝35°時，則∠2＝　35°或145°?。?【分析】分兩種情況分別畫圖計算可得答案．【解答】解：第一種情況，如圖： ∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°， ∴∠1＝∠2＝35°，第二種情況，如圖：∠COD＝∠2， ∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠1+∠BOC＝90°，∠1+∠AOD＝90°， ∴∠BOC＝∠AOD＝90°﹣∠1＝55°， ∴∠2＝∠COD＝∠1+∠BOC+∠AOD＝35°+55°+55°＝145°．故答案為：35°或145°．【點評】此題考查的是垂線的性質，掌握余角性質是解決此題關鍵． 10．（2019春?長寧區(qū)期末）如圖，已知直線AB，CD相交于點O，如果∠BOD＝40°，OA平分∠COE，那么∠DOE＝　100　度．【分析】根據(jù)對頂角相等求出∠AOC，再根據(jù)角平分線的定義，即可得出∠COE的度數(shù)，進而得到∠DOE的度數(shù)．【解答】解：∵∠BOD＝40°， ∴∠AOC＝∠BOD＝40°， ∵OA平分∠COE， ∴∠COE＝2∠AOC＝80°， ∴∠DOE＝180°﹣80°＝100°．故答案為：100．【點評】本題考查了對頂角相等的性質，角平分線的定義，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵． 11．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，點A到直線BC的距離是線段　AE　的長度．【分析】根據(jù)點到直線的距離及線段的長的意義可求出答案．【解答】解：∵AE⊥BC，垂足為E， ∴點A到直線BC的距離是線段AE的長度．故答案為：AE．【點評】此題考查點到直線的距離，解題的關鍵是根據(jù)點到直線的距離及線段的長的意義解答． 12．（2021春?金山區(qū)期末）如圖，在直線l1∥l2，把三角板的直角頂點放在直線l2上，三角板中60°的角在直線l1與l2之間，如果∠1＝35°，那么∠2＝　65　°．【分析】根據(jù)三角形外角性質即可求得∠3的度數(shù)，再依據(jù)平行線的性質，可求得∠3＝∠2．【解答】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1＝∠ABC＝35°， ∴∠3＝∠C+∠ABC＝30°+35°＝65°， ∵直線l1∥l2， ∴∠2＝∠3＝65°，故答案為：65．【點評】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質和判定是解題的關鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內錯角相等?兩直線平行，③同旁內角互補?兩直線平行． 13．（2020春?東城區(qū)校級期末）如圖，∠C＝90°，線段AB＝15cm，線段AD＝12cm，線段AC＝9cm，則點A到BC的距離為　9　cm．【分析】根據(jù)點到直線的距離的定義，可得答案．【解答】解：因為∠C＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距離是AC，因為線段AC＝9cm，所以點A到BC的距離為9cm．故答案為：9．【點評】本題考查了點到直線的距離．解題的關鍵是掌握點到直線的距離的定義：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離． 14．（2020春?閔行區(qū)校級期中）如圖：∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，則點A到直線BC的距離是線段　AD　的長度．【分析】根據(jù)點到直線的距離及線段的長的意義可求出答案．【解答】解：∵AD⊥BC，垂足為D， ∴點A到直線BC的距離是線段AD的長度．故答案為：AD．【點評】此題考查點到直線的距離，解題的關鍵是根據(jù)點到直線的距離及線段的長的意義解答． 15．（2019春?靜安區(qū)期中）如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB，則點B到線段CD的距離是線段　BD　的長．【分析】根據(jù)點到直線的距離，即可解答．【解答】解：∵CD⊥AB于點D， ∴點B到線段CD的距離是線段BD的長，故答案為：BD．【點評】本題考查了點到直線的距離，解決本題的關鍵是熟記點到直線的距離． 16．（2019春?浦東新區(qū)校級月考）如圖，在圖中與∠1是同位角的角有　4　個．【分析】兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角，據(jù)此解答即可．【解答】解：如圖：與∠1是同位角的角有：∠2，∠3，∠4，∠5，共4個．故答案為：4．【點評】此題主要考查了“三線八角”中的同位角的概念，掌握同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形是解答此題的關鍵． 17．（2020?南寧模擬）如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4．若進行以下操作，在邊BC上從左到右依次取點D1、D2、D3、D4，過點D1作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點E1、F2；過點D2作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點E2、F2；過點D3作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點E3、F3，則4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2020F2020）＝　40400?。? 【分析】由D1F1∥AC，D1E1∥AB，可得＝，因為AB＝5，BC＝4，所以有4D1E1+5D1F1＝20；同理有如下規(guī)律4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20．【解答】解：∵D1F1∥AC，D1E1∥AB， ∴＝，即＝， ∵AB＝5，BC＝4， ∴4D1E1+5D1F1＝20，同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2020E2020+5D2020F2020＝20， ∴4（D1E1+D2E2+…+D2020E2020）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2020＝40400；故答案為：40400．【點評】本題考查平行線的性質，探索規(guī)律．能夠根據(jù)平行線的性質和等量代換得到4D1E1+5D1F1＝20是解題的關鍵． 18．（2019春?青浦區(qū)期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOC．如果∠BOE＝65°，那么∠AOC＝　50　度．【分析】先根據(jù)角平分線的定義，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)鄰補角的和等于180°求解即可．【解答】解：∵OE平分∠BOC，∠BOE＝65°， ∴∠BOC＝2∠BOE＝2×65°＝130°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°．故答案為：50．【點評】本題考查了角平分線的定義以及鄰補角的定義．解題的關鍵是掌握角平分線的定義以及鄰補角的和等于180°，是基礎題，比較簡單． 19．（2019春?楊浦區(qū)期中）如圖，若AB∥CD∥EF，則∠x，∠y，∠z三者之間的數(shù)量關系是　∠x+∠z＝∠y　．【分析】依據(jù)AB∥CD∥EF可得出∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°，進而得到∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y，據(jù)此可得∠x+∠z＝∠y．【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴∠x+∠z+∠CEF＝180°，∠y+∠CEF＝180°， ∴∠CEF＝180°﹣（∠x+∠z），∠CEF＝180°﹣∠y， ∴∠x+∠z＝∠y．故答案為：∠x+∠z＝∠y．【點評】本題主要考查了平行線的性質，兩條平行線被地三條直線所截，同旁內角互補． 20．（2019春?松江區(qū)期末）如圖，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度數(shù)是　50°?。? 【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠BAD＝∠D，從而得到∠CAD＝∠D，再利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．【解答】解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠D， ∴∠CAD＝∠D， ∵∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，∠ACD＝80°， ∴80°+∠D+∠D＝180°，解得∠D＝50°．故答案為：50°．【點評】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．三．解答題（共10小題） 21．（2020春?嘉定區(qū)期末）閱讀并填空．已知：如圖，線BCF、線AEF是直線，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4．試說明AD∥BC．解：∵AB∥CD（已知） ∴∠4＝∠　BAE?。ā芍本€平行，同位角相等?。?∵∠3＝∠4（已知） ∴∠3＝∠　BAE?。ā〉攘看鷵Q?。?∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（　等式的性質?。?即∠BAE＝∠　DAC　 ∴∠3＝∠　DAC?。ā〉攘看鷵Q?。?∴AD∥BC（　同錯角相等，兩直線平行?。? 【分析】由AB∥CD得∠4＝∠BAE，根據(jù)等量代換，等式的性質得∠3＝∠DAC，最后由內錯角相等，兩直平行判定直線AD∥BC．【解答】解：如圖所示： ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠BAE（兩直線平行，同位角相等），又∵∠3＝∠4， ∴∠3＝∠BAE（等量代換），又∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE（角的和差）， ∴∠BAE＝∠DAC， ∴∠3＝∠DAC（等量代換）， ∴AD∥BC（內錯角相等，兩直線平行），故答案為：BAE，兩直線平行，同位角相等；BAE，等量代換，等式的性質，DAC，DAC，等量代換，同錯角相等，兩直線平行．【點評】本題綜合考查平行線的判定與性質，等式的性質，角的和差等相關知識點，重點掌握平行線的判定與性質，混淆點學生在書寫時易將平行線的判定與性質寫錯． 22．（2018春?嘉定區(qū)期中）閱讀并填空：如圖，已知DE∥BC，如果∠ADE＝∠AED，那么∠B與∠C相等嗎？為什么？解：因為DE∥BC（已知），所以∠ADE＝　∠B?。?∠AED＝∠C?。▋芍本€平行，同位角相等）?。?因為∠ADE＝∠AED（已知），所以∠B＝∠C?。ǖ攘看鷵Q）?。? 【分析】先根據(jù)平行線的性質得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，再由∠ADE＝∠AED即可得出結論．【解答】解：因為DE∥BC（已知），所以∠ADE＝∠B． ∠AED＝∠C（兩直線平行，同位角相等）．因為∠ADE＝∠AED（已知），所以∠B＝∠C（等量代換）．故答案為：∠B，（兩直線平行，同位角相等），（等量代換）．【點評】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等． 23．（2018春?靜安區(qū)期中）如圖，已知AB∥CD，∠A＝∠C，那么∠E＝∠F嗎？為什么？【分析】根據(jù)平行線的判定和性質和等量代換即可得到結論．【解答】解：∠E＝∠F，理由：∵AB∥CD（已知）， ∴∠A＝∠CDE（兩直線平行，同位角相等），又∵∠A＝∠C（已知）， ∴∠C＝∠CDE（等量代換）， ∴AE∥CF（內錯角相等，兩直線平行）， ∴∠E＝∠F（兩直線平行，內錯角相等）．【點評】本題考查了平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質定理是解題的關鍵． 24．（2021春?奉賢區(qū)期中）如圖，已知：∠ABC＝∠ADC，BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC，且∠1＝∠2．試說明：（1）AD∥BC；（2）∠A＝∠C．【分析】（1）先根據(jù)角平分線的定義得出∠3＝∠ABC，∠1＝∠ADC，再由∠ABC＝∠ADC得出∠3＝∠1，根據(jù)∠1＝∠2可得出∠2＝∠3，故AD∥BC；（2）由平行線的性質可知∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°，根據(jù)∠ABC＝∠ADC，進而可得出結論．【解答】證明：（1）如圖： ∵BE、DF分別平分∠ABC、∠ADC， ∴∠3＝∠ABC，∠1＝∠ADC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠3＝∠1，又∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴AD∥BC；（2）∵AD∥BC， ∴∠A+∠ABC＝180°，∠C+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠A＝∠C．【點評】本題考查的是平行線的性質，熟知平行線的判定與性質是解答此題的關鍵． 25．（2019春?長寧區(qū)期末）如圖，已知∠B＝∠C，D在BA的延長線上，AE是∠DAC的平分線，試說明AE與BC平行的理由．【分析】根據(jù)AE是∠DAC的角平分線和∠B＝∠C，求出∠DAE＝∠B，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得到AE與BC互相平行．【解答】解：AE與BC平行，理由是： ∵AE是∠DAC的平分線， ∴∠DAC＝2∠DAE， ∵∠DAC＝∠B+∠C，∠B＝∠C， ∴∠DAC＝2∠B， ∴∠DAE＝∠B， ∴AE∥BC．【點評】本題主要利用角平分線的定義，等邊對等角的性質，平行線的判定定理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵． 26．（2018春?普陀區(qū)期中）如圖，已知AB∥DE，∠C＝20°，∠B：∠D＝4：3，求∠BOE的度數(shù)．解：因為AB∥DE（已知），所以∠B＝∠DOB（　兩直線平行，內錯角相等?。?因為∠DOB＝∠　D　+∠　C?。ā∪切蔚囊粋€外角等于與它不相鄰的兩個內角的和?。?，所以∠　B?。健稀　+∠　C?。ǖ攘看鷵Q）．（余下說理過程請寫在下方）【分析】根據(jù)平行線的性質得到∠B＝∠COE，根據(jù)三角形外角的性質列方程求得∠COE＝80°，根據(jù)平行線的性質即可得到結論．【解答】解：因為AB∥DE（已知），所以∠B＝∠DOB（兩直線平行，內錯角相等）．因為∠DOB＝∠D+∠C（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），所以∠B＝∠D+∠C（等量代換）．因為∠B：∠D＝4：3（已知），所以可設∠B＝4x、∠D＝3x．又因為∠C＝20°（已知），所以4x＝3x+20（等量代換）．所以x＝20．所以∠B＝80°．因為AB∥DE（已知），所以∠B+∠BOE＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）．所以∠BOE＝180°﹣∠B＝100°（等式性質）．故答案為：兩直線平行，內錯角相等；D，C；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；B，D，C．【點評】本題考查了平行線的性質，三角形的外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵． 27．（2021春?閔行區(qū)校級月考）如圖，∠1＝∠2，∠DAB＝85°，那么∠B的度數(shù)是多少，為什么？【分析】由已知角度及等量代換可得∠2+∠BAC＝85°，再根據(jù)三角形的內角和為180°即可求解．【解答】解：∵∠1+∠BAC＝∠DAB＝85°，∠1＝∠2， ∴∠2+∠BAC＝85°， ∵∠B+∠2+∠BAC＝180°， ∴∠B＝180°﹣85°＝95°．故∠B的度數(shù)是95°．【點評】此題考查了三角形的內角和．解題的關鍵是掌握三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°． 28．（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，已知在△ABC中，F(xiàn)G∥EB，∠2＝∠3，說明∠EDB+∠DBC＝180°的理由．解：∵FG∥EB（　已知?。?， ∴　∠1?。健　??。?　兩直線平行，同位角相等?。?∵∠2＝∠3（已知）， ∴　∠1?。健　??。?　等量代換?。?∴DE∥BC（　內錯角相等，兩直線平行?。?， ∴∠EDB+∠DBC＝180°（　兩直線平行，同旁內角互補?。? 【分析】利用平行線的性質和判定解答即可【解答】解：∵FG∥EB（已知）， ∴∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等）． ∵∠2＝∠3（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代換）． ∴DE∥BC（內錯角相等，兩直線平行）． ∴∠EDB+∠DBC＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）．故答案為：已知；∠1；∠2；兩直線平行，同位角相等；∠1；∠3；等量代換；內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內角互補．【點評】本題考查平行線的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型． 29．（2021春?濟寧期末）如圖，已知AD⊥BC，垂足為點D，EF⊥BC，垂足為點F，∠1+∠2＝180°．請?zhí)顚憽螩GD＝∠CAB的理由． ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90° （　垂直定義?。?， ∴∠ADC＝∠EFC， ∴AD∥　EF?。ā⊥唤窍嗟?，兩直線平行?。?， ∴∠　3　+∠2＝180°（　兩直線平行，同旁內角互補　）， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠　1?。健稀??。ā⊥堑难a角相等?。?， ∴DG∥　AB?。ā儒e角相等，兩直線平行?。?， ∴∠CGD＝∠CAB．【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出AD∥EF，根據(jù)平行線的性質得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根據(jù)平行線的判定得出DG∥AB，根據(jù)平行線的性質得出∠CGD＝∠CAB即可．【解答】解：∠CGD＝∠CAB，理由如下： ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定義）， ∴∠ADC＝∠EFD， ∴AD∥EF（同位角相等，兩直線平行）， ∴∠3+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內角互補）， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠3（同角的補角相等）， ∴DG∥AB（內錯角相等，兩直線平行）， ∴∠CGD＝∠CAB．故答案為：垂直定義；EF；同位角相等，兩直線平行；3；兩直線平行，同旁內角互補；1；3；同角的補角相等；AB；內錯角相等，兩直線平行．【點評】本題考查了平行線的性質和判定，垂直定義，補角定義的應用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：平行線的性質有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角相等，③兩直線平行，同旁內角互補，反之亦然． 30．（2018春?奉賢區(qū)期中）已知：AB∥DE．（1）如圖1，點C是夾在AB和DE之間的一點，當AC⊥CD時，垂足為點C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，例如（i）過點C作AB的平行線；（ii）過點C作DE的平行線；（iii）聯(lián)結AD；（iv）延長AC、DE相交于一點．請你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．（2）如圖2，點C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點，請想一想：∠A+∠C1+∠C2+∠D＝　540　度，并說明理由．（3）如圖3，隨著AB與CD之間點增加，那么∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝　180（n+2）　度．（不必說明理由）【分析】（1）過點C作AB的平行線CF，利用平行線的性質，即可得到∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，再根據(jù)AC⊥CD，即可得出∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）過C1作C1F∥AB，過C2作C2G∥DE，則利用平行線的性質，即可得到∠A+∠C1+∠C2+∠D的度數(shù)；（2）利用規(guī)律即可得到∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖1，過點C作AB的平行線CF， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠A+∠ACF＝180°，∠DCF+∠D＝180°， ∴∠A+∠ACD+∠D＝180°×2＝360°，又∵AC⊥CD， ∴∠A+∠D＝360°﹣90°＝270°；（2）如圖2，過C1作C1F∥AB，過C2作C2G∥DE，則 ∵AB∥DE， ∴C1F∥AB∥C2G∥DE， ∴∠A+∠AC1F＝180°，∠FC1C2+∠C1C2G＝180°，∠GC2D+∠D＝180°， ∴∠A+∠AC1C2+∠C1C2D+∠D＝180°×3＝540°，故答案為：540；（3）如圖3，∠A+∠C1+∠C2+……+∠Cn+1+∠D＝180°×（n+2），故答案為：180（n+2）．【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補．