滬教版數(shù)學(xué)七年級下冊同步講練第13章相交線平行線（典型30題專練）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第13章相交線平行線（典型30題專練）一．選擇題（共14小題） 1．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則表示點(diǎn)A到直線CD距離的是（　?。? A．線段CD的長度 B．線段AC的長度 C．線段AD的長度 D．線段BC的長度【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度即為該點(diǎn)到這條直線的距離作答．【解答】解：點(diǎn)A到CD的距離是線段AD的長度．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，能熟記點(diǎn)到直線的距離的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵． 2．（2020秋?婺城區(qū)校級期末）如圖圖形中，∠1和∠2不是同位角的是（　?。?A． B． C． D．【分析】根據(jù)同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵選項(xiàng)B中∠1和∠2是由四條直線組成， ∴∠1和∠2不是同位角．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查的是同位角的定義，掌握同位角的定義是解題的關(guān)鍵． 3．（2020秋?浦東新區(qū)期末）如圖，不能推斷AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4+∠5 D．∠B+∠1+∠2＝180° 【分析】根據(jù)平行線的判定方法分別進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、∠1＝∠5可根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得AD∥BC，故此選項(xiàng)不合題意； B、∠2＝∠4可根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得AB∥DC，故此選項(xiàng)符合題意； C、∠3＝∠4+∠5可根據(jù)同位角相等兩直線平行可得AD∥BC，故此選項(xiàng)不合題意； D、∠B+∠1+∠2＝180°可根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得AD∥BC，故此選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理． 4．（2021春?奉賢區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，且∠ADC＝60°，那么下列說法中錯誤的是（　　） A．直線AD與直線BC的夾角為60° B．直線AC與直線BC的夾角為90° C．線段CD的長是點(diǎn)D到直線AC的距離 D．線段AB的長是點(diǎn)B到直線AD的距離【分析】根據(jù)已知角即可判斷A、B；根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可判斷C、D．【解答】解：A、∵∠CDA＝60°， ∴直線AD與直線BC的夾角是60°，正確，故本選項(xiàng)錯誤； B、∵∠ACD＝90°， ∴直線AC與直線BC的夾角是90°，正確，故本選項(xiàng)錯誤； C、∵∠ACD＝90°， ∴DC⊥AC， ∴線段CD的長是點(diǎn)D到直線AC的距離，正確，故本選項(xiàng)錯誤； D、∵BD和AD不垂直， ∴線段AB的長不是點(diǎn)B到直線AD的距離，錯誤，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，注意：點(diǎn)到直線的距離是指該點(diǎn)到直線的垂線段的長． 5．（2021春?黃浦區(qū)期末）下列說法正確的是（　?。?A．如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角 B．經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 C．如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯角相等 D．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短【分析】根據(jù)對頂角的定義，平行線的定義，平行公理和垂線的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷，即可求出答案．【解答】A、如果兩個角相等，那么這兩個角不一定是對頂角，還要看這兩個角的位置關(guān)系，所以錯誤； B、經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項(xiàng)錯誤； C、如果兩條直線被第三條直線所截，那么內(nèi)錯角不一定相等，應(yīng)強(qiáng)調(diào)是兩直線平行，是錯誤的； D、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，正確；故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了平行公理及推論，用到的知識點(diǎn)是對頂角的定義，平行線的定義，平行公理和垂線的性質(zhì)，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題． 6．（2021春?松江區(qū)期中）如圖，直線AB，CD，EF相交于點(diǎn)O，則∠AOE+∠DOB+∠COF等于（　?。? A．150° B．180° C．210° D．120° 【分析】根據(jù)對頂角相等和周角的定義求三個角的和．【解答】解：∵∠COF與∠DOE是對頂角， ∴∠COF＝∠DOE， ∴∠AOE+∠DOB+∠COF＝∠AOE+∠DOB+∠COF＝×360°＝180°．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了利用對頂角相等計(jì)算角的度數(shù)的能力． 7．（2021春?宣化區(qū)期末）如圖，下列判斷中錯誤的是（　?。? A．由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C＝180° C．由∠1＝∠2得到AD∥BC D．由AD∥BC得到∠3＝∠4 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定，逐一判定．【解答】解：A、由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），正確； B、由AB∥CD得到∠ABC+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），正確； C、由∠1＝∠2得到AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），正確； D、由AD∥BC得到∠1＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），所以此選項(xiàng)錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)．解題時注意內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角的確定，關(guān)鍵是找到哪兩條直線被第三條直線所截構(gòu)造的內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角． 8．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖所示，能說明AB∥DE的有（　?。?①∠1＝∠D；②∠CFB+∠D＝180°；③∠B＝∠D；④∠BFD＝∠D． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】在復(fù)雜的圖形中具有相等關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線．【解答】解：①∵∠1＝∠D， ∴AB∥DE（同位角相等，兩直線平行）； ②∵∠CFB＝∠AFD（對頂角相等），又∠CFB+∠D＝180°， ∴∠AFD+∠D＝180°， ∴AB∥DE（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）； ③中的∠B和∠D不符合“三線八角”，不能構(gòu)成平行的條件； ④∵∠BFD＝∠D，∴AB∥DE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；所以①②④都能說明AB∥DE．故選：C．【點(diǎn)評】正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行． 9．（2020春?華亭市期末）如圖，點(diǎn)E在BC的延長線上，由下列條件不能得到AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠DCE C．∠3＝∠4 D．∠D+∠DAB＝180° 【分析】根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行逐一分析解答即可．【解答】解：A、正確，符合內(nèi)錯角相等，兩條直線平行的判定定理； B、正確，符合同位角相等，兩條直線平行的判定定理； C、錯誤，若∠3＝∠4，則AD∥BE； D、正確，符合同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行的判定定理；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的判定定理，比較簡單． 10．（2021春?無為市期末）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5 【分析】根據(jù)對頂角、平行線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、∵∠1與∠2是對頂角， ∴∠1＝∠2，本選項(xiàng)說法正確； B、∵AD與AB不平行， ∴∠2≠∠3，本選項(xiàng)說法錯誤； C、∵AD與CB不平行， ∴∠3≠∠4，本選項(xiàng)說法錯誤； D、∵CD與CB不平行， ∴∠1≠∠5，本選項(xiàng)說法錯誤；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是對頂角、平行線的性質(zhì)，掌握對頂角相等、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 11．（2021?惠州一模）如圖，a∥b，點(diǎn)B在直線b上，且AB⊥BC，∠1＝36°，那么∠2＝（　?。? A．54° B．56° C．44° D．46° 【分析】先根據(jù)AB⊥BC，即可得到∠3＝90°﹣∠1＝54°．再根據(jù)a∥b，即可得出∠3＝∠2＝54°．【解答】解：∵AB⊥BC，∠1＝36°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝54°． ∵a∥b， ∴∠3＝∠2＝54°．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)，熟練掌握垂線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． 12．（2021春?費(fèi)縣期末）如圖所示，已知OA⊥BC，垂足為點(diǎn)A，連接OB，下列說法：①線段OB是O、B兩點(diǎn)的距離；②線段AB的長度表示點(diǎn)B到OA的距離；③因?yàn)镺A⊥BC，所以∠CAO＝90°；④線段OA的長度是點(diǎn)O到直線BC上點(diǎn)的最短距離．其中錯誤的有（　?。? A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，兩點(diǎn)之間的距離，垂線段最短逐個判斷即可．【解答】解：線段OB的長度是O、B兩點(diǎn)的距離，故①錯誤；線段AB的長度表示點(diǎn)B到OA的最短距離，故②正確； ∵OA⊥BC， ∴∠CAO＝90°，故③正確；線段OA的長度是點(diǎn)O到直線BC上點(diǎn)的最短距離，故④正確；錯誤的有①，共1個，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，兩點(diǎn)之間的距離，垂線段最短等知識點(diǎn)，注意：①從直線外一點(diǎn)向這條直線作垂線，這點(diǎn)和垂足之間線段的長，叫做這點(diǎn)到直線的距離，②連接兩點(diǎn)之間線段的長度，叫兩點(diǎn)之間的距離． 13．（2020?香洲區(qū)校級一模）如圖，直線AC和直線BD相交于點(diǎn)O，若∠1+∠2＝70°，則∠BOC的度數(shù)是（　?。? A．100° B．115° C．135° D．145° 【分析】根據(jù)對頂角和鄰補(bǔ)角的定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠1＝∠2，∠1+∠2＝70°， ∴∠1＝∠2＝35°， ∴∠BOC＝180°﹣∠1＝145°，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了鄰補(bǔ)角、對頂角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力． 14．（2021?浦東新區(qū)模擬）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它們的兩個直角頂點(diǎn)重合，兩條斜邊平行（如圖所示），那么∠1的度數(shù)是（　　） A．75° B．90° C．100° D．105° 【分析】通過在∠1的頂點(diǎn)作斜邊的平行線可得∠1＝105°．【解答】解：如圖：過∠1的頂點(diǎn)作斜邊的平行線，利用平行線的性質(zhì)可得，∠1＝60°+45°＝105°．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．二．填空題（共8小題） 15．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖直線AB，CD相交于O，直線FE⊥AB于O，∠BOD＝75°，則∠COF的度數(shù)為　15　度．【分析】利用圖中角與角的關(guān)系即可求得，即∠COF＝∠DOE＝90°﹣∠BOD．【解答】解：∵直線FE⊥AB于O， ∴∠BOE＝90°， ∵∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD，∠BOD＝75°， ∴∠DOE＝15°， ∴∠COF＝∠DOE＝15°．故答案為：15．【點(diǎn)評】此題考查的知識點(diǎn)是垂線、角的計(jì)算及對頂角知識，關(guān)鍵是根據(jù)垂線、垂線定義得出所求角與已知角的關(guān)系轉(zhuǎn)化求解． 16．（2021春?青浦區(qū)期中）已知∠A＝30°，∠A的兩邊與∠B的兩邊分別平行，∠B＝　30°或150°　．【分析】根據(jù)當(dāng)兩角的兩邊分別平行時，兩角的關(guān)系可能可能相等也可能互補(bǔ)，即可得出答案．【解答】解：當(dāng)∠A的兩邊與∠B的兩邊如圖1所示時，∠B＝∠A＝30°；當(dāng)∠A的兩邊與∠B的兩邊如圖1所示時，∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°．故答案為：30°或150°．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，解答此題時要注意進(jìn)行分類討論，不要漏解． 17．（2021春?普陀區(qū)期中）如圖，如果∠A+　∠B?。?80°，那么AD∥BC．【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵∠A+∠B＝180°， ∴AD∥BC．故答案為∠B．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定定理，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵． 18．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，則　DE∥BC　．【分析】由DF平分∠CDE，∠CDF＝55°可得∠CDE＝110°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可得結(jié)論．【解答】解：∵DF平分∠CDE，∠CDF＝55°， ∴∠CDE＝2∠CDF＝110°， ∵∠C＝70°， ∴∠C+∠CDE＝70°+110°＝180°， ∴DE∥BC．故答案為：DE∥BC．【點(diǎn)評】本題考查平行線的判定，熟練的掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵． 19．（2021春?松江區(qū)期中）如圖，和∠A是同位角的有　∠BED和∠CDE?。? 【分析】根據(jù)同位角的定義，可得答案．【解答】解：由圖，得 ∠A的同位角是∠BED和∠CDE，故答案為：∠BED和∠CDE．【點(diǎn)評】本題考查了同位角，解答此類題確定三線八角是關(guān)鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關(guān)鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達(dá)要注意理解它們所包含的意義． 20．（2021春?饒平縣校級期末）如圖，下列條件中：（1）∠B+∠BCD＝180°；（2）∠1＝∠2；（3）∠3＝∠4；（4）∠B＝∠5，能判定AB∥CD的條件個數(shù)有　3　個．【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可判斷．【解答】解：（1）∠B+∠BCD＝180°，則AB∥CD；（2）∠1＝∠2，則AD∥BC；（3）∠3＝∠4，則AB∥CD；（4）∠B＝∠5，則AB∥CD，故能判定AB∥CD的條件個數(shù)有3個．故答案為：3．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行． 21．（2021?湖北模擬）如圖，一只因損壞而傾斜的椅子，從背后看到的形狀如圖，其中兩組對邊的平行關(guān)系沒有發(fā)生變化，若∠1＝75°，則∠2的大小是　105°?。? 【分析】先根據(jù)AD∥BC求出∠3的度數(shù)，再根據(jù)AB∥CD即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，∵AD∥BC，∠1＝75°， ∴∠3＝∠1＝75°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．故答案為：105°．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 22．（2021?南寧二模）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為　50　°．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵直線m∥n， ∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故答案為：50 【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共8小題） 23．（2021春?金山區(qū)期末）已知：如圖，AB∥CD，AD和BC交于點(diǎn)O，E為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，且∠CEF+∠BOD＝180°．求證：∠EFC＝∠A．【分析】由AB∥DC可得到∠A與∠D的關(guān)系，再由∠CEF+∠BOD＝180°可得到∠CEF＝∠COD，根據(jù)平行線的判定定理可得EF∥AD，可得∠D與∠EFC的關(guān)系，等量代換可得結(jié)論．【解答】證明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D， ∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°， ∴∠CEF＝∠DOC． ∴EF∥AD． ∴∠EFC＝∠D， ∵∠A＝∠D， ∴∠EFC＝∠A．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和判定方法是解決本題的關(guān)鍵． 24．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）已知：如圖∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，請你說明∠1與∠2相等嗎？為什么？解：因?yàn)椤螦ED＝∠C（已知）所以　DE　∥　BC?。ā⊥唤窍嗟?，兩直線平行?。?所以∠B+∠BDE＝180° （　兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?。?因?yàn)椤螪EF＝∠B（已知）所以∠DEF+∠BDE＝180° （　等量代換?。?所以　EF　∥　AB?。ā⊥詢?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，?。?所以∠1＝∠2 （　兩直線平行，內(nèi)錯角相等　）．【分析】先判斷出DE∥BC得出∠B+∠BDE＝180°，再等量代換，即可判斷出EF∥AB即可．【解答】解：因?yàn)椤螦ED＝∠C（已知）所以 DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）所以∠B+∠BDE＝180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）因?yàn)椤螪EF＝∠B（已知）所以∠DEF+∠BDE＝180° （等量代換）所以 EF∥AB（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）所以∠1＝∠2 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．故答案為：DE，BC，同位角相等，兩直線平行，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，等量代換 EF，AB，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵． 25．（2021秋?虎林市期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，F(xiàn)O⊥CD于點(diǎn)O，若∠BOD：∠EOB＝2：3，求∠AOF的度數(shù)．【分析】設(shè)∠BOD＝2x，∠EOB＝3x；根據(jù)題意列出方程3x+3x+2x＝180°，得出x＝22.5°，求出∠AOC＝∠BOD＝45°，即可求出∠AOF＝90°﹣∠AOC＝45°．【解答】解：設(shè)∠BOD＝2x，∠EOB＝3x； ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠EOB＝3x，則3x+3x+2x＝180°，解得：x＝22.5°， ∴∠BOD＝45°， ∴∠AOC＝∠BOD＝45°， ∵FO⊥CD， ∴∠AOF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°．【點(diǎn)評】本題考查了垂線、對頂角、鄰補(bǔ)角的知識；弄清各個角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 26．（2021春?濟(jì)寧期末）如圖，已知AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，EF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠1+∠2＝180°．請?zhí)顚憽螩GD＝∠CAB的理由． ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90° （　垂直定義?。?， ∴∠ADC＝∠EFC， ∴AD∥　EF　（　同位角相等，兩直線平行?。?， ∴∠　3　+∠2＝180°（　兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?。?， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠　1?。健稀??。ā⊥堑难a(bǔ)角相等?。?， ∴DG∥　AB?。ā?nèi)錯角相等，兩直線平行?。?， ∴∠CGD＝∠CAB．【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行得出AD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3+∠2＝180°，求出∠1＝∠3，根據(jù)平行線的判定得出DG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CGD＝∠CAB即可．【解答】解：∠CGD＝∠CAB，理由如下： ∵AD⊥BC，EF⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∠EFC＝90°（垂直定義）， ∴∠ADC＝∠EFD， ∴AD∥EF（同位角相等，兩直線平行）， ∴∠3+∠2＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠3（同角的補(bǔ)角相等）， ∴DG∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）， ∴∠CGD＝∠CAB．故答案為：垂直定義；EF；同位角相等，兩直線平行；3；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；1；3；同角的補(bǔ)角相等；AB；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，垂直定義，補(bǔ)角定義的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，反之亦然． 27．（2021春?宣化區(qū)期末）如圖，已知AM∥BN，∠A＝60°，點(diǎn)P是射線AM上一動點(diǎn)（與A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C、D，（推理時不需要寫出每一步的理由）（1）求∠CBD的度數(shù)．（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，那么∠APB：∠ADB的度數(shù)比值是否隨之發(fā)生變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律．（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數(shù)．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可求得∠ABN，再根據(jù)角平分線的定義和整體思想可求得∠CBD；（2）由平行線的性質(zhì)可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分線的定義可求得結(jié)論；（3）由平行線的性質(zhì)可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，結(jié)合條件可得到∠DBN＝∠ABC，且∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC的度數(shù)．【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ABP+∠PBN＝120°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝120°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；（2）不變，∠APB：∠ADB＝2：1． ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB＝2：1；（3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN，當(dāng)∠ACB＝∠ABD時，則有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN，由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°， ∴∠ABC+∠DBN＝60°， ∴∠ABC＝30°．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角相等?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c． 28．（2021春?長沙縣期末）如圖，直線AE、CF分別被直線EF、AC所截，已知，∠1＝∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG．將下列證明AB∥CD的過程及理由填寫完整．證明：因?yàn)椤?＝∠2，所以　AE　∥　CF　，（　同位角相等，兩直線平行　）所以∠EAC＝∠ACG，（　兩直線平行，內(nèi)錯角相等?。?因?yàn)锳B平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以　∠3?。?，　∠4?。?，所以　∠3?。健　?　，所以AB∥CD（　內(nèi)錯角相等，兩直線平行?。? 【分析】利用平行線的判定及性質(zhì)就可求得本題．即同位角相等，兩直線平行．內(nèi)錯角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．反之即為性質(zhì)．【解答】證明：因?yàn)椤?＝∠2，所以AE∥CF（同位角相等，兩直線平行），所以∠EAC＝∠ACG（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），因?yàn)锳B平分∠EAC，CD平分∠ACG，所以∠3＝，∠4＝，所以∠3＝∠4，所以AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行線的判定即同位角相等，兩直線平行．內(nèi)錯角相等，兩直線平行．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．平行線的判定即兩直線平行，同位角相等．兩直線平行，內(nèi)錯角相等．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 29．（2021春?烏海期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說明：BE∥CF．完善下面的解答過程，并填寫理由或數(shù)學(xué)式：解： ∵∠3＝∠4（已知） ∴AE∥　BC?。ā?nèi)錯角相等，兩直線平行?。?∴∠EDC＝∠5（　兩直線平行，內(nèi)錯角相等?。?∵∠5＝∠A（已知） ∴∠EDC＝　∠A　（　等量代換?。?∴DC∥AB（　同位角相等，兩直線平行?。?∴∠5+∠ABC＝180°（　兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?。?即∠5+∠2+∠3＝180° ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3＝180°（　等量代換?。?即∠BCF+∠3＝180° ∴BE∥CF（　同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?。? 【分析】可先證明BC∥AF，可得到∠A+∠ABC＝180°，結(jié)合條件可得∠2+∠3+∠5＝180°，可得到∠1+∠3+∠5＝180°，可證明BE∥CF．【解答】解： ∵∠3＝∠4（已知） ∴AE∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） ∴∠EDC＝∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） ∵∠5＝∠A（已知） ∴∠EDC＝∠A （等量代換） ∴DC∥AB（同位角相等，兩直線平行） ∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）即∠5+∠2+∠3＝180° ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換）即∠BCF+∠3＝180° ∴BE∥CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；故答案為：BC；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠A；等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【點(diǎn)評】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a∥b，b∥c?a∥c． 30．（2021春?肥西縣期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝　110°?。?問題遷移：如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．（1）當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動時（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】過P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝50°+60°＝110°．（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在AB的延長線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】解：過P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°， ∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案為：110°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角．