一．三角形
（1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
組成三角形的線段叫做三角形的邊．
相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)．
相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角．
（2）按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．
（4）三角形具有穩(wěn)定性．
二．三角形的角平分線、中線和高
（1）從三角形的一個頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．
（2）三角形一個內(nèi)角的平分線與這個內(nèi)角的對邊交于一點(diǎn)，則這個內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．
（3）三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．
（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段．
（5）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部，它們的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所在直線相交于三角形外一點(diǎn)．
三．三角形的面積
（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．
四．三角形的穩(wěn)定性
當(dāng)三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．這一特性主要應(yīng)用在實(shí)際生活中．
五．三角形三邊關(guān)系
（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．
（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．
（3）三角形的兩邊差小于第三邊．
（4）在涉及三角形的邊長或周長的計(jì)算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略。
一．三角形（共2小題）
1．（2018春?浦東新區(qū)期末）設(shè)M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等邊三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四個圖中，能正確表示它們之間關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021秋?靜安區(qū)期末）下列說法錯誤的是（ ）
A．任意一個直角三角形都可以被分割成兩個等腰三角形
B．任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個等腰三角形
C．任意一個直角三角形都可以被分割成兩個直角三角形
D．任意一個等腰三角形都可以被分割成兩個直角三角形
二．三角形的角平分線、中線和高（共5小題）
3．（2021春?惠來縣期末）三角形的角平分線、中線、高都是（ ）
A．直線B．線段C．射線D．以上都不對
4．（2020?奉賢區(qū)二模）如果線段AM和線段AN分別是△ABC邊BC上的中線和高，那么下列判斷正確的是（ ）
A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN
5．（2021春?青浦區(qū)期中）直角三角形的三條高的交點(diǎn)在 ．
6．（2021春?陽谷縣期末）在三角形的三條高中，位于三角形外的可能條數(shù)是 條．
7．（2017春?輝縣市期末）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度數(shù)．
三．三角形的面積（共8小題）
8．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）如果三角形各邊都擴(kuò)大4倍，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．周長擴(kuò)大4倍，面積擴(kuò)大2倍
B．周長擴(kuò)大2倍，面積擴(kuò)大4倍
C．周長擴(kuò)大4倍，面積擴(kuò)大4倍
D．周長擴(kuò)大4倍，面積擴(kuò)大16倍
9．（2021春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，三角形ABC的面積為3，求△CAD的面積．
10．（2020秋?寶山區(qū)期末）如圖，△ABC經(jīng)過平移后得到△DEF，下列說法：
①AB∥DE；
②AD＝BE；
③∠ACB＝∠DFE；
④△ABC和△DEF的面積相等；
⑤四邊形ACFD和四邊形BCFE的面積相等，其中正確的有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
11．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖：△ABC中，點(diǎn)D、F是AB邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、G是AC邊的三等分點(diǎn)，則S△ADE：S四邊形DEFG：S四邊形BCGF＝ ．
12．（2021秋?松江區(qū)校級期中）如圖，△ABC和△A1B1C1中，A1B1∥AB，A1C1∥AC，C1為OC的中點(diǎn)，△A1B1C1面積是5，則△ABC的面積為（ ）
A．10B．20C．25D．50
13．（2021秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，AE＝EB，，BD與CE交于點(diǎn)F，S△ABC＝40，則S四邊形AEFD＝ ．
14．（2020秋?普陀區(qū)期中）在長力形ABCD中，AB＝3a厘米，BC＝a厘米，點(diǎn)P沿邊AB從點(diǎn)A開始向終點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動，到達(dá)終點(diǎn)后停止；點(diǎn)Q沿邊DA從點(diǎn)D開始向終點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動，到達(dá)終點(diǎn)后停止，如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間，試解決下列問題：
（1）用含有a、t的代數(shù)式表示三角形APC的面積；
（2）用含有a、t的代數(shù)式表示三角形PQC的面積．
15．（2020秋?浦東新區(qū)期末）如圖，直角三角形△ABC的直角頂點(diǎn)為C，且AC＝5，BC＝12，AB＝13，將此三角形繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°到直角三角形AB′C′的位置．（結(jié)果保留π）
（1）求運(yùn)動過程中點(diǎn)B和點(diǎn)C經(jīng)過的路徑之和；
（2）求△ABC掃過的面積．
四．三角形的穩(wěn)定性（共2小題）
16．（2021秋?新化縣期末）我們用如圖的方法（斜釘上一塊木條）來修理一條搖晃的凳子的數(shù)學(xué)原理是利用三角形的 ．
17．（2014春?惠安縣期末）木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條（即圖中AB、CD兩個木條），這樣做根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是 ．
五．三角形三邊關(guān)系（共4小題）
18．（2021春?青浦區(qū)期中）如果一個三角形的兩邊長為2和5，那么這個三角形的周長可能是（ ）
A．10B．13C．14D．15
19．（2021秋?懷柔區(qū)期末）已知三角形的兩邊長分別是4和6，則第三條邊長x的取值范圍是 ．
20．（2018秋?靜安區(qū)期末）如圖，將三角形ABC沿射線BC平移后能與三角形DEF重合（點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)E、F對應(yīng)），如果BF的長為12，點(diǎn)E在邊BC上，且2＜EC＜4，求邊BC長的取值范圍．
21．（2019春?浦東新區(qū)期末）如果一個三角形的各邊長均為整數(shù)，周長大于4且不大于10，請寫出所有滿足條件的三角形的三邊長．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
一．選擇題（共5小題）
1．（2020?奉賢區(qū)二模）如果線段AM和線段AN分別是△ABC邊BC上的中線和高，那么下列判斷正確的是（ ）
A．AM＞ANB．AM≥ANC．AM＜AND．AM≤AN
2．（2020春?虹口區(qū)期末）一個三角形的兩邊長分別為4厘米和9厘米，那么第三邊的長可以是（ ）
A．11厘米B．4厘米C．2厘米D．13厘米
3．（2021?松江區(qū)二模）已知三角形兩邊的長分別是4和9，則此三角形第三邊的長可以是（ ）
A．4B．5C．10D．15
4．（2020春?嘉定區(qū)期末）現(xiàn)有1cm、3cm、5cm、6cm長的四根木棒，任選其中三根組成一個三角形，那么可以組成三角形的個數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2020春?奉賢區(qū)期末）有長為2cm，3cm，4cm，6cm的四根木棒，選其中的三根作為三角形的邊，可以圈成的三角形的有幾種可能？（ ）
A．1種B．2種C．3種D．4種
二．填空題（共14小題）
6．（2020秋?虹口區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＞AC，BC邊上的高AD和中線AE及∠BAC的平分線AF將∠BAC四等分，則∠EAD＝ ．
7．（2021春?奉賢區(qū)期末）如圖，AD∥BC，E是線段AD上任意一點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)O，若△ABC的面積是5，△EOC的面積是2，則△BOC的面積是 ．
8．（2021春?楊浦區(qū)期中）如圖，已知直線AD∥BC，如果△BCD的面積是6平方厘米，BC＝4厘米，那么△ABC中BC邊上的高是 厘米．
9．（2021春?奉賢區(qū)期中）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別為BC、AD的中點(diǎn)，且△BDE的面積為3，則△ABC的面積是 ．
10．（2021春?青浦區(qū)期中）直角三角形的三條高的交點(diǎn)在 ．
11．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖：△ABC中，點(diǎn)D、F是AB邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E、G是AC邊的三等分點(diǎn)，則S△ADE：S四邊形DEFG：S四邊形BCGF＝ ．
12．（2021春?楊浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AD＝DC，AE⊥BD，如果△ABC的面積是12，那么△ABE的面積是 ．
13．（2021?浦東新區(qū)模擬）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積為9．如果AA'＝1，那么A'D的長為 ．
14．（2021春?楊浦區(qū)期末）如果三角形的三條邊長分別為2、x、6，那么x的取值范圍是 ．
15．（2020春?虹口區(qū)期末）如圖，AD∥BC，△ADE的面積等于2，△BEC的面積等于6，則△ABE的面積是 ．
16．（2019秋?浦東新區(qū)期末）如圖，將△ABC沿射線BC方向平移得到△DEF，邊DE與AC相交于點(diǎn)G，如果BC＝6cm，△ABC的面積等于9cm2，△GEC的面積等于4cm2，那么CF＝ cm．
17．（2021春?閔行區(qū)校級月考）若一個三角形的兩邊長分別是2cm和9cm，且第三邊為奇數(shù)，則第三邊長為 ．
18．（2021春?浦東新區(qū)期中）不等邊三角形的最長邊是9，最短邊是4，第三邊的邊長是奇數(shù)，則第三邊的長度是 ．
19．（2020春?浦東新區(qū)期末）△ABC中三邊長分別為a，b，c，已知a＝5，b＝8，則第三邊c的取值范圍是 ．
三．解答題（共3小題）
20．（2019秋?靜安區(qū)校級月考）已知：如圖所示，△ABC中，D、E分別在邊AC、AB上，CD＝3AD，BE：AE＝3：2，求DF：FB的值．
21．（2018春?長寧區(qū)期末）如圖，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)（B在A的右側(cè)），MN＝4，MA＝1，以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB＝x．求x的取值范圍．
22．（2019秋?楊浦區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，點(diǎn)E、F分別在△ABC的邊AB、AC上，EF∥BC，AE＝2BE，S△ABC＝1，求S△CEF的值．
題組B 能力提升練
一．選擇題（共4小題）
1．（2021春?奉賢區(qū)期中）下列三條線段能組成三角形的是（ ）
A．7、17、10B．17、10、24C．24、17、6D．2、2、
2．（2021?金山區(qū)二模）已知三條線段長分別為2cm、4cm、acm，若這三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)能圍成一個三角形，那么a的取值可以是（ ）
A．1B．2C．4D．7
3．（2020春?奉賢區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足為點(diǎn)D，有下列說法：
①點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離是線段AB的長；
②點(diǎn)A到直線CD的距離是線段AD的長；
③線段CD是△ABC邊AB上的高；
④線段CD是△BCD邊BD上的高．
上述說法中，正確的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
4．（2014?徐匯區(qū)校級自主招生）如圖，D、E分別為△ABC的底邊所在直線上的兩點(diǎn)，BD＝EC，過A作直線l，作DM∥BA交l于M，作EN∥CA交l于N．設(shè)△ABM面積為S1，△ACN面積為S2，則（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．S1與S2的大小與過點(diǎn)A的直線位置有關(guān)
二．填空題（共7小題）
5．（2021春?上海期中）如圖，已知∠1＝∠2，AD＝2BC，△ABC的面積為3，則△CAD的面積為 ．
6．（2021春?浦東新區(qū)期中）如圖，在四邊形BCEF中，BF∥AD∥CE，S△ABC＝3，則△DEF的面積是 ．
7．（2020春?金山區(qū)期末）已知三角形的三邊長分別為3cm，xcm和7cm，那么x的取值范圍是 ．
8．（2018春?奉賢區(qū)期中）如圖，AD∥BC，AC、BD相交于點(diǎn)E，△ABE的面積等于2，△BEC的面積等于5，那么△BCD的面積是 ．
9．（2018春?浦東新區(qū)期中）已知△ABC，a＝6，b＝10，則第三邊c的取值范圍是 ．
10．（2019?徐匯區(qū)校級自主招生）求三邊為整數(shù)，且最大邊小于16的三角形個數(shù)為 個．
11．（2019春?普陀區(qū)期中）如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D、E、F分別為BC、AD、CE的中點(diǎn)，且S△ABC＝，則陰影部分的面積是 ．
三．解答題（共8小題）
12．（2019秋?徐匯區(qū)校級期中）已知，如圖，四邊形ABCD是梯形，AB、CD相互平行，在AB上有兩點(diǎn)E和F，此時四邊形DCFE恰好是正方形，已知CD＝a，AD＝a+ab2，BC＝a+2ab2，（單位：米）其中a＞0，1＜b2＜4，現(xiàn)有甲乙兩只螞蟻，甲螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A﹣D﹣C﹣F﹣A的路線行走，乙螞蟻從B點(diǎn)出發(fā)，沿著B﹣C﹣D﹣E﹣B的路線行走，甲乙同時出發(fā)，各自走回A和B點(diǎn)時停止．甲的速度是（米/秒），乙的速度是（米/秒）．
（1）用含a、b的代數(shù)式表示：
①甲走到點(diǎn)C時，用時 秒；
②當(dāng)甲走到點(diǎn)C時，乙走了 米；
③當(dāng)甲走到點(diǎn)C時，此時乙在點(diǎn)M處，△AMC的面積是 平方米；
④當(dāng)甲走到點(diǎn)C時，已經(jīng)和乙相遇一次，它們從出發(fā)到這一次相遇，用時 秒．
（2）它們還會有第二次相遇嗎？如果有，請求出兩只螞蟻從出發(fā)到第二次相遇所用的時間．如果沒有，簡要說明理由．
13．（2018秋?靜安區(qū)期末）如圖，將三角形ABC沿射線BC平移后能與三角形DEF重合（點(diǎn)B、C分別與點(diǎn)E、F對應(yīng)），如果BF的長為12，點(diǎn)E在邊BC上，且2＜EC＜4，求邊BC長的取值范圍．
14．（2019春?浦東新區(qū)期末）如果一個三角形的各邊長均為整數(shù)，周長大于4且不大于10，請寫出所有滿足條件的三角形的三邊長．
15．（2018秋?浦東新區(qū)期中）如圖，由16個相同的小正方形組成的一個大正方形ABCD，其中點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)F均在圖中的格點(diǎn)上（即圖中小正方形的頂點(diǎn)）．
（1）三角形AEF的面積（即圖中陰影部分的面積）占整個大正方形ABCD面積的 ；（填“幾分之幾”）
（2）如果三角形AEF的面積是28平方厘米，那么圖中每個小正方形的面積是 平方厘米；
（3）如備用圖，若點(diǎn)G也在圖中的格點(diǎn)上，且三角形AFG的面積是大正方形ABCD面積的，那么符合要求的點(diǎn)G有 個．
16．（2018秋?浦東新區(qū)月考）如圖，△ABC中，E是BC中點(diǎn)，AD＝3BD，已知S△BDE＝6，求S△ABC．
17．（2018春?靜安區(qū)期中）如圖，已知AD∥BC．
（1）找出圖中所有面積相等的三角形，并選擇其中一對說明理由．
（2）如果BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E、F，＝，求的值．（直接寫出答案）
18．（2017春?輝縣市期末）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD＝5°，∠B＝50°，求∠C的度數(shù)．
19．（2017秋?松江區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠CDB＝2∠B．
（1）求證：AB＝2CD；
（2）若AD：DB＝1：5，且△ABC的面積為，試求邊AB的長度．

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