命題點(diǎn)1　形如 an ＋1＝ pan ＋ f ( n )( p ≠1)
例1 (1)在數(shù)列{ an }中， a 1＝1， an ＋1＝3 an －2 n －1，則 an ＝ ?.
(2)設(shè)數(shù)列{ an }滿足 a 1＝3， an ＋1＝3 an －4 n ，則 an ＝ ?.
[解析]　由已知可得 an ＋1－(2 n ＋3)＝3[ an －(2 n ＋1)]， an －(2 n ＋1)＝3[ an －1－(2 n －1)]，…， a 2－5＝3( a 1－3).因?yàn)?a 1＝3，所以 an ＝2 n ＋1.
[變條件]若例1(2)中的 a 1＝4，則 an ＝ ?.
[解析]　設(shè) an ＋1＋ x ( n ＋1)＋ y ＝3( an ＋ xn ＋ y )，則展開利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等可得 出 x ＝－2， y ＝－1，所以{ an －2 n －1}是以 a 1－2－1＝1為首項(xiàng)，3為公比的等比 數(shù)列，所以 an －2 n －1＝3 n －1，所以 an ＝3 n －1＋2 n ＋1.
3 n －1＋2 n ＋1　
形如 an ＋1＝ pan ＋ f ( n )( p ≠1)的遞推式，一般采用構(gòu)造法求通項(xiàng)：
(1)若 f ( n )為非零常數(shù)，則一般湊配成 an ＋1＋ x ＝ p ( an ＋ x )的形式(利用待定系數(shù)法 求 x )，構(gòu)造等比數(shù)列；
(2)若 f ( n )為關(guān)于 n 的一次函數(shù)，則一般湊配成 an ＋1＋ x ( n ＋1)＋ y ＝ p ( an ＋ xn ＋ y ) 的形式(利用待定系數(shù)法求 x ， y )，構(gòu)造等比數(shù)列；
(3)若 f ( n )為指數(shù)冪(如 qn )的形式，則一般兩邊同時(shí)除以 pn ＋1或 qn ＋1，再利用累加法 或構(gòu)造法求通項(xiàng).
訓(xùn)練1 在數(shù)列{ an }中， a 1＝5， an ＋1＝3 an －4，則 an ＝ ?.
[解析]　由 an ＋1＝3 an －4，可得 an ＋1－2＝3( an －2)，又 a 1＝5，所以{ an －2}是以 a 1－2＝3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以 an －2＝3 n ，所以 an ＝3 n ＋2.
命題點(diǎn)3　形如 an ＋1＝ pan ＋ qan －1( n ≥2)
例3 已知數(shù)列{ an }滿足 an ＋1＝5 an －6 an －1( n ≥2)，且 a 1＝1， a 2＝4，則數(shù)列{ an } 的通項(xiàng)公式為 ?.
an ＝2×3 n －1－2 n －1　
形如 an ＋1＝ pan ＋ qan －1( n ≥2)的遞推式，一般采用構(gòu)造法求通項(xiàng)，將原式變形為 an ＋1＋λ an ＝μ( an ＋λ an －1)( n ≥2)，由待定系數(shù)法求出λ，μ，再依據(jù)相鄰兩項(xiàng)的遞推 關(guān)系求通項(xiàng).
訓(xùn)練3 已知數(shù)列{ an }滿足 a 1＝1， a 2＝2，且對(duì)任意 n ∈N*，都有 an ＋2＝3 an ＋1－2 an .則{ an }的通項(xiàng)公式為 ?.
an ＝2 n －1　
思維幫·提升思維　快速解題
用“不動(dòng)點(diǎn)法”求數(shù)列的通項(xiàng)公式
利用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)的步驟
對(duì)于一個(gè)函數(shù) f ( x )，我們把滿足 f ( m )＝ m 的值 m 稱為函數(shù) f ( x )的“不動(dòng)點(diǎn)”.利用 “不動(dòng)點(diǎn)法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
iii.解方程得出 an .
3. [2024河南焦作統(tǒng)考]已知數(shù)列{ an }滿足 an ＋1＝3 an ＋2， a 3＋ a 2＝22，則滿足 an ＞160的最小正整數(shù) n ＝ ?.
4. [2023合肥六中三模]已知在數(shù)列{ an }中， a 1＝5， a 2＝2， an ＝2 an －1＋3 an －2( n ≥3)，則數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式為 ?.
[解析]　∵ an ＝2 an －1＋3 an －2( n ≥3)，∴ an ＋ an －1＝3( an －1＋ an －2)( n ≥3)，又 a 1 ＋ a 2＝7，∴{ an ＋1＋ an }是首項(xiàng)為7，公比為3的等比數(shù)列，則 an ＋1＋ an ＝7×3 n －1
7. [2024名師原創(chuàng)]設(shè)數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，滿足2 Sn ＝ an ＋1－2 n ＋1＋1( n ∈N*)，且 a 1， a 2＋5， a 3成等差數(shù)列.
(1)求 a 1的值；
[解析]　(1)2 Sn ＝ an ＋1－2 n ＋1＋1，令 n ＝2得2 S 2＝ a 3－23＋1，即2 a 1＋2 a 2＝ a 3－7?、?因?yàn)?a 1， a 2＋5， a 3成等差數(shù)列，所以2( a 2＋5)＝ a 1＋ a 3，即 a 3＝2( a 2＋5)－ a 1　 ②，將②代入①可得2 a 1＋2 a 2＝2( a 2＋5)－ a 1－7，解得 a 1＝1，故 a 1的值為1.
(2)求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式.
8. [2024浙江寧波模擬]已知數(shù)列{ an }滿足 a 1＝1，且對(duì)任意正整數(shù) m ， n 都有 am ＋ n ＝ an ＋ am ＋2 mn .
(1)求數(shù)列{ an }的通項(xiàng)公式；

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