1. 等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的① 都等于② ? ?，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差 通常用字母 d 表示.(2)等差中項(xiàng)如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的③ ，且 A ＝ ④ ?.
(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形
通項(xiàng)公式：⑤ ，其中 a 1是首項(xiàng)， d 是公差.
通項(xiàng)公式的變形： an ＝ am ＋( n － m ) d ( m ， n ∈N*).
說明　 由 an ＝ dn ＋( a 1－ d )可知，當(dāng) d ≠0時(shí)， an 可看作關(guān)于 n 的一次函數(shù).
an ＝ a 1＋( n －1) d 　
當(dāng) d ＞0時(shí)，數(shù)列{ an }為遞增數(shù)列；當(dāng) d ＜0時(shí)，數(shù)列{ an }為遞減數(shù)列；當(dāng) d ＝0時(shí)， 數(shù)列{ an }為常數(shù)列.
2. 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和
(1)等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
設(shè)數(shù)列{ an }，{ bn }均為等差數(shù)列.
a.若 k ＋ l ＝ m ＋ n ( k ， l ， m ， n ∈N*)，則 ak ＋ al ＝ am ＋ an ，特別地，若 p ＋ q ＝ 2 m ，則⑦ .反之不一定成立.
b.若{ an }公差為 d ，則{ a 2 n }也是等差數(shù)列，公差為⑧ ?.
c .{ pan ＋ qbn }( p ， q 為常數(shù))也是等差數(shù)列.
d.若{ an }與{ bn }有公共項(xiàng)，則{ an }與{ bn }的公共項(xiàng)從小到大排成的新數(shù)列也是等差 數(shù)列，首項(xiàng)是第一個(gè)相同的公共項(xiàng)，公差是{ an }與{ bn }的公差的⑨ ? ?.
ap ＋ aq ＝2 am 　
e.若{ an }公差為 d ，則 ak ， ak ＋ m ， ak ＋2 m ，…( k ， m ∈N*)組成公差為⑩ ?的 等差數(shù)列，即下標(biāo)成等差數(shù)列，則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.
(2)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)
設(shè) Sn 為等差數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和.
b. Sm ， S 2 m － Sm ， S 3 m － S 2 m ，…( m ∈N*)是等差數(shù)列.
1. [教材改編]如果三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，則中間角的大小為 ?.
[解析]　由題意可設(shè)三個(gè)內(nèi)角分別為 x － d ， x ， x ＋ d ，則有( x － d )＋ x ＋( x ＋ d ) ＝180°，可得 x ＝60°.
2. 若等差數(shù)列{ an }滿足 a 7＋ a 8＋ a 9＞0， a 7＋ a 10＜0，則當(dāng) n ＝ 時(shí)，{ an }的 前 n 項(xiàng)和最大.
[解析]　由 a 7＋ a 8＋ a 9＞0可得 a 8＞0，由 a 7＋ a 10＜0可得 a 8＋ a 9＜0，所以 a 9＜ 0，所以當(dāng) n ＝8時(shí)，{ an }的前 n 項(xiàng)和最大.
3. [教材改編]已知{ an }為等差數(shù)列，且 a 20＝30， a 30＝20，則 a 50＝ ?.
4. [教材改編]某公司購置了一臺(tái)價(jià)值220萬元的設(shè)備，隨著設(shè)備在使用過程中老化， 每經(jīng)過一年，其價(jià)值減少20萬元.當(dāng)設(shè)備價(jià)值低于購進(jìn)價(jià)值的5％時(shí)，設(shè)備將報(bào)廢， 則該機(jī)器最多使用 年.
[解析]　設(shè)使用 n 年后，該設(shè)備的價(jià)值為 an 萬元，則易知{ an }是以(220－20)為首 項(xiàng)，－20為公差的等差數(shù)列，所以 an ＝(220－20)＋( n －1)×(－20)＝220－20 n .令 220－20 n ≥220×5％，得 n ≤10.45，所以該設(shè)備最多使用10年.
5. 已知等差數(shù)列{ an }的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)和為290，所有偶數(shù)項(xiàng)和為 261，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 ?.
6. [易錯(cuò)題]已知數(shù)列{ an }滿足 a 1＝1， an ＋ an ＋1＝ n ，則 a 20＝ ?.
[解析]　因?yàn)?an ＋ an ＋1＝ n ，所以 a 1＋ a 2＝1， a 2＋ a 3＝2，…， a 19＋ a 20＝19.因?yàn)? a 1＝1，所以可得 a 1＝1， a 3＝2， a 5＝3， a 7＝4，…，和 a 2＝0， a 4＝1， a 6＝2， a 8＝3，…，奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以 a 2 k ＝ k －1( k ∈N*)，所以 a 20 ＝10－1＝9.
命題點(diǎn)1　等差數(shù)列的基本運(yùn)算
例1 [2023全國卷甲]記 Sn 為等差數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和.若 a 2＋ a 6＝10， a 4 a 8＝45，則 S 5＝(　C　)
(1)若3 a 2＝3 a 1＋ a 3， S 3＋ T 3＝21，求{ an }的通項(xiàng)公式；
(2)若{ bn }為等差數(shù)列，且 S 99－ T 99＝99，求 d .
1. 等差數(shù)列基本運(yùn)算中常用的數(shù)學(xué)思想
2. 等差數(shù)列基本運(yùn)算中常用的設(shè)元技巧
若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，可將三個(gè)數(shù)設(shè)為 a － d ， a ， a ＋ d ；若四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列， 可將四個(gè)數(shù)設(shè)為 a －3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋3 d .
(2)[2022全國卷乙]記 Sn 為等差數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和.若2 S 3＝3 S 2＋6，則公差 d ＝ ?.
[解析]　因?yàn)? S 3＝3 S 2＋6，所以2(3 a 1＋3 d )＝3(2 a 1＋ d )＋6，化簡得3 d ＝6，解 得 d ＝2.
命題點(diǎn)2　等差數(shù)列的判定與證明
例3 [2021全國卷甲]已知數(shù)列{ an }的各項(xiàng)均為正數(shù)，記 Sn 為{ an }的前 n 項(xiàng)和，從下 面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.
等差數(shù)列的判定與證明的方法
(2)[多選/2023福建莆田九中質(zhì)檢]已知數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，則下列結(jié)論正確的 是(　BCD　)
命題點(diǎn)3　等差數(shù)列的性質(zhì)
例4 (1)[新高考卷Ⅰ]將數(shù)列{2 n －1}與{3 n －2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列 { an }，則{ an }的前 n 項(xiàng)和為 ?.
3 n 2－2 n 　
訓(xùn)練3 (1)數(shù)列{ an }，{ bn }均為等差數(shù)列，且 a 1＝－5， b 1＝－15， a 2 025＋ b 2 025＝ 100，則數(shù)列{ an ＋ bn }的前2 025項(xiàng)和為 ?.
命題點(diǎn)4　等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值
(1)證明：{ an }是等差數(shù)列.
(2)若 a 4， a 7， a 9成等比數(shù)列，求 Sn 的最小值.
求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn 的最值的方法
訓(xùn)練4 等差數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若? n ∈N*， Sn ≤ S 7，則數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公 式可能是 (　B　)
[解析]　因?yàn)閿?shù)列{ an }是等差數(shù)列，且? n ∈N*， Sn ≤ S 7，所以該數(shù)列從第8項(xiàng)起為 非正數(shù)，即 a 7≥0， a 8≤0.對(duì)于A， a 7＝16－3×7＝－5＜0，故A不正確；對(duì)于B， a 7＝15－2×7＝1＞0， a 8 ＝15－2×8＝－1＜0，故B正確；對(duì)于C， a 7＝2×7－14＝0， a 8＝2×8－14＝2＞ 0，故C不正確；對(duì)于D， a 7＝2×7－15＝－1＜0，故D不正確.故選B.
1. [命題點(diǎn)1/2021新高考卷Ⅱ]記 Sn 是公差不為0的等差數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和，若 a 3＝ S 5， a 2 a 4＝ S 4.
(1)求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式；
(2)求使 Sn ＞ an 成立的 n 的最小值.
2. [命題點(diǎn)2/多選]兩個(gè)等差數(shù)列{ an }和{ bn }，其公差分別為 d 1 和 d 2 ，其前 n 項(xiàng)和分 別為 Sn 和 Tn ，則下列說法正確的是(　AB　)
(1)證明：數(shù)列{ bn }是等差數(shù)列.
(2)求{ an }的通項(xiàng)公式.
1. [2024河南名校模擬]設(shè) Sn 是等差數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和，若 a 2＋ a 5＋ a 8＝15，則 S 9 ＝(　C　)
3. [2024吉林白城模擬]已知等差數(shù)列{ an }是遞增數(shù)列，且滿足 a 3＋ a 5＝14， a 2 a 6＝ 33，則 a 1 a 7＝(　C　)
4. [2023陜西寶雞模擬]已知首項(xiàng)為2的等差數(shù)列{ an }的前30項(xiàng)中，奇數(shù)項(xiàng)的和為 A ， 偶數(shù)項(xiàng)的和為 B ，且 B － A ＝45，則 an ＝(　B　)
[解析]　在等差數(shù)列{ an }中，首項(xiàng) a 1＝2，設(shè)其公差為 d ，由前30項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為 A ， 偶數(shù)項(xiàng)的和為 B ， 且 B － A ＝45，可得－ a 1＋ a 2－…－ a 29＋ a 30＝15 d ＝45， 解得 d ＝3，∴ an ＝ a 1＋( n －1) d ＝2＋3( n －1)，即 an ＝3 n －1，故選B.
5. [多選/2024山東模擬]已知等差數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，公差為 d ， a 3＝ a 1－ 4， S 7＝154，則(　AC　)
6. [2023廣州市二檢]在數(shù)列{ an }中， a 1＝2， am ＋ n ＝ am ＋ an ( m ， n ∈N*)，若 akak ＋1＝440，則正整數(shù) k ＝ ?.
[解析]　解法一　令 m ＝1，則 an ＋1＝ an ＋ a 1，即 an ＋1－ an ＝2，所以數(shù)列{ an }是 以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即 an ＝2＋( n －1)×2＝2 n ，又 k 為正整數(shù)，所以 akak ＋1＝2 k ×2( k ＋1)＝440，即 k ( k ＋1)＝110，解得 k ＝10或 k ＝－11(舍去).故填 10.
解法二(列舉法)　令 m ＝ n ＝1，則 a 2＝ a 1＋ a 1＝4；令 m ＝1， n ＝2，則 a 3＝ a 1＋ a 2＝6；令 m ＝ n ＝2，則 a 4＝ a 2＋ a 2＝8.通過觀察找規(guī)律可知，數(shù)列{ an }是以2為 首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即 an ＝2＋( n －1)×2＝2 n ，又 k 為正整數(shù)，所以 akak ＋1＝2 k ×2( k ＋1)＝440，即 k ( k ＋1)＝110，解得 k ＝10或 k ＝－11(舍去).故填10.
7. [2024江西撫州模擬改編]在數(shù)列{ an }中，已知 an ＋1－ an ＝ an ＋2－ an ＋1， a 1 013＝ 1，則該數(shù)列前2 025項(xiàng)的和 S 2 025＝ ?.
9. [2024浙江普陀中學(xué)模擬]已知正項(xiàng)數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， a 1＝2.
10. [2024四川南充?？糫若一個(gè)凸 n ( n ∈N*)邊形的最小內(nèi)角為95°，其他內(nèi)角依次增 加10°，則 n 的值為(　B　)
11. [2024湖北孝感高中模擬]設(shè)等差數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，滿足2 a 3－ a 5＝7， a 2＋ S 7＝12，則 Sn 的最大值為(　B　)
12. [全國卷Ⅱ]北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有 一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依 次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已 知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心 石)(　C　)
2 n －1(答案
14. 已知正項(xiàng)數(shù)列{ an }，其前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 an (2 Sn － an )＝1( n ∈N*).

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