第13章 相交線 平行線（壓軸30題專練） 一．選擇題（共5小題） 1．（2020春?固安縣期末）小明、小亮、小剛、小穎一起研究一道數(shù)學(xué)題．如圖，已知EF⊥AB，CD⊥AB， 小明說(shuō)：“如果還知道∠CDG＝∠BFE，則能得到∠AGD＝∠ACB．” 小亮說(shuō)：“把小明的已知和結(jié)論倒過(guò)來(lái)，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．” 小剛說(shuō)：“∠AGD一定大于∠BFE．” 小穎說(shuō)：“如果連接GF，則GF一定平行于AB．” 他們四人中，有（　　）個(gè)人的說(shuō)法是正確的． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由EF⊥AB，CD⊥AB，知CD∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定即可得出答案； 【解答】解：已知EF⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥EF， （1）若∠CDG＝∠BFE， ∵∠BCD＝∠BFE， ∴∠BCD＝∠CDG， ∴DG∥BC， ∴∠AGD＝∠ACB． （2）若∠AGD＝∠ACB， ∴DG∥BC， ∴∠BCD＝∠CDG，∠BCD＝∠BFE， ∴∠CDG＝∠BFE． （3）由題意知，EF∥DC， ∴∠BFE＝∠DCB＜∠ACB， 如下圖， ①當(dāng)DG∥BC時(shí)，則∠AGD＝∠ACB＞∠BFE， 即∠AGD一定大于∠BFE； ②當(dāng)GD（GD′、GD″）與BC不平行時(shí)， 如圖，設(shè)DG∥BC， 當(dāng)點(diǎn)G′在點(diǎn)G的上方時(shí)， ∵∠AG′D＞AGD， 由①知，∠AG′D一定大于∠BFE； 當(dāng)點(diǎn)G″在點(diǎn)G的下方時(shí)， 見(jiàn)上圖，則∠AG″D不一定大于∠BFE， 綜上，∠AGD不一定大于∠BFE； （4）如果連接GF，則GF不一定平行于AB； 綜上知：正確的說(shuō)法有兩個(gè)． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)與判定． 2．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點(diǎn)E是邊DC上一點(diǎn)，連接AE交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點(diǎn)G，若∠DEH＝100°，則∠BEG的度數(shù)為（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，則AB∥CD，則∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解． 【解答】解：設(shè)FBE＝∠FEB＝α，則∠AFE＝2α， ∠FEH的角平分線為EG，設(shè)∠GEH＝∠GEF＝β， ∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°， 而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD， ∠DEH＝100°，則∠CEH＝∠FAE＝80°， ∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β， 在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180° 故β﹣α＝40°， 而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到角平行線、外角定理，本題關(guān)鍵是落腳于△AEF內(nèi)角和為180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，題目難度較大． 3．（2021春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期末）如圖，將長(zhǎng)方形ABCD沿線段EF折疊到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，則∠DFC'的度數(shù)為（　?。? A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)可求出∠EFC的度數(shù)，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度數(shù)． 【解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°， ∴∠EFC+∠EFC'＝200°， ∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變化（軸對(duì)稱）的性質(zhì)及角的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握并能夠靈活運(yùn)用軸對(duì)稱變換的性質(zhì)等． 4．如圖，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AD∥BC，BD，CD，AP，DP分別平分∠ABC，∠ACE，∠BAC，∠BDC，則∠P的度數(shù)為（　?。? A．30° B．42° C．45° D．50° 【分析】利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)得到AP⊥BC，進(jìn)而得到∠PAD＝90°；設(shè)∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x，用x的代數(shù)式表示出∠PAC的度數(shù)，設(shè)∠BDP＝∠CDP＝y(tǒng)，在等腰三角形ADC中用x，y的代數(shù)式表示出∠DAC，利用∠PAD＝90°列出等式，求得x+y的值，則∠ADP＝45°，在Rt△APD中，結(jié)論可求． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分線， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∴AB＝AD． 同理：AC＝AD． ∴AB＝AC． ∵AP平分∠BAC， ∴AP⊥BC． ∵AD∥BC， ∴AP⊥AD． ∴∠PAD＝90°． 設(shè)∠ADB＝∠CBD＝∠ADB＝x， ∴∠ABC＝2x． ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝2x． ∴∠PAC＝90°﹣2x． ∵DP平分∠BDC， ∴設(shè)∠BDP＝∠CDP＝y(tǒng)， ∴∠BDC＝2y． ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝x+2y． ∵AC＝DA， ∴∠ACD＝∠ADC＝x+2y． ∴∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣2（x+2y）． ∵∠PAD＝90°， ∴∠PAC+∠DAC＝90°． ∴90°﹣2x+180°﹣2（x+2y）＝90°． 整理得：x+y＝45°， ∵∠ADP＝∠ADB+∠BDP＝x+y， ∴∠ADP＝45°． ∴∠P＝90°﹣∠ADP＝45°． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠PAD＝90°是解題的關(guān)鍵． 5．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知直線AB，CD被直線AC所截，AB∥CD，E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不在直線AB，CD，AC上），設(shè)∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③180°﹣α﹣β，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度數(shù)可能是（　?。? A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】根據(jù)點(diǎn)E有6種可能位置，分情況進(jìn)行討論，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解即可． 【解答】解：（1）如圖1，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如圖2，過(guò)E2作AB平行線，則由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． 當(dāng)AE2平分∠BAC，CE2平分∠ACD時(shí)， ∠BAE2+∠DCE2＝（∠BAC+∠ACD）＝180°＝90°， 即α+β＝90°， 又∵∠AE2C＝∠BAE2+∠DCE2， ∴∠AE2C＝180°﹣（α+β）＝180°﹣α﹣β； （3）如圖3，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如圖4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． （5）（6）當(dāng)點(diǎn)E在CD的下方時(shí)，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 綜上所述，∠AEC的度數(shù)可能為β﹣α，α+β，α﹣β，180°﹣α﹣β，360°﹣α﹣β． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等． 二．填空題（共9小題） 6．（2018秋?嵩縣期末）如圖，若過(guò)點(diǎn)P1，P2作直線m的平行線，則∠1、∠2、∠3、∠4間的數(shù)量關(guān)系是　∠2+∠4＝∠1+∠3?。? 【分析】分別過(guò)點(diǎn)P1、P2作P1C∥m，P2D∥m，由平行線的性質(zhì)可知，∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4， 所以∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3． 【解答】解：分別過(guò)點(diǎn)P1、P2作P1C∥m，P2D∥m， ∵m∥n， ∴P1C∥P2D∥m∥n， ∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4， ∴∠1+∠P1P2D+∠DP2B＝∠AP1C+∠CP1P2+∠4，即∠2+∠4＝∠1+∠3． 故答案為：∠2+∠4＝∠1+∠3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等． 7．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合，擺放在桌面上，當(dāng)∠AOC＝　105°或75°　時(shí)，AB所在直線與CD所在直線互相垂直． 【分析】可分兩種情況：當(dāng)AB⊥直線CD時(shí)，AB，BO分別交DC的延長(zhǎng)線于M，N點(diǎn)；當(dāng)AB⊥CD時(shí)，AB，AO分別交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，結(jié)合三角板的特征計(jì)算可求解． 【解答】解：當(dāng)AB⊥直線CD時(shí)，AB，BO分別交DC的延長(zhǎng)線于M，N點(diǎn)，如圖， ∴∠BMN＝90°， ∵∠B＝45°， ∴∠CNO＝∠BNM＝45°， ∵∠DCO＝60°，∠DCO＝∠CNO+∠BOC， ∴∠BOC＝60°﹣45°＝15°， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+15°＝105°； 當(dāng)AB⊥CD時(shí)，AB，AO分別交CD于點(diǎn)E，F(xiàn)， ∴∠AEC＝90°， ∵∠A＝45°， ∴∠CFO＝∠AFE＝90°﹣45°＝45°， ∵∠CFO＝∠AOD+∠D，∠D＝30°， ∴∠AOD＝45°﹣30°＝15°， ∵∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝90°﹣15°＝75°． 綜上，∠AOC的度數(shù)為105°或75°． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂線，角的計(jì)算，正確掌握三角形的特征是解題的關(guān)鍵． 8．（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，則∠AFC＝　88°?。? 【分析】先求出∠CAB＝120°，在求出∠CAF的度數(shù)，在△ACE中求出∠ACE度數(shù)，設(shè)∠FCE＝x，則∠FCD＝4x，進(jìn)而表示出∠ACF，再表示出∠ACE，求出x，進(jìn)一步可求得結(jié)果． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BAE：∠CAE＝2：3， ∴∠CAE＝120×＝72°， ∵∠AEC＝78°， ∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE ＝180°﹣78°﹣72° ＝30°， 設(shè)∠FCE＝x，則∠FCD＝4x， ∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x， ∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x， ∴60°﹣3x＝30°， ∴x＝10°， ∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°， ∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE ＝180°﹣20°﹣72° ＝88°， 故答案是：88°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角的和差關(guān)系等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清角與角的數(shù)量關(guān)系． 9．（2021春?東港區(qū)校級(jí)期末）把一張對(duì)邊互相平行的紙條，折成如圖所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，則下列結(jié)論：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正確的有 　3　個(gè)． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)由AC′∥BD′，得到∠C′EF＝∠EFB＝32°；根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠C′EF＝∠FEC，則∠C′EC＝2×32°＝64°，利用平角的定義得到∠AEC＝180°﹣64°＝116°；再根據(jù)折疊性質(zhì)有∠BFD＝∠EFD′，利用平角的定義得到∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°；根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠BGE＝∠C′EC＝2×32°． 【解答】解：∵AC′∥BD′， ∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正確； ∵∠C′EF＝∠FEC， ∴∠C′EC＝2×32°＝64°， ∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°＝6960′，所以②錯(cuò)誤； ∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正確； ∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正確． 故答案為3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 10．（2021春?遵義期末）同一平面內(nèi)有n條不重合直線，其中任何兩條都不平行，則它們相交所成的角中最小角的度數(shù)不超過(guò) 　?。?【分析】運(yùn)用特殊到一般的思想進(jìn)行分析． 【解答】解：當(dāng)同一平面內(nèi)有2條不重合的直線，若使得它們相交所成的角中最小角最大，當(dāng)這2條直線相交形成的夾角均相等，則這2條直線相交所成的角中最小角最大為； 當(dāng)同一平面內(nèi)有3條不重合的直線，若使得它們相交所成的角中最小角最大，當(dāng)這3條直線相交形成的夾角均相等，則這3條直線相交所成的角中最小角最大為； 當(dāng)同一平面內(nèi)有4條不重合的直線，若使得它們相交所成的角中最小角最大，當(dāng)這4條直線相交形成的夾角均相等，則這4條直線相交所成的角中最小角最大為； … 以此類推，當(dāng)同一平面內(nèi)有n條不重合的直線，若使得它們相交所成的角中最小角最大，當(dāng)這n條直線相交形成的夾角均相等，則這n條直線相交所成的角中最小角最大為． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的定義，熟練運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵． 11．（2021春?長(zhǎng)葛市期末）將一副三角板按如圖放置，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝45°，∠E＝60°，則：①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝30°，則有AC∥DE；④如果∠2＝45°，則有BC∥AD．上述結(jié)論中正確的是 ?、佗冖邰堋。ㄌ顚?xiě)序號(hào)）． 【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可． 【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3，故①正確； ②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°， ∴∠CAD+∠2＝180°，故②正確； ③∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠E＝60°， ∴AC∥DE，故③正確； ④∵∠2＝45°， ∴∠3＝∠B＝45°， ∴BC∥AD，故④正確． 故答案為：①②③④． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)． 12．（2021春?渦陽(yáng)縣期末）如圖，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若設(shè)∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y(tǒng)°則∠P1＝?。▁+y）　度（用x，y的代數(shù)式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，則∠Pn＝?。ǎ﹏﹣1（x+y）　度． 【分析】本題的關(guān)鍵是作過(guò)P1的輔助線MN∥AB，然后利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，結(jié)合歸納推理思想解決本題． 【解答】解：（1）如圖，分別過(guò)點(diǎn)P1、P2作直線MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y(tǒng)°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴＝． ． 以此類推：，，...，． 故答案為：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 【點(diǎn)評(píng)】主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，利用歸納推理的思想解決． 13．（2021春?襄城縣月考）已知∠1的兩邊分別平行于∠2的兩邊，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為　40°或140°　． 【分析】①圖1時(shí)，由兩直線平行，同位角相等，等量代換和角的和差計(jì)算出∠2的度數(shù)為40°； ②圖2時(shí)，同兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，等量代換和角的和差計(jì)算出∠2的度數(shù)為140°． 【解答】解：①若∠1與∠2位置如圖1所示： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠3， 又∵DC∥EF， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝40°， ∴∠2＝40°； ②若∠1與∠2位置如圖2所示： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠3， 又∵DC∥EF， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2+∠1＝180°， 又∵∠1＝40° ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°， 綜合所述：∠2的度數(shù)為40°或140°， 故答案為：40°或140°． 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，角的和差，等量代換，鄰補(bǔ)角性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握平行線的性質(zhì)，難點(diǎn)是兩個(gè)角的兩邊分別平行是射線平行，分類畫(huà)出符合題意的圖形后計(jì)算． 14．（2021春?樂(lè)清市期末）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒1°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時(shí)間為t秒，如圖2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時(shí)，則所有滿足條件的t的值為 　30或120?。? 【分析】根據(jù)題意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如圖1，當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，分兩種情況討論：①DE在MN上方時(shí)，②DE在MN下方時(shí)，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)I，①DF在MN上方時(shí)，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方時(shí)，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可． 【解答】解：由題意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°， （1）如圖1，當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P， ①DE在MN上方時(shí)， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM＝∠MPA， ∵M(jìn)N∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°， ∴t＝30， ②DE在MN下方時(shí)，∠FDP＝2t°﹣180°， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDP＝∠MPA， ∵M(jìn)N∥GH， ∴∠MPA＝∠HAC， ∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°， ∴t＝210（不符合題意，舍去）， （2）當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)I， ①DF在MN上方時(shí)，∠FDN＝180°﹣2t°， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴AI∥DF， ∴∠FDN+∠MIA＝90°， ∵M(jìn)N∥GH， ∴∠MIA＝∠HAC， ∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°， ∴t＝120， ②DF在MN下方時(shí)，∠FDN＝180°﹣2t°， ∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF， ∴AC∥DE， ∴∠AIM＝∠MDE， ∵M(jìn)N∥GH， ∴∠MIA＝∠HAC， ∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°， ∴t＝210（不符合題意，舍去）， 綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120． 故答案為：30或120． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)． 三．解答題（共16小題） 15．（2021春?烏海期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說(shuō)明：BE∥CF． 完善下面的解答過(guò)程，并填寫(xiě)理由或數(shù)學(xué)式：解： ∵∠3＝∠4（已知） ∴AE∥　BC　（　內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行　） ∴∠EDC＝∠5（　兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等?。?∵∠5＝∠A（已知） ∴∠EDC＝　∠A　 （　等量代換?。?∴DC∥AB（　同位角相等，兩直線平行?。?∴∠5+∠ABC＝180°（　兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)　） 即∠5+∠2+∠3＝180° ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3＝180°（　等量代換?。?即∠BCF+∠3＝180° ∴BE∥CF（　同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行?。? 【分析】可先證明BC∥AF，可得到∠A+∠ABC＝180°，結(jié)合條件可得∠2+∠3+∠5＝180°，可得到∠1+∠3+∠5＝180°，可證明BE∥CF． 【解答】解： ∵∠3＝∠4（已知） ∴AE∥BC（ 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） ∴∠EDC＝∠5（ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∵∠5＝∠A（已知） ∴∠EDC＝∠A （等量代換） ∴DC∥AB（ 同位角相等，兩直線平行） ∴∠5+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） 即∠5+∠2+∠3＝180° ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代換） 即∠BCF+∠3＝180° ∴BE∥CF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）； 故答案為：BC；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；∠A；等量代換；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內(nèi)錯(cuò)角相等，③兩直線平行?同旁內(nèi)角互補(bǔ)，④a∥b，b∥c?a∥c． 16．（2020秋?雁江區(qū)期末）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)． 小明的思路是過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，通過(guò)平行線的性質(zhì)來(lái)求∠APC． （1）按照小明的思路，求∠APC的度數(shù)； （2）問(wèn)題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在射線ON上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P不在B、D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)O、B、D三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫(xiě)出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系． 【分析】（1）過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)可得∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°再代入∠PAB＝130°，∠PCD＝120°可求∠APC即可； （2）過(guò)P作PE∥AB交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （3）分兩種情況：P在BD延長(zhǎng)線上；P在DB延長(zhǎng)線上，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 【解答】（1）解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． （2）∠APC＝∠α+∠β， 理由：如圖2，過(guò)P作PE∥AB交AC于E， ∵AB∥CD， ∴AB∥PE∥CD， ∴∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠α+∠β； （3）如圖所示，當(dāng)P在BD延長(zhǎng)線上時(shí)， ∠CPA＝∠α﹣∠β； 如圖所示，當(dāng)P在DB延長(zhǎng)線上時(shí)， ∠CPA＝∠β﹣∠α． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用． 17．（2021春?上海期中）問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)． 小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，如圖2，通過(guò)平行線性質(zhì)來(lái)求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為　110°??；請(qǐng)說(shuō)明理由； 問(wèn)題遷移： （2）如圖3，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，則∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系． 【分析】（1）過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)求∠APC即可； （2）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案； （3）畫(huà)出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案． 【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°， ∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°， ∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°． 故答案為110°． （2）∠CPD＝∠α+∠β， 理由是：如圖3，過(guò)P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE， ∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β； （3）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)， ∠CPD＝∠β﹣∠α； 當(dāng)P在AB延長(zhǎng)線時(shí)， ∠CPD＝∠α﹣∠β． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，難度適中． 18．（2021春?黃浦區(qū)期中）如圖，已知∠A＝∠C，EF∥DB．說(shuō)明∠AEF＝∠D的理由． 解：因?yàn)椤螦＝∠C（已知） 所以　AB　∥　CD　（　內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行　） 所以∠D＝∠B （　兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等?。?又因?yàn)镋F∥DB （已知） 所以∠AEF＝∠B （　兩直線平行，同位角相等?。?又因?yàn)椤螪＝∠B （已證） 所以∠AEF＝∠D （　等量代換?。? 【分析】根據(jù)∠A＝∠C可得到AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠B＝∠D，首先根據(jù)EF∥BD可得到∠AEF＝∠B，再由（1）中證出的∠B＝∠D可利用等量代換得到∠AEF＝∠D． 【解答】解：因?yàn)椤螦＝∠C，（已知） 所以 AB∥CD，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 所以∠D＝∠B，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又因?yàn)镋F∥DB，（已知） 所以∠AEF＝∠B（兩直線平行，同位角相等） 又因?yàn)椤螪＝∠B （已證） 所以∠AEF＝∠D （ 等量代換） 故答案為：AB，CD，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同位角相等，等量代換． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定定理與性質(zhì)定理． 19．（2020春?崇明區(qū)期中）如圖a，已知長(zhǎng)方形紙帶ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠BFE＝70°，將紙帶沿EF折疊后，點(diǎn)C、D分別落在H、G的位置，再沿BC折疊成圖b． （1）圖a中，∠AEG＝　40　°； （2）圖a中，∠BMG＝　50　°； （3）圖b中，∠EFN＝　30　°． 【分析】（1）先根據(jù)∠BFE＝70°求出∠HFM的度數(shù)，進(jìn)可得出∠EFC的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠DEF的度數(shù)，由平角的定義即可得出結(jié)論； （2）由（1）知，∠HFM＝40°，再由翻折變換的性質(zhì)得出∠H＝∠C＝90°，由三角形內(nèi)角和定理得出∠HMF的度數(shù)，根據(jù)對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論； （3）先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠MFN＝∠HFM＝40°，再由∠BFE＝70°即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵∠BFE＝70°， ∴∠HFM＝180°﹣140°＝40°． ∴∠EFC＝70°+40°＝110°． ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝180°﹣110°＝70°， ∴∠GEF＝∠DEF＝70°， ∴∠AEG＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故答案為：40； （2）∵由（1）知，∠HFM＝40°，∠H＝∠C＝90°， ∴∠HMF＝90°﹣40°＝50°． ∵∠HMF與∠BMG是對(duì)頂角， ∴∠BMG＝∠HMF＝50°． 故答案為：50； （3）∵△MNF由△MHF翻折而成， ∴∠MFN＝∠HFM＝40°， ∵∠BFE＝70°， ∴∠EFN＝∠BFE﹣∠MFN＝70°﹣40°＝30°． 故答案為：30． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． 20．（2019春?靜安區(qū)期中）（1）如圖α示，AB∥CD，且點(diǎn)E在射線AB與CD之間，請(qǐng)說(shuō)明∠AEC＝∠A+∠C的理由． （2）現(xiàn)在如圖b示，仍有AB∥CD，但點(diǎn)E在AB與CD的上方， ①請(qǐng)嘗試探索∠1，∠2，∠E三者的數(shù)量關(guān)系． ②請(qǐng)說(shuō)明理由． 【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可； （2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)證明即可． 【解答】解： （1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB； ∴∠A＝∠AEF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥CD（平行的傳遞性）， ∴∠FEC＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， ∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC（圖上可知） ∴∠AEC＝∠A+∠C（等量代換）； （2）∠1+∠2﹣∠E＝180°， 說(shuō)理如下：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB ∴∠AEF+∠1＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）， ∵AB∥CD（已知） ∴EF∥CD（平行的傳遞性）， ∴∠FEC＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， 即∠CEA+∠AEF＝∠2 ∴∠AEF＝∠2﹣∠CEA（等式性質(zhì)） ∴∠2﹣∠CEA+∠1＝180°（等量代換）， 即∠1+∠2﹣∠AEC＝180° 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，作輔助線并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 21．（2019春?閔行區(qū)期中）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CD． （1）若OC恰好是∠AOE的平分線，則OA是∠COF的平分線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）若∠EOF＝5∠BOD，求∠COE的度數(shù)． 【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)和垂直的定義易得∠AOC＝＝45°，再由OF⊥CD，可得∠COF＝90°，易得∠AOF，由垂直的定義可得結(jié)論； （2）設(shè)∠AOC＝x，易得∠BOD＝x，可得∠COE＝90°﹣x，∠EOF＝180°﹣x，利用∠EOF＝5∠BOD，解得x，可得∠COE． 【解答】解：（1）OA是∠COF的平分線． ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∵OC恰好是∠AOE的平分線， ∴∠AOC＝＝45°， ∵OF⊥CD， ∴∠COF＝90°， ∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣45°＝45°， ∴OA是∠COF的平分線； （2）設(shè)∠AOC＝x， ∴∠BOD＝x， ∵∠AOE＝90°， ∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝90°﹣x， ∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝90°﹣x+90°＝180°﹣x， ∵∠EOF＝5∠BOD， ∴180°﹣x＝5x， 解得x＝30， ∴∠COE＝90°﹣30°＝60°． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義和垂直的定義，設(shè)∠AOC＝x，利用方程是解答此題的關(guān)鍵． 22．（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖，是一個(gè)由4條線段構(gòu)成的“魚(yú)”形圖案，已知：∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．找出圖中所有的平行線，并說(shuō)明理由． 【分析】根據(jù)平行線的判定方法即可解決問(wèn)題； 【解答】解：∵∠1＝50°，∠2＝50°， ∴∠1＝∠2， ∴BF∥CE， ∵∠2＝50°，∠3＝130°， ∴∠2+∠3＝180°， ∴BC∥EF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定方法，屬于中考常考題型． 23．（2018春?閔行區(qū)期末）如圖，已知∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2，請(qǐng)說(shuō)明BF∥EG的理由． （請(qǐng)寫(xiě)出每一步的依據(jù)） 【分析】直接利用平行線的判定與性質(zhì)得出∠FBE＝∠BEG，進(jìn)而得出答案． 【解答】解：∵∠ABE+∠CEB＝180°， ∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）， ∴∠ABE＝∠BED（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， ∵∠1＝∠2， ∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（等式的基本性質(zhì)）， ∴∠FBE＝∠BEG（等量代換）， ∴BF∥EG（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，得出∠ABE＝∠BED是解題關(guān)鍵． 24．（2017秋?市南區(qū)期末）如圖，∠ABD和∠BDC的平分線交于E，BE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F，∠1+∠2＝90°，求證： （1）AB∥CD； （2）∠2+∠3＝90°． 【分析】（1）根據(jù)角平分線定義得出∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2，根據(jù)∠1+∠2＝90°得出∠ABD+∠BDC＝180°，根據(jù)平行線的判定得出即可； （2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠1＝∠3，即可求出答案． 【解答】證明：（1）∵∠ABD和∠BDC的平分線交于E， ∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠ABD+∠BDC＝180°， ∴AB∥CD； （2）∵BF平分∠ABD， ∴∠ABF＝∠1， ∵AB∥CD， ∴∠ABF＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2+∠3＝90°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義和平行線的性質(zhì)和判定，能根據(jù)平行線的判定得出AB∥CD是解此題的關(guān)鍵． 25．（2018春?浦東新區(qū)期中）作圖并寫(xiě)出結(jié)論： 如圖，點(diǎn)P是∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，請(qǐng)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)出OA，OB的垂線，分別交BO 的延長(zhǎng)線于M、N，線段　PN　的長(zhǎng)表示點(diǎn)P到直線BO的距離；線段　PM　的長(zhǎng)表示點(diǎn)M到直線AO的距離； 線段ON的長(zhǎng)表示點(diǎn)O到直線　PN　的距離；點(diǎn)P到直線OA的距離為　0　． 【分析】先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義得出即可． 【解答】解：如圖所示： 線段PN的長(zhǎng)表示點(diǎn)P到直線BO的距離；線段PM的長(zhǎng)表示點(diǎn)M到直線AO的距離； 線段ON的長(zhǎng)表示點(diǎn)O到直線PN的距離；點(diǎn)P到直線OA的距離為0， 故答案為：PN，PM，PN，0． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，能熟記點(diǎn)到直線的距離的定義是解此題的關(guān)鍵． 26．（2018春?浦東新區(qū)期中）已知AB∥DE，CD⊥BF，∠ABC＝128°，求∠CDF的度數(shù)． 解：過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB ∴∠1+∠ABC＝180°（　兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)?。?∵AB∥DE（已知） ∴CG∥DE（　平行的傳遞性?。?∴∠CDF＝∠2 （　兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等?。?∵∠ABC＝128°（已知）∴∠1＝180°﹣　128°?。健?2　° ∵CD⊥DF（已知）∴∠DCB＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝38° ∴∠CDF＝38°（　等量代換?。? 【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可． 【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CG∥AB ∴∠1+∠ABC＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)） ∵AB∥DE（已知） ∴CG∥DE（平行的傳遞性） ∴∠CDF＝∠2 （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ） ∵∠ABC＝128°（已知）∴∠1＝180°﹣128°＝52° ∵CD⊥DF（已知）∴∠DCB＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝38° ∴∠CDF＝38°（等量代換） 故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；平行的傳遞性；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；128°（或∠ABC），52；等量代換． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵． 27．（2018春?浦東新區(qū)期中）如圖，已知∠1＝∠B，∠2＝∠E，請(qǐng)你說(shuō)明AB∥DE的理由． 【分析】先根據(jù)∠1＝∠B得出AB∥CF，再由∠2＝∠E可知CF∥DE，最后根據(jù)兩條直線同時(shí)平行第三條直線，那么這兩條直線平行即可解答． 【解答】證明：∵∠1＝∠B（已知） ∴AB∥CF （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） ∵∠2＝∠E（已知） ∴CF∥DE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） ） ∴AB∥DE（平行同一條直線的兩條直線平行）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵． 28．（2018春?浦東新區(qū)期中）已知：AD⊥BC，垂足為D，EG⊥BC，垂足為點(diǎn)G，EG交AB于點(diǎn)F，且AD平分∠BAC，試說(shuō)明∠E＝∠AFE的理由． 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出EG∥AD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CAD＝∠E，∠DAB＝∠AFE，即可得出答案． 【解答】解：理由是：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠EGD＝90°（垂直的意義）， ∴EG∥AD（同位角相等，兩直線平行）， ∴∠E＝∠CAD（兩直線平行，同位角相等）， ∠AFE＝∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）， ∵AD平分∠BAC（已知）， ∴∠BAD＝∠CAD（角平分線定義）， ∴∠E＝∠AFE（等量代換）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能根據(jù)平行線的判定推出AD∥EG是解此題的關(guān)鍵． 29．（2018春?青浦區(qū)期中）推理填空： 已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1＝∠2，求證：BE∥CF． 證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知） ∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90° ∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余 又∵∠1＝∠2 （　已知　）， ∴　∠3?。健　??。ā〉冉堑挠嘟窍嗟取。?∴BE∥CF （　內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行?。? 【分析】先根據(jù)垂直的定義得出∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，再由∠1＝∠2可得出∠3＝∠4，由此可得出結(jié)論． 【解答】證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （已知） ∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90° ∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余 又∵∠1＝∠2 （已知）， ∴∠3＝∠4（等角的余角相等）， ∴BE∥CF （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）． 故答案為：已知；∠3＝∠4，等角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵． 30．（2017春?浦東新區(qū)期中）已知，OB∥AC，∠B＝∠A＝110°，試回答下列問(wèn)題： （1）如圖①，說(shuō)明BC∥OA的理由． （2）如圖②，若點(diǎn)E、F在線段BC上，且滿足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC等于　35　度；（在橫線上填上答案即可）． （3）在（2）的條件下，若左右平行移動(dòng)AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說(shuō)明理由；若不變，求出這個(gè)比值． （4）在（2）的條件下，如果平行移動(dòng)AC的過(guò)程中，如圖③，若使∠OEB＝∠OCA，此時(shí)∠OCA等于　52.5　度．（在橫線上填上答案即可）． 【分析】（1）由同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明． （2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA，算出結(jié)果． （3）先得出結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化，理由為：由BC與AO平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代換得到一對(duì)角相等，再利用外角性質(zhì)等量代換即可得證； （4）由（2）（3）的結(jié)論可得． 【解答】解：（1）∵BC∥OA， ∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A， ∴∠A+∠O＝180°， ∴OB∥AC； （2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝110°， ∴∠BOA＝70°， ∵OE平分∠BOF， ∴∠BOE＝∠EOF，又∵∠FOC＝∠AOC， ∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝35°； 故答案為：35； （3）結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為： ∵BC∥OA， ∴∠FCO＝∠COA， 又∵∠FOC＝∠AOC， ∴∠FOC＝∠FCO， ∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB， ∴∠OCB：∠OFB＝1：2； （4）由（1）知：OB∥AC， 則∠OCA＝∠BOC， 由（2）可以設(shè)：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β， 則∠OCA＝∠BOC＝2α+β， ∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β， ∵∠OEB＝∠OCA， ∴2α+β＝α+2β， ∴α＝β， ∵∠AOB＝70°， ∴α＝β＝17.5°， ∴∠OCA＝2α+β＝35°+17.5°＝52.5°． 故答案為：52.5． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，以及角的計(jì)算，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

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