1. 等比數(shù)列的概念(1)等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)， 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母 q ( q ≠0)表示.注意　 (1)等比數(shù)列中的任何一項(xiàng)都不為0，且公比 q ≠0.(2)若一個(gè)數(shù)列是常數(shù)列， 則此數(shù)列一定是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，如：0，0，0，….
如果在 a 與 b 中間插入一個(gè)數(shù) G ，使 a ， G ， b 成等比數(shù)列，那么 G 叫做 a 與 b 的等 比中項(xiàng)，此時(shí) G 2＝ ab .
注意　 只有當(dāng)兩個(gè)數(shù)同號(hào)且不為0時(shí)，才有等比中項(xiàng)，且等比中項(xiàng)有兩個(gè).
(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形
通項(xiàng)公式：① ，其中 a 1是首項(xiàng)， q 是公比.
通項(xiàng)公式的變形： an ＝ am · qn － m .
an ＝ a 1· qn －1　
當(dāng) q ＝1時(shí)，{ an }是常數(shù)列；當(dāng) q ＜0時(shí)，{ an }是擺動(dòng)數(shù)列.
2. 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和
設(shè)等比數(shù)列{ an }的公比為 q ，前 n 項(xiàng)和為 Sn .
當(dāng) q ＝1時(shí)，因?yàn)?a 1≠0，所以 Sn ＝ na 1.由此可知，數(shù)列{ Sn }的圖象是函數(shù) y ＝ a 1 x 的圖象上一系列孤立的點(diǎn).
注意　 在運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)，要注意對(duì) q ＝1與 q ≠1進(jìn)行討論.
－ aqn
(1)等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)
設(shè)數(shù)列{ an }，{ bn }是等比數(shù)列.
a.若 m ＋ n ＝ k ＋ l ，則⑤ ，其中 m ， n ， k ， l ∈N*，反之，不一定 成立，如當(dāng)數(shù)列{ an }是非零常數(shù)列時(shí)，此結(jié)論不成立.
b.相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即 ak ， ak ＋ m ， ak ＋2 m ，…( k ， m ∈N*) 仍是等比數(shù)列，公比為⑥ ?.
d.若 an ＞0，則數(shù)列{lg an }是等差數(shù)列.
aman ＝ akal 　
(2)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)
設(shè) Sn 是等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和.
a. Sm ＋ n ＝ Sn ＋ qnSm ＝ Sm ＋ qmSn .
b.當(dāng) q ≠－1(或 q ＝－1且 k 為奇數(shù))時(shí)， Sk ， S 2 k － Sk ， S 3 k － S 2 k ，…是⑦ ? 數(shù)列.
注意　 當(dāng) q ＝－1且 k 為偶數(shù)時(shí)， Sk ， S 2 k － Sk ， S 3 k － S 2 k ，…不是等比數(shù)列.
1. 下列說法正確的是(　B　)
2. [多選]已知數(shù)列{ an }是等比數(shù)列，公比為 q ，前 n 項(xiàng)和為 Sn ，則下列說法錯(cuò)誤的 是(　BC　)
3. [易錯(cuò)題]設(shè)等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 a 1＝2， S 3＝6，則 S 4＝ ? ?.
4. [教材改編]有四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，第一個(gè)數(shù)與 第四個(gè)數(shù)的和為21，中間兩個(gè)數(shù)的和為18，則這四個(gè)數(shù)依次為 ? ?.
3，6，12，18或
命題點(diǎn)1　等比數(shù)列的基本運(yùn)算
例1 (1) [2023全國卷甲]設(shè)等比數(shù)列{ an }的各項(xiàng)均為正數(shù)，前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若 a 1＝ 1， S 5＝5 S 3－4，則 S 4＝(　C　)
解法二　設(shè)等比數(shù)列{ an }的公比為 q ，由已知得1＋ q ＋ q 2＋ q 3＋ q 4＝5(1＋ q ＋ q 2) －4，整理得 q (1＋ q )( q 2－4)＝0，由于此數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以 q ＝2，所以 S 4 ＝1＋ q ＋ q 2＋ q 3＝1＋2＋4＋8＝15.故選C.
(2)[2023天津高考]已知{ an }為等比數(shù)列， Sn 為數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和， an ＋1＝2 Sn ＋ 2，則 a 4的值為(　C　)
1. 等比數(shù)列基本運(yùn)算中常用的數(shù)學(xué)思想
訓(xùn)練1 (1)[2022全國卷乙]已知等比數(shù)列{ an }的前3項(xiàng)和為168， a 2－ a 5＝42，則 a 6＝ (　D　)
(2)[全國卷Ⅰ]設(shè){ an }是等比數(shù)列，且 a 1＋ a 2＋ a 3＝1， a 2＋ a 3＋ a 4＝2，則 a 6＋ a 7＋ a 8＝(　D　)
命題點(diǎn)2　等比數(shù)列的判定與證明
(1)求 b 1， b 2， b 3；
(2)判斷數(shù)列{ bn }是否為等比數(shù)列，并說明理由；
(3)求{ an }的通項(xiàng)公式.
判定與證明等比數(shù)列的常用方法
訓(xùn)練2 [2023江蘇省七市模擬]已知數(shù)列{ an }滿足 a 1＝1， a 2＝5， an ＋2＝5 an ＋1－6 an .
(1)證明：{ an ＋1－2 an }是等比數(shù)列.
[解析]　解法一　(1)∵ an ＋2＝5 an ＋1－6 an ，∴ an ＋2－2 an ＋1＝5 an ＋1－6 an －2 an ＋1＝3 an ＋1－6 an ＝3( an ＋1－2 an )，∵ a 1＝1， a 2＝5，∴ a 2－2 a 1＝3≠0，∴數(shù)列{ an ＋1－2 an }是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.
(2)證明：存在兩個(gè)等比數(shù)列{ bn }，{ cn }，使得 an ＝ bn ＋ cn 成立.
[解析]　解法一　(2)∵ an ＋2＝5 an ＋1－6 an ，∴ an ＋2－3 an ＋1＝5 an ＋1－6 an －3 an ＋1 ＝2 an ＋1－6 an ＝2( an ＋1－3 an ).∵ a 1＝1， a 2＝5，∴ a 2－3 a 1＝2≠0，∴數(shù)列{ an ＋1－3 an }是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴ an ＋1－3 an ＝2 n ?、?，由第(1)問得 an ＋1－2 an ＝3 n ?、?，由②－①得， an ＝3 n －2 n .故存在通項(xiàng)為 bn ＝3 n ， cn ＝－2 n 的兩個(gè)等比數(shù)列，使得 an ＝ bn ＋ cn 成立.
解法二　(2)由(1)知 an ＋1－2 an ＝3 n ?、伲?br/>由 an ＋2－3 an ＋1＝2( an ＋1－3 an )可得 an ＋1－3 an ＝2 n ?、?，
由①－②得， an ＝3 n －2 n ，故存在通項(xiàng)為 bn ＝3 n ， cn ＝－2 n 的兩個(gè)等比數(shù)列，使得 an ＝ bn ＋ cn 成立.
命題點(diǎn)3　等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用
例3 (1)[2023新高考卷Ⅱ]記 Sn 為等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和，若 S 4＝－5， S 6＝21 S 2， 則 S 8＝(　C　)
(2)[2023全國卷乙]已知{ an }為等比數(shù)列， a 2 a 4 a 5＝ a 3 a 6， a 9 a 10＝－8，則 a 7 ＝ ?.
解法二　設(shè)數(shù)列{ an }的公比為 q .因?yàn)?a 4 a 5＝ a 3 a 6≠0，所以 a 2＝1.又 a 9 a 10＝ a 2 q 7· a 2 q 8＝ q 15＝－8，于是 q 5＝－2，所以 a 7＝ a 2 q 5＝－2.
訓(xùn)練3 (1)[2021全國卷甲]記 Sn 為等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和.若 S 2＝4， S 4＝6，則 S 6＝ (　A　)
[解析]　解法一　由題意知 a 1 a 5＝ a 2 a 4＝144　①， a 2＋ a 4＝
(2)若公比大于1的等比數(shù)列{ an }滿足 a 1 a 5＝144， a 2＋ a 4＝30，則公比 q ＝?　 　.
1. [命題點(diǎn)1/2023武漢調(diào)研]設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若2 S 3＝3 a 2＋8 a 1， S 8＝2 S 7＋2，則 a 2＝(　A　)
2. [命題點(diǎn)1/新高考卷Ⅱ]已知公比大于1的等比數(shù)列{ an }滿足 a 2＋ a 4＝20， a 3＝8.
(1)求{ an }的通項(xiàng)公式；
(2)求 a 1 a 2－ a 2 a 3＋…＋(－1) n －1 anan ＋1.
4. [命題點(diǎn)3/多選/2023鄂東南省級(jí)示范高中聯(lián)考]設(shè)等比數(shù)列{ an }的公比為 q ，其前 n 項(xiàng)和為 Sn ，前 n 項(xiàng)積為 Tn ，且滿足條件 a 1＞1， a 2 022 a 2 023＞1，( a 2 022－1)( a 2 023－ 1)＜0，則下列選項(xiàng)正確的是(　ACD　)
1. [2024南昌市模擬]已知公比為 q 的等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和 Sn ＝2 a 1－2 qn ，則 a 1 ＝(　B　)
2. [2023湖北黃岡模擬]已知數(shù)列{ an }是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列{ bn }滿足 bn ＝lg2 an .若 a 2 a 5 a 8＝212，則 b 1＋ b 2＋ b 3＋…＋ b 9＝(　C　)
3. [2024山東濟(jì)南聯(lián)考]記 Sn 為等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和，若 S 4＝5 S 2， S 6＝21，則 S 8＝(　C　)
4. [2023濟(jì)南市模擬]在數(shù)列{ an }中，若 an ＝2 n ＋2 n －1×3＋2 n －2×32＋2 n －3×33＋… ＋22×3 n －2＋2×3 n －1＋3 n ，則 a 2 023＝(　C　)
5. 公元前1650年左右的埃及《萊因德紙草書》上載有如下問題：“十人分十斗玉 米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗.”在 上述問題中，第一人分得玉米(　C　)
6. [2024廣東七校聯(lián)考]在等比數(shù)列{ an }中，公比為 q .已知 a 1＝1，則0＜ q ＜1是數(shù)列 { an }是遞減數(shù)列的(　C　)
7. [2024河南省模擬]已知等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且公比 q ≠－1，若 S 12＝ S 4＋16 S 8，則公比 q ＝(　B　)
10. [2024福州市一檢]已知等比數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且 an ＋1＝ Sn ＋2.
解法二　(1)因?yàn)?an ＋1＝ Sn ＋2　①，
所以當(dāng) n ≥2時(shí)， an ＝ Sn －1＋2?、冢?br/>由①式得 a 2＝ a 1＋2，得 a 1＝2，所以 an ＝2 n .
(2)若 bn ＝lg2 a 2 n －1，求數(shù)列{ bn }的前 n 項(xiàng)和 Tn .
12. [2024遼寧大連二十四中模擬]設(shè) Sn 為數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和，已知 a 1＝3，? m ， n ∈N*， Sm ＋ n ＝ SmSn ，則(　B　)
15. [2024貴陽市模擬]設(shè) Sn 為數(shù)列{ an }的前 n 項(xiàng)和.已知4 an －3 Sn ＝ n .
(1)若數(shù)列{ an }為等比數(shù)列，求證：數(shù)列{ cn }為等比數(shù)列.
(2)若數(shù)列{ cn }為等比數(shù)列，且 bn ＋1≥ bn ，求證：數(shù)列{ an }為等比數(shù)列.

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