學(xué)生用書P2121. 百分位數(shù)(1)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第 p 百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少 有① 的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有② ?的數(shù)據(jù)大于或 等于這個值.(2)四分位數(shù)：第25百分位數(shù)、中位數(shù)(第50百分位數(shù))、第75百分位數(shù)把一組由 小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，這三個分位數(shù)統(tǒng)稱為四分位數(shù).其中第25百 分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù)等，第75百分位數(shù)也稱為第三四分位 數(shù)或上四分位數(shù)等.
(100－ p )％　
2. 平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)
4. 分層隨機抽樣的樣本均值與方差
若給定一組數(shù)據(jù) x 1， x 2，…， xn ，其方差為 s 2，則 ax 1， ax 2，…， axn 的方差為 a 2 s 2， ax 1＋ b ， ax 2＋ b ，…， axn ＋ b 的方差為 a 2 s 2.
特別地，當 a ＝1時，有 x 1＋ b ， x 2＋ b ，…， xn ＋ b 的方差為 s 2，這說明將一組數(shù) 據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上一個相同的常數(shù)，方差是不變的，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差 不變.
1. 下列說法正確的是(　D　)
[解析]　平均數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的平均水平，中位數(shù)指的是這組數(shù)據(jù)的中間水平， 它們之間沒有必然聯(lián)系，故A錯誤；一組數(shù)據(jù)的第 p 百分位數(shù)可以不唯一，故B錯 誤；方差是標準差的平方，故它們的單位不一樣，故C錯誤.
2. [全國卷Ⅲ]設(shè)一組樣本數(shù)據(jù) x 1， x 2，…， xn 的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10 x 1，10 x2，…，10 xn 的方差為(　C　)
[解析]　因為數(shù)據(jù) axi ＋ b ( i ＝1，2，…， n )的方差是數(shù)據(jù) xi ( i ＝1，2，…， n )的方 差的 a 2倍，所以所求數(shù)據(jù)的方差為102×0.01＝1.
3. [多選/2021新高考卷Ⅱ]下列統(tǒng)計量中可用于度量樣本 x 1， x 2，…， xn 離散程度的 有(　AC　)
[解析]　平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)均刻畫了樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，一般地，對數(shù)值型 數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可以用平均數(shù)和中位數(shù)，對分類型數(shù)據(jù)集中趨勢的描述，可 以用眾數(shù).方差、標準差和極差均是度量樣本數(shù)據(jù)離散程度的數(shù)字特征.故選AC.
4. [江蘇高考]已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是 ?.
5. [2023湖南省六校聯(lián)考]數(shù)據(jù)：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位數(shù)為 m ， 第60百分位數(shù)為 a ，則 m ＋ a ＝ ?.
學(xué)生用書P213命題點1　百分位數(shù)的估計例1 (1)一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5， 6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.則該組數(shù)據(jù)的第75百分 位數(shù)為 ，第86百分位數(shù)為 ?.
(2)[2023重慶二調(diào)]如圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次體能素質(zhì)測試中的成績畫出的頻率分 布直方圖，則由直方圖得到的80％分位數(shù)為 ?.
解得 x ＝78.5.
方法技巧1. 計算一組 n 個數(shù)據(jù)的第 p 百分位數(shù)的步驟(1)按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；(2)計算 i ＝ n × p ％；(3)若 i 不是整數(shù)，而大于 i 的比 鄰整數(shù)為 j ，則第 p 百分位數(shù)為第 j 項數(shù)據(jù)；若 i 是整數(shù)，則第 p 百分位數(shù)為第 i 項與 第( i ＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).
2. 頻率分布直方圖中第 p 百分位數(shù)的求解步驟
(1)確定第 p 百分位數(shù)所在的區(qū)間[ a ， b )；
訓(xùn)練1 (1)已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是(　C　)
[解析]　因為100×75％＝75，為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第 75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項均不正確，故選C.
(2)[2023河北名校聯(lián)考]為科普航天知識，某校組織學(xué)生參與航天知識競答活動，某 班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?，6，8，9，8，7，10， m .若去掉 m ，該組數(shù)據(jù)的第25百分 位數(shù)保持不變，則整數(shù) m (1≤ m ≤10)的值可以是 .(寫出一個滿 足條件的 m 的值即可)
[解析]　原數(shù)據(jù)去掉 m 后，剩余數(shù)據(jù)從小到大依次為6，7，7，8，8，9，10，因為 7×0.25＝1.75，所以這7個數(shù)的第25百分位數(shù)為7，所以數(shù)據(jù)7，6，8，9，8，7， 10， m 的第25百分位數(shù)為7，又8×0.25＝2，所以7為這8個數(shù)據(jù)從小到大排序后的第 2個數(shù)與第3個數(shù)的平均數(shù)，所以 m (1≤ m ≤10)的值可以是7或8或9或10.
7(8，9，10也可)　
(2)[多選/2023新高考卷Ⅰ]有一組樣本數(shù)據(jù) x 1， x 2，…， x 6，其中 x 1是最小值， x 6是 最大值，則(　BD　)
角度2　統(tǒng)計圖中的數(shù)字特征例3 [多選/2023重慶市三檢]某學(xué)校共有2 000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā) 育情況，學(xué)校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方 圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(　ABD　)
方法技巧頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，一般用最高小長方形的底邊中點的橫坐標近似 代替；(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中近似等于各組區(qū)間的中點值與對應(yīng)頻率之積 的和.
訓(xùn)練2 (1)[2022全國卷甲]某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了 解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分 類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖，則(　B　)
(2)[多選/2021新高考卷Ⅰ]有一組樣本數(shù)據(jù) x 1， x 2，…， xn ，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本 數(shù)據(jù) y 1， y 2，…， yn ，其中 yi ＝ xi ＋ c ( i ＝1，2，…， n )， c 為非零常數(shù)，則 (　CD　)
命題點3　總體數(shù)字特征的估計角度1　總體集中趨勢的估計例4 統(tǒng)計局就某地居民的月收入(單位：元)情況調(diào)查了10 000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫 出了樣本頻率分布直方圖(如圖)，每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組 表示月收入在[2 500，3 000)內(nèi).
(1)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須按月收入再從這10 000人 中用分層隨機抽樣的方法抽出100人進行下一步分析，則月收入在[4 000，4 500)內(nèi) 的應(yīng)抽取多少人？
(3)樣本平均數(shù)為(2 750×0.000 2＋3 250×0.000 4＋3 750×0.000 5＋4 250×0.000 5＋4 750×0.000 3＋5 250×0.000 1)×500＝3 900，因此估計該地居民月收入的平均數(shù)為3 900元.
(3)假設(shè)同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，估計該地居民月收入的平均數(shù).
(2)估計該地居民的月收入的中位數(shù).
方法技巧平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組 數(shù)據(jù)的集中趨勢.一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢 的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等 級等)集中趨勢的描述，可以用眾數(shù).
角度2　總體離散程度的估計
例5 [2023全國卷乙]某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效 應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地 選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸 縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為 xi ， yi ( i ＝1， 2，…，10)，試驗結(jié)果如下：
[解析]　(1)由題意，求出 zi 的值如表所示，
方法技巧總體離散程度的估計標準差(方差)刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程 度越大，越不穩(wěn)定；標準差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.
訓(xùn)練3 [全國卷Ⅱ]某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機調(diào)查 了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產(chǎn)值增長率 y 的 頻數(shù)分布表.
(1)分別估計這類企業(yè)中產(chǎn)值增長率不低于40％的企業(yè)比例、產(chǎn)值負增長的企 業(yè)比例；
命題點4　分層隨機抽樣的均值與方差例6 某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動.在了解全校學(xué)生 每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時，甲同學(xué)抽取了一個容量為10的樣本，并算 得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；乙同學(xué)抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的 平均數(shù)為6，方差為16.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的 樣本，則合在一起后的樣本平均數(shù)為 ，方差為 .(精確到0.1)
訓(xùn)練4 [2023安徽省示范高中聯(lián)考]為了調(diào)查公司員工的健康狀況，某公司男、女員工 比例是2∶3，用分層隨機抽樣的方法抽取樣本，統(tǒng)計樣本數(shù)據(jù)如下：男員工的平均 體重為70 kg，標準差為5 kg；女員工的平均體重為50 kg，標準差為 6 kg.則由此估 計該公司員工的平均體重是 kg，方差是 kg2.
3. [命題點2，4/2023濰坊市高三統(tǒng)考]若一組樣本數(shù)據(jù) x 1， x 2，…， xn 的平均數(shù)為 10，另一組樣本數(shù)據(jù)2 x 1＋4，2 x 2＋4，…，2 xn ＋4的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合 并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為(　A　)
4. [命題點3/2021全國卷乙]某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn) 產(chǎn)品的某項指標有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各 件產(chǎn)品該項指標數(shù)據(jù)如下：
5. [命題點4/2023廣州市調(diào)研]為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天的睡眠時間，采用樣本量比例 分配的分層隨機抽樣，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間均值為9小時，方差為 1，抽取高中生1 200人，其每天睡眠時間均值為8小時，方差為0.5，則估計該地區(qū) 中學(xué)生每天睡眠時間的方差為(　B　)
學(xué)生用書·作業(yè)幫P375
1. [2024福州市一檢]某市抽查一周空氣質(zhì)量指數(shù)變化情況，得到一組數(shù)據(jù)：80， 76，73，82，86，75，81.以下關(guān)于這組數(shù)據(jù)判斷正確的有(　C　)
[解析]　對A，B，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為73，75，76，80， 81，82，86，則這組數(shù)據(jù)的極差為86－73＝13，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80，A錯 誤，B錯誤；對C，(80＋76＋73＋82＋86＋75＋81)÷7＝79，C正確；對D， [(80－79)2＋(76－79)2＋(73－79)2＋(82－79)2＋(86－79)2＋(75－79)2＋(81－ 79)2]÷7≈17.7，D錯誤.故選C.
2. [2024湖北部分學(xué)校聯(lián)考]為了弘揚體育精神，某學(xué)校組織秋季運動會，在一項比 賽中，學(xué)生甲進行了8組投籃，得分分別為10，8， a ，8，7，9，6，8，如果學(xué)生甲 的平均得分為8分，那么這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為(　C　)
3. [全國卷Ⅱ]演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績 時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分 與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(　A　)
[解析]　記9個原始評分分別為 a ， b ， c ， d ， e ， f ， g ， h ， i (按從小到大的順序 排列)，易知 e 為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位 數(shù)，故選A.
4. [2024河南名校聯(lián)考]在某次考試中，某班學(xué)生的最高分為100分，最低分為50分， 且最高分只有1個，現(xiàn)將全班每個學(xué)生的分數(shù)按照 yi ＝ axi ＋ b ( a ＞0)進行調(diào)整，其 中 xi 是第 i 個學(xué)生的原始分數(shù)， yi 是第 i 個學(xué)生調(diào)整后的分數(shù)，若調(diào)整后，全班的最 高分為100分，最低分為60分，則(　B　)
[解析]　對于A，B：根據(jù)題意知100＝100 a ＋ b ，60＝50 a ＋ b ，所以 a ＝0.8， b ＝ 20，于是 yi ＝0.8 xi ＋20，則 yi － xi ＝0.8 xi ＋20－ xi ＝20－0.2 xi ＝0.2(100－ xi )≥0， 即除了最高分外，調(diào)整后的分數(shù)都高于原始分數(shù)，因此調(diào)整后分數(shù)的平均數(shù)、中位 數(shù)分別高于原始分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)，A錯誤，B正確.
對于C：根據(jù) yi ＝0.8 xi ＋20，可得調(diào)整后分數(shù)的標準差等于原始分數(shù)的標準差的0.8 倍，顯然調(diào)整后分數(shù)的標準差變小了，故C錯誤.
對于D：如果原始分數(shù)相同，則調(diào)整后的分數(shù)也相同，故調(diào)整后分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)和 原始分數(shù)的眾數(shù)個數(shù)相同，故D錯誤.
5. [多選/2024云南昆明模擬]甲、乙兩個旅游景區(qū)某月初連續(xù)7天的日均氣溫(單位： ℃)數(shù)據(jù)如圖所示(氣溫均取整數(shù))，則關(guān)于這7天的日均氣溫，下列判斷正確的是 (　ABC　)
6. [多選/2023合肥市二檢]如圖是某汽車公司100家銷售商2022年新能源汽車銷售量 (單位：輛)的頻率分布直方圖，則(　ACD　)
[解析]　對于A，由頻率分布直方圖可得，50×0.002＋50×0.003＋50 a ＋50×0.006 ＋50 a ＋50×0.001＝1，得 a ＝0.004，故A正確；對于B，(25×0.002＋75×0.003＋ 125×0.004＋175×0.006＋225×0.004＋275×0.001)×50＝150，故B錯誤；對于C， 設(shè)80％分位數(shù)為 x ，易得 x ∈[200，250)，則50×0.002＋50×0.003＋50×0.004＋ 50×0.006＋( x －200)×0.004＝0.8，解得 x ＝212.5，故C正確；對于D，銷售量在 [200，300]內(nèi)的頻率為50×0.004＋50×0.001＝0.25，20×0.25＝5，所以從銷售量在 [200，300]內(nèi)的銷售商中抽取5家，故D正確.故選ACD.
8. [2024新疆喀什模擬]樣本中共有五個個體，其值分別為 a ，0，1，2，3，若該樣 本的平均值為1，則樣本方差為 ?.
9. [2024陜西商洛聯(lián)考]某品牌汽車2019—2022年這四年的銷量逐年增長，2019年銷 量為5萬輛，2022年銷量為22萬輛，且這四年銷量的中位數(shù)與平均數(shù)相等，則這四 年的總銷量為 萬輛.
11. [2023廣西聯(lián)考]某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產(chǎn)的新能源汽 車，約定從2023年1月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予 適當金額的購車補貼.某調(diào)研機構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的 心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求實數(shù) m 的值；(2)估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)(同一 組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)；(精確到0.01)
[解析]　(1)由題意知，1×(0.10＋0.30＋0.30＋ m ＋0.10＋0.05)＝1，解得 m ＝0.15.
(3)現(xiàn)在要從購車補貼金額的心理預(yù)期值在區(qū)間[3，5)的樣本中用分層隨機抽樣的方 法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行調(diào)查，求抽到的2人購車補貼金額的心理 預(yù)期值都在區(qū)間[3，4)的概率.
13. 某學(xué)校統(tǒng)計教師職稱及年齡，中級職稱教師的人數(shù)為50，其平均年齡為38歲， 方差是2，高級職稱的教師中有3人58歲，5人40歲，2人38歲，則該校中級職稱和高 級職稱教師年齡的平均數(shù)和方差分別為 和 .(平均數(shù)精確到0.1)
14. 某“雙一流A類”大學(xué)就業(yè)部從該校2023年已就業(yè)的大學(xué)本科畢業(yè)生中隨機抽取 了100人進行問卷調(diào)查，其中一項是他們的月薪收入情況，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，他們的月薪 收入在1.65萬元到2.35萬元之間，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組，得到如下的頻率分布直方 圖，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表.
方案二：這50人共收取費用約為50×0.03×2＝3(萬元).故方案一能收到更多的費用.
15. [設(shè)問創(chuàng)新/2024重慶統(tǒng)考]四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點 數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點數(shù)6的是(　A　)

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《高考總復(fù)習(xí)》數(shù)學(xué) 第九章 第5講 用樣本估計總體[配套課件]

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2022版新高考數(shù)學(xué)人教版一輪課件：第10章 第2講 用樣本估計總體

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