一．全等三角形的判定與性質(zhì)
（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．
二．全等三角形的應(yīng)用
（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用
用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．
（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形
常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．
（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用
一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．
一．全等三角形的判定與性質(zhì)（共9小題）
1．（2020秋?寶山區(qū)校級期末）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，AB＝DC，AE∥DF，AE＝DF，求證：EC＝FB．
2．（2021秋?普陀區(qū)期末）如圖，已知點(diǎn)B、D、C、F在同一條直線上，AB∥EF，AB＝EF，AC∥DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的長等于（ ）
A．1B．C．2D．3
3．（2021秋?崇明區(qū)校級期末）已知：如圖，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE．求證：∠AFC＝2∠ADC．
4．（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）如圖，△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，且ED⊥AB于點(diǎn)F，且AB＝DE，CD交AB于點(diǎn)M．
（1）求證：BD＝2EC；
（2）求△ACM與△BCM的面積之比．
5．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE與CD相交于點(diǎn)F．
求證：（1）∠ADC＝∠AEB；
（2）FD＝FE．
6．（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）已知在△ABC中，AB＝AC，在邊AC上取一點(diǎn)D，以D為頂點(diǎn)，DB為一條邊作∠BDF＝∠A，點(diǎn)E在AC的延長線上，∠ECF＝∠ACB．
求證：（1）∠FDC＝∠ABD；
（2）DB＝DF；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在AC延長線上時，DB＝DF是否依然成立？在備用圖中畫出圖形，并說明理由．
7．（2021春?金山區(qū)期末）閱讀并填空：如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E在邊BC上，且AD＝AE，說明BD＝CE的理由．
解：因?yàn)锳B＝AC，
所以 ；（等邊對等角）
因?yàn)? ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等邊對等角）
因?yàn)椤螦ED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性質(zhì)）
在△ABD與△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 ．（全等三角形的對應(yīng)邊相等）
8．（2021秋?松江區(qū)期末）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC＝5，AD＝2，那么AB的長是 ．
9．（2021秋?普陀區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD與高BE相交于點(diǎn)F，G為BF的中點(diǎn)．
求證：（1）DG＝DE；
（2）∠DEG＝∠DEC．
二．全等三角形的應(yīng)用（共3小題）
10．（2021春?金山區(qū)期末）如圖，有兩根鋼條AB、CD，在中點(diǎn)O處以小轉(zhuǎn)軸連在一起做成工具（卡鉗），可測量工件內(nèi)槽的寬．如果測量AC＝2cm，那么工件內(nèi)槽的寬BD＝ cm．
11．（2020春?嘉定區(qū)期末）如圖，兩車從路段MN的兩端同時出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時間后分別到達(dá)A，B兩地，兩車行進(jìn)的路線平行．那么A，B兩地到路段MN的距離相等嗎？為什么？
12．（2019春?嘉定區(qū)期末）如圖，兩車從路段A，B的兩端同時出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時間后分別到達(dá)C，D兩地，兩車行進(jìn)的路線平行．那么C，D兩地到路段AB的距離相等嗎？為什么？
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
一．選擇題（共3小題）
1．（2016秋?天津期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一些塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶（ ）
A．第1塊B．第2塊C．第3塊D．第4塊
2．（2015?義烏市）如圖，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點(diǎn)A，C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△ABC≌△ADC，這樣就有∠QAE＝∠PAE．則說明這兩個三角形全等的依據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
3．（2021秋?營山縣期中）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，則AD的取值范圍是（ ）
A．0＜AD＜12B．1＜AD＜6C．0＜AD＜6D．2＜AD＜12
二．填空題（共10小題）
4．（2021秋?沂水縣期中）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一條直線上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，則EC＝ ．
5．（2021春?楊浦區(qū)期末）在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，AB＝3cm，AC＝5cm，那么DE＝ cm．
6．（2015秋?蒙城縣期末）如圖所示，將兩根鋼條AA′，BB′的中點(diǎn)O連在一起，使AA′，BB′可以繞著點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動，就做成了一個測量工具，則A′B′的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是 ．
7．（2009?楊浦區(qū)二模）如圖所示，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶 去玻璃店．
8．（2021秋?普陀區(qū)期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD、BE相交于點(diǎn)F，如果BF＝AC，BC＝8，CD＝2，那么AF＝ ．
9．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）如圖，△ABC的周長為26，點(diǎn)D、E都在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為Q，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為P，若BC＝10，則DE的長是 ．
10．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）△ABC中，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，則AD的取值范圍是 ．
11．（2021春?鹽湖區(qū)校級期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，且BD交AC于點(diǎn)O，在BD上取一點(diǎn)E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝70°，則∠BDC的度數(shù)為 ．
12．（2021秋?長沙期中）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分別為E，D，AD＝25，DE＝17，則BE＝ ．
13．（2021秋?梅里斯區(qū)期末）小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），你認(rèn)為將其中的哪一塊帶去，就能配一塊與原來一樣大小的三角形？應(yīng)該帶第 塊．
三．解答題（共15小題）
14．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．為什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意義），
∴∠EBA＝∠FCD（ ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性質(zhì)），
即 ．（完成以下說理過程）
15．（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）已知，如圖，△ABC中，∠C＝90°，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥CD于D，交BC于E，且有AC＝AD＝CE，求證：DE＝CD．
16．（2020春?普陀區(qū)期末）如圖，已知AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）說明△ABC與△DEF全等的理由；
（2）如果AC＝CF，∠1＝30°，∠D＝105°，求∠AFC的度數(shù)．
17．（2019秋?徐匯區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，M、N分別是BA、BC上的點(diǎn)，且∠MDN+∠MBN＝180°，求證：DM＝DN．
18．（2021春?浦東新區(qū)月考）如圖所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，M是BC的中點(diǎn)，MF∥DA交BA的延長線于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，求證：BE＝CF．
19．（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，已知在等腰△ABC中AB＝AC，點(diǎn)D，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是BC，AB和AC邊上的點(diǎn)，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，試說明DE＝DF．
20．（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，CE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，AD＝DC，CE和AD交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BF，試說明∠FBD＝45°．
21．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，試說明點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)的理由．
22．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在三角形ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B與∠C相等嗎？為什么？
23．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線CE，使CE∥AB，交AD的延長線于點(diǎn)E．試說明AD＝ED的理由．
解：因?yàn)镃E∥AB（已知），
所以∠BAD＝ （ ）．
因?yàn)辄c(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，
所以 ，
在△ABD和△ECD中，
，
所以△ABD≌△ECD（ ），
所以AD＝ED（ ）．
24．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠1＝∠2．
（1）說明△ADE≌△BFE的理由；
（2）聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是 ，請說明理由．
25．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知△ABC與△BDE都是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上，說明CE∥AB的理由．
解：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等邊三角形的意義）．
因?yàn)椤鰾DE是等邊三角形（已知），
所以∠BE＝60°，BD＝BE（等邊三角形的意義）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性質(zhì)），
得∠ABD＝ ．
在△ABD與△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（ ）．
所以∠A＝ （ ）．
又因?yàn)椤螦＝∠ABC，
所以∠ABC＝ （等量代換）．
所以CE∥AB（ ）．
26．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知△ADE≌△CBF，頂點(diǎn)A、D、E分別與頂點(diǎn)C、B、F對應(yīng)，據(jù)此可以判斷圖中有哪幾組直線互相平行？請說明理由．
27．（2021春?普陀區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在BC、AB上，AE＝AC，過點(diǎn)E作EF∥BC交AC于F，EC平分∠DEF．說明∠BAD＝∠CAD．
28．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，已知∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度數(shù)．
題組B 能力提升練
一．填空題（共2小題）
1．（2021秋?浦東新區(qū)期中）如圖，已知AD是△ABC的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于F，AC＝BF，∠DAC＝24°，∠EBC＝32°，則∠ACB＝ ．
2．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，則∠DEF的度數(shù)是 ．
二．解答題（共15小題）
3．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD中，BC＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，求證：AB＝AD．
4．（2021春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．則線段AB，BE，CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
5．（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E為BD上一點(diǎn)，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延長線于點(diǎn)F．
（1）AD和BC相等嗎？為什么？
（2）BF和BD相等嗎？為什么？
6．（2020秋?奉賢區(qū)期末）已知：在△ABC中，AB＝6，AC＝5，△ABC的面積為9．點(diǎn)P為邊AB上動點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD∥AC，交CP的延長線于點(diǎn)D．∠ACP的平分線交AB于點(diǎn)E．
（1）如圖1，當(dāng)CD⊥AB時，求PA的長；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時，請猜想并證明：線段AC、CD、DB的數(shù)量關(guān)系．
7．（2020春?虹口區(qū)期中）如圖，已知E、F是BD上的兩點(diǎn)，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，請?zhí)顚慉D∥BC的理由．
解：因?yàn)锳E∥CF（已知），
所以∠AED＝ （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．
因?yàn)锽E＝DF（已知），
所以BE+EF＝DF+EF（ ），
即BF＝DE．
在△ADE與△CBF中
，
所以△ADE≌△CBF（ ）．
得∠ADE＝∠CBF（ ）．
所以AD∥BC（ ）．
8．（2020秋?普陀區(qū)期中）如圖，已知AB＝AC，BD＝CD，過點(diǎn)D作DE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E、DF⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)F，垂足分別為點(diǎn)E、F．
（1）求證：∠DBE＝∠DCF．
（2）求證：BE＝CF．
9．（2019秋?浦東新區(qū)期末）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC于D，垂足分別為點(diǎn)D、E，AD與BE相交于點(diǎn)F．求證：DF＝DC．
10．（2019春?青浦區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上．如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．為什么？
解：因?yàn)锽E∥CF（已知），所以∠EBC＝∠FCB（ ）．
因?yàn)椤螮BC+∠EB4＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意義），所以 （ ）．
因?yàn)锳C＝BD（已知），所以AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性質(zhì)），即 （完成以下說理過程）．
11．（2019春?奉賢區(qū)期末）閱讀并填空：
如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，D是邊AC延長線上的一點(diǎn)，E在邊AB上，且聯(lián)接DE交BC于O，如果OE＝OD，那么CD＝BE，為什么？
解：過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于F，
所以∠ACB＝∠EFB（兩直線平行，同位角相等），
∠D＝∠OEF（ ），
在△OCD與△OFE中，
，
所以△OCD≌OFE，（ ），
所以CD＝FE（ ），
因?yàn)锳B＝AC（已知），
所以∠ACB＝∠B（ ），
所以∠EFB＝∠B（等量代換），
所以BE＝FE，
所以CD＝BE．
12．（2019秋?浦東新區(qū)期中）在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點(diǎn)M．
（1）如圖1，若∠AOB＝∠COD＝40°：
①AC與BD的數(shù)量關(guān)系為 ；
②∠AMB的度數(shù)為 ．
（2）如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°：
①判斷AC與BD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
②求∠AMB的度數(shù)．
13．（2018秋?松江區(qū)期末）在△ABC中，點(diǎn)Q是BC邊上的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作與線段BC相交的直線l，過點(diǎn)B作BN⊥l于N，過點(diǎn)C作CM⊥l于M．
（1）如圖1，如果直線l過點(diǎn)Q，求證：QM＝QN；
（2）如圖2，若直線l不經(jīng)過點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)QM，QN，那么第（1）問的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明過程；若不成立，請說明理由．
14．（2018秋?金山區(qū)期末）已知：如圖，A、F、C、D在同一直線上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，
求證（1）BC＝EF；
（2）BC∥EF．
15．（2021秋?浦東新區(qū)期中）如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D．
（1）求證：BD＝CD．
（2）如圖2，若∠BAC的角平分線AE交BC于點(diǎn)E，求證：AB+BE＝AC．
（3）如圖3，若∠BAC的外角平分線AE交CB的延長線于點(diǎn)E，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論．
16．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）當(dāng)點(diǎn)D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；
（2）將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．
17．（2014春?金堂縣期末）一條大河兩岸的A、B處分別立著高壓線鐵塔，如圖所示．假設(shè)河的兩岸平行，你在河的南岸，請利用現(xiàn)有的自然條件、皮尺和標(biāo)桿，并結(jié)合你學(xué)過的全等三角形的知識，設(shè)計(jì)一個不過河便能測量河的寬度的好辦法．（要求，畫出示意圖，并標(biāo)出字母，結(jié)合圖形簡要敘述你的方案）

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初中數(shù)學(xué)滬教版（五四制）（2024）七年級下冊電子課本 舊教材

14.4 全等三角形的判定

版本： 滬教版（五四制）（2024）

年級： 七年級下冊

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