TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc151568538" 題型1線段長度定值問題 PAGEREF _Tc151568538 \h 1
\l "_Tc151568539" 題型2周長定值問題 PAGEREF _Tc151568539 \h 3
\l "_Tc151568540" 題型3面積定值問題 PAGEREF _Tc151568540 \h 5
\l "_Tc151568541" 題型4向量積定值問題 PAGEREF _Tc151568541 \h 6
\l "_Tc151568542" 題型5角度定值問題 PAGEREF _Tc151568542 \h 8
\l "_Tc151568543" 題型6運算關系定值問題 PAGEREF _Tc151568543 \h 9
\l "_Tc151568544" ◆類型1和關系 PAGEREF _Tc151568544 \h 10
\l "_Tc151568545" ◆類型2差關系 PAGEREF _Tc151568545 \h 11
\l "_Tc151568546" ◆類型3積關系 PAGEREF _Tc151568546 \h 11
\l "_Tc151568547" ◆類型4商關系 PAGEREF _Tc151568547 \h 12
\l "_Tc151568548" ◆類型5平方關系 PAGEREF _Tc151568548 \h 13
\l "_Tc151568549" 題型7坐標相關定值問題 PAGEREF _Tc151568549 \h 14
\l "_Tc151568550" 題型8參數(shù)相關定值問題 PAGEREF _Tc151568550 \h 16
\l "_Tc151568551" 題型9斜率定值問題 PAGEREF _Tc151568551 \h 18
\l "_Tc151568552" 題型10斜率和定值問題 PAGEREF _Tc151568552 \h 19
\l "_Tc151568553" 題型11斜率差定值問題 PAGEREF _Tc151568553 \h 21
\l "_Tc151568554" 題型12斜率積定值問題 PAGEREF _Tc151568554 \h 22
\l "_Tc151568555" 題型13斜率比定值問題 PAGEREF _Tc151568555 \h 24
題型1線段長度定值問題
【例題1】（2023·全國·模擬預測）已知橢圓C：的左焦點為，點在C上.
(1)求橢圓C的標準方程.
(2)過F的兩條互相垂直的直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，若線段AB，PQ的中點分別為M，N，且過F作直線MN的垂線，垂足為D，證明：存在定點H，使得為定值.
【變式1-1】1. （2023上·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線過點，直線l與該拋物線C相交于M，N兩點，過點M作x軸的垂線，與直線交于點G，點M關于點G的對稱點為P，且O，N，P三點共線．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若過點作，垂足為H（不與點Q重合），是否存在定點T，使得為定值？若存在，求出該定點和該定值；若不存在，請說明理由．
【變式1-1】2. （2023下·廣東深圳·高二深圳外國語學校?？茧A段練習）已知點在雙曲線上．
(1)點，為的左右頂點，為雙曲線上異于，的點，求的值；
(2)點，在上，且，，為垂足，證明：存在定點，使得為定值．
【變式1-1】3. （2023·云南曲靖·校考三模）雙曲線的左頂點為，焦距為4，過右焦點作垂直于實軸的直線交于兩點，且是直角三角形.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知是上不同的兩點，中點的橫坐標為2，且的中垂線為直線，是否存在半徑為1的定圓，使得被圓截得的弦長為定值，若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由.
【變式1-1】4. （2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學考試）過雙曲線上一點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，且．
(1)求雙曲線的方程．
(2)已知點，兩個不重合的動點，在雙曲線上，直線，分別與軸交于點，，點在直線上，且，試問是否存在定點，使得為定值？若是，求出點的坐標和；若不存在，請說明理由．
【變式1-1】5.（2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學校考模擬預測）已知拋物線的焦點為，準線為，過點且傾斜角為的直線交拋物線于點（M在第一象限），，垂足為，直線交軸于點，
(1)求的值.
(2)若斜率不為0的直線與拋物線相切，切點為，平行于的直線交拋物線于兩點，且，點到直線與到直線的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.
題型2周長定值問題
【例題2】（2023·云南大理·統(tǒng)考模擬預測）已知點到定點的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù)．
(1)求點的軌跡的方程；
(2)若直線：與圓相切，切點在第四象限，直線與曲線交于，兩點，求證：的周長為定值．
【變式2-1】1. （2023·湖南長沙·長沙市實驗中學?？既＃┮阎狿為圓C：上一動點，點，線段PN的垂直平分線交線段PC于點Q．
(1)求點Q的軌跡方程；
(2)點M在圓上，且M在第一象限，過點M作圓的切線交Q點軌跡于A，B兩點，問的周長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.
【變式2-1】2. （2023·上?！ど虾Ｊ衅邔氈袑W校考模擬預測）已知橢圓：的左焦點為，左、右頂點分別為，，上頂點為.
(1)若為直角三角形，求的離心率；
(2)若，，點，是橢圓上不同兩點，試判斷“”是“，關于軸對稱”的什么條件？并說明理由；
(3)若，，點為直線上的動點，直線，分別交橢圓于，兩點，試問的周長是否為定值？請說明理由.
【變式2-1】3. （2023·甘肅·統(tǒng)考二模）已知橢圓的長軸長為4，A，B是其左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的動點，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P為直線上一點，PA，PB分別與橢圓交于C，D兩點．
①證明：直線CD過橢圓右焦點；
②橢圓的左焦點為，求的周長是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【變式2-1】4. （2023·云南曲靖·曲靖一中?？寄M預測）在平面直角坐標系中，動圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)設曲線的左、右兩個頂點分別為、，為直線上的動點，且不在軸上，直線與的另一個交點為，直線與的另一個交點為，為曲線的左焦點，求證：的周長為定值.
【變式2-1】5.（2023上·北京密云·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，點是橢圓的右焦點，且點在橢圓上，直線與橢圓交于A，兩點.
(1)求橢圓的方程；
(2)當時，求的面積；
(3)對，的周長是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說明理由.
題型3面積定值問題
【例題3】（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中學校考階段練習）設，，向量，分別為平面直角坐標內(nèi)軸，軸正方向上的單位向量，若向量，，且.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)設橢圓：，曲線的切線交橢圓于、兩點，試證：的面積為定值.
【變式3-1】1. （2023上·上海浦東新·高三上海市進才中學?？茧A段練習）已知橢圓的兩個焦點分別為、，直線與橢圓交于A、B兩點.
(1)若直線l經(jīng)過點，且，求點A的坐標；
(2)若直線l經(jīng)過點，且，求直線l的方程；
(3)若，則的面積是否為定值?如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由.
【變式3-1】2. （2023上·湖北武漢·高三武鋼三中?？茧A段練習）已知、、是直線上的三點，且，，切直線于點，又過、作異于的兩切線，設這兩切線交于點.
(1)求點的軌跡方程；
(2)設、是的軌跡上的不同兩點且不關于原點對稱，若，的斜率分別為，，問：是否存在實數(shù)，使得當時，的面積是定值？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.
【變式3-1】3. （2023·四川南充·四川省南充高級中學校考三模）已知橢圓的左、右焦點為，離心率為.點是橢圓上不同于頂點的任意一點，射線分別與橢圓交于點，的周長為8.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設，，的面積分別為.求證：為定值.
【變式3-1】4. （2023上·上海嘉定·高三上海市育才中學?？计谥校┮阎獧E圓Γ方程為，B1、B2分別是橢圓Γ短軸上的上下兩個端點，F(xiàn)1是橢圓的左焦點，P是橢圓上異于B1、B2的點，是邊長為4的等邊三角形．
(1)求橢圓的離心率；
(2)當直線PB1的一個方向向量是（1，1）時，求以PB1為直徑的圓的標準方程；
(3)點R滿足：，，試問：與的面積之比是否為定值？并說明理由．
題型4向量積定值問題
【例題4】（2023·全國·模擬預測）已知橢圓，其離心率為，直線被橢圓截得的弦長為．
(1)求橢圓的標準方程．
(2)圓的切線交橢圓于，兩點，切點為，求證：是定值．
【變式4-1】1. （2023上·四川·高三南江中學校聯(lián)考階段練習）以坐標原點為對稱中心，坐標軸為對稱軸的橢圓過點．
(1)求橢圓的方程．
(2)設是橢圓上一點（異于），直線與軸分別交于兩點．證明在軸上存在兩點，使得是定值，并求此定值．
【變式4-1】2. （2022上·新疆昌吉·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓，，是C的左、右焦點，過的動直線l與C交于不同的兩點A，B兩點，且的周長為，橢圓的其中一個焦點在拋物線準線上，
(1)求橢圓的方程；
(2)已知點，證明:為定值.
【變式4-1】3. （2018·天津·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，橢圓的一個頂點與兩個焦點構成的三角形面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線與橢圓C交于A，B兩點，且與x軸，y軸交于M，N兩點.
①若，求k的值；②若點Q的坐標為，求證：為定值.
【變式4-1】4. （2023·四川成都·成都七中?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，過右側的點作，垂足為，且．

(1)求點的軌跡的方程；
(2)過點的動直線交軌跡于，設，證明：為定值．
題型5角度定值問題
【例題5】（2023上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）如圖3所示，點，分別為橢圓的左焦點和右頂點，點為拋物線的焦點，且（為坐標原點）.

(1)求橢圓的方程；
(2)過點作直線交橢圓于，兩點，連接，并延長交拋物線的準線于點，，求證：為定值.
【變式5-1】1. （2023下·浙江·高二浙江省開化中學校聯(lián)考期中）已知離心率為2的雙曲線的左右頂點分別為，，頂點到漸近線的距離為.過雙曲線右焦點的直線與雙曲線交于，（異于點，）兩點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)記，，的面積分別為，，，當時，求直線的方程；
(3)若直線，分別與直線交于，兩點，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【變式5-1】2. （2023下·北京海淀·高三人大附中?？奸_學考試）已知橢圓的長軸長為，且過點．
(1)求C的方程和離心率；
(2)過點與作直線l交橢圓C于點D、E（不與點A重合）．是否為定值?若是，求出該定值，若不是，求其取值范圍．
【變式5-1】3. （2023下·河南安陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的左頂點為，右焦點為．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點F的直線l與橢圓C交于點M，N（異于點A），直線AM，AN分別與直線交于點P，Q．問：的大小是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．
【變式5-1】4. （2023上·湖北十堰·高三統(tǒng)考階段練習）已知橢圓：的右焦點為在橢圓上，的最大值與最小值分別是6和2.
(1)求橢圓的標準方程.
(2)若橢圓的左頂點為，過點的直線與橢圓交于（異于點）兩點，直線分別與直線交于兩點，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
題型6運算關系定值問題
◆類型1和關系
【例題6-1】（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，已知橢圓()的左右焦點分別為，，點為上的一個動點(非左右頂點)，連接并延長交于點，且的周長為，面積的最大值為2．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若橢圓的長軸端點為，且與的離心率相等，為與異于的交點，直線交于兩點，證明：為定值．
【變式6-1】（2022上·浙江嘉興·高二?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎獧E圓的焦點為，，且滿足______，橢圓的上、下頂點分別為，右頂點為，直線過點且垂直于軸.現(xiàn)有如下兩個條件分別為：
條件①；橢圓過點，條件②：橢圓的離心率為
請從上述兩個條件中選擇一個補充在橫線上，并完成解答.

(1)求橢圓的標準方程；
(2)若點在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點，直線與軸交于點.試問：是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
◆類型2差關系
【例題6-2】（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線與直線有唯一的公共點M.
(1)若點在直線l上，求直線l的方程；
(2)過點M且與直線l垂直的直線分別交x軸于，y軸于兩點.是否存在定點G，H，使得M在雙曲線上運動時，動點使得為定值.
【變式6-2】（2023·湖北·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，，過的直線交于A，兩點，且在線段上.
(1)求直線，的斜率之和；
(2)設與交于點，證明：為定值.
◆類型3積關系
【例題6-3】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線 的一個頂點為，D，E是C上關于原點O對稱的兩點，且直線AD，AE的斜率之積為．
(1)求C的標準方程．
(2)設Q是C上任意一點，過Q作與C的兩條漸近線平行的直線，與x軸分別交于點M，N，判斷x軸上是否存在點G，使得為定值．
【變式6-3】（2021上·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習）已知雙曲線的漸近線傾斜角分別為和，為其左焦點，為雙曲線右支上一個動點．
(1)求雙曲線方程．
◆類型4商關系
【例題6-4】（2023上·廣西·高三統(tǒng)考階段練習）已知雙曲線過點和點．
(1)求雙曲線的離心率；
(2)過的直線與雙曲線交于，兩點，過雙曲線的右焦點且與平行的直線交雙曲線于，兩點，試問是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請說明理由．
【變式6-4】1. （2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點，當l垂直于x軸時，M，N到C的一條漸近線的距離之和為.
(1)求C的方程；
(2)證明：為定值.
【變式6-4】2. （2023上·四川成都·高三?？茧A段練習）已知橢圓：（）的左，右焦點為，，離心率為，點是橢圓上不同于頂點的任意一點，射線，分別與橢圓交于點，，的周長為8．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求證：為定值．
【變式6-4】3.（2023·山東德州·三模）已知分別為雙曲線的左，右焦點，點在上，且雙曲線的漸近線與圓相切．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若過點且斜率為的直線交雙曲線的右支于兩點，為軸上一點，滿足，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
◆類型5平方關系
【例題6-5】（2023上·福建廈門·高三廈門一中?？茧A段練習）已知分別是橢圓的右頂點和上頂點，，直線的斜率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線，與軸交于點，與橢圓相交于點，求證：為定值.
【變式6-5】1.（2023上·河南焦作·高三博愛縣第一中學?？茧A段練習）已知半橢圓和半圓組成曲線.如圖所示，半橢圓內(nèi)切于矩形，CD與y軸交于點G，點P是半圓上異于A，B的任意一點.當點P位于點處時，的面積最大.

(1)求曲線的方程；
(2)連接PC，PD分別交AB于點E，F(xiàn)，求證：為定值.
【變式6-5】2.（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點．
(1)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
(2)已知過點的直線與過點的直線的交點N在雙曲線C上，直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，證明為定值，并求出定值．
題型7坐標相關定值問題
【例題7】（2023上·江蘇南京·高三南京市第一中學校考階段練習）已知拋物線C：，圓M：，圓M上的點到拋物線上的點距離最小值為．
(1)求圓M的方程；
(2)設P為上一點，P的縱坐標不等于．過點P作圓M的兩條切線，分別交拋物線C于兩個不同的點，和點，，求證：為定值．
【變式7-1】1. （2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預測）已知拋物線T的頂點在原點，對稱軸為坐標軸，且過，，，四點中的兩點.
(1)求拋物線T的方程：
(2)已知圓，過點作圓的兩條切線，分別交拋物線T于，和，四個點，試判斷是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，請說明理由.
【變式7-1】2. （2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習）已知拋物線的方程為．
(1)若M是上的一點，點N在的準線l上，的焦點為F，且，，求；
(2)設為圓外一點，過P作的兩條切線，分別與相交于點A，B和C，D，證明：當P在定直線上運動時，四點的縱坐標乘積為定值的充要條件為．
【變式7-1】3. （2023·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點到焦點的距離為3.

(1)求，的值；
(2)設為直線上除，兩點外的任意一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點，和，，試判斷，，，四點縱坐標之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請說明理由.
【變式7-1】4. （2023·上海長寧·上海市延安中學?？既＃┮阎獧E圓的離心率是，點是橢圓的上頂點，點是橢圓上不與橢圓頂點重合的任意一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)設圓.若直線與圓相切，求點的坐標；
(3)若點是橢圓上不與橢圓頂點重合且異于點的任意一點，點關于軸的對稱點是點，直線分別交軸與點?點，探究是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，說明理由.
【變式7-1】5.（2022·安徽淮南·統(tǒng)考二模）已知離心率為的橢圓的下頂點為，過點B（0，3）作斜率存在的直線交橢圓C于P，Q兩點，連AP，AQ分別與x軸交于點M，N，記點M，N的橫坐標分別為xM，xN.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)試判斷 xM xN 是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不是定值，請說明理由.
【變式7-1】6.（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的離心率為，四個頂點構成的四邊形面積為．
(1)求橢圓方程；
(2)若直線交橢圓于，，且，求證為定值．
題型8參數(shù)相關定值問題
【例題8】（2023上·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓：的離心率為，上焦點到上頂點的距離為2.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線交橢圓于，兩點，與定直線：交于點，設，，證明：為定值.
【變式8-1】1. （2023·四川南充·四川省南充高級中學校考三模）已知橢圓的左、右焦點為，，離心率為．點P是橢圓C上不同于頂點的任意一點，射線、分別與橢圓C交于點A、B，的周長為8．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若，，求證：為定值．
【變式8-1】2. （2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：的離心率，短軸長為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知經(jīng)過定點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且與直線相交于點Q，如果，，那么是否為定值？若是，請求出具體數(shù)值；若不是，請說明理由．
【變式8-1】3. （2023·云南·云南師大附中校考模擬預測）已知雙曲線：（，）的離心率是，實軸長是2，為坐標原點.設點為雙曲線上任意一點，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，的面積為.
(1)當?shù)姆匠虨闀r，求的值；
(2)設，求證：為定值.
【變式8-1】4. （2023·全國·高三專題練習）已知是拋物線上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標；
(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設，，求證：是定值.
【變式8-1】5.（2023·河北·模擬預測）已知拋物線的焦點為，圓恰與的準線相切.
(1)求的方程及點與圓上點的距離的最大值；
(2)為坐標原點，過點的直線與相交于A，B兩點，直線，分別與軸相交于點P，Q，，，求證：為定值.
【變式8-1】6.（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）（1）若橢圓的離心率，且被直線截得的線段長為，求橢圓的標準方程；
（2）橢圓，其中，若點是上的任意一點，過點作的切線交于兩點，為上異于的任意一點，且滿足，問：是否為定值？若為定值，求出該定值；否則，說明理由.
題型9斜率定值問題
【例題9】（2022上·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習）已知橢圓的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率，且過點．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓交于兩點，且直線的傾斜角互補，判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
【變式9-1】1. （2023·河北保定·統(tǒng)考二模）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為短軸長的2倍，若橢圓經(jīng)過點，
(1)求橢圓的方程；
(2)若是橢圓上不同于點的兩個動點，直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，證明：直線的斜率為定值．
【變式9-1】2. （2023上·江西·高三統(tǒng)考開學考試）已知橢圓的離心率為，且點在上.
(1)求的方程；
(2)設為坐標原點，直線與交于另一點，與直線平行的直線交于，兩點，直線與交于點，證明：直線的斜率為定值.
【變式9-1】3. （2023·全國·高三專題練習）已知，分別是橢圓長軸的兩個端點，C的焦距為2．，，P是橢圓C上異于A，B的動點，直線PM與C的另一交點為D，直線PN與C的另一交點為E．
(1)求橢圓C的方程；
(2)證明：直線DE的傾斜角為定值．
【變式9-1】4. （2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線：的焦點為.

(1)求拋物線的標準方程；
(2)拋物線在軸上方一點的橫坐標為，過點作兩條傾斜角互補的直線，與曲線的另一個交點分別為，，求證：直線的斜率為定值．
題型10斜率和定值問題
【例題10】（2022上·河南商丘·高三?？茧A段練習）已知是橢圓的頂點（如圖），直線l與橢圓交于異于頂點的兩點，且，若橢圓的離心率是，且，

(1)求此橢圓的方程；
(2)設直線和直線的斜率分別為，證明為定值.
【變式10-1】1. （2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設點P的軌跡為曲線H.
(1)求曲線H的方程；
(2)經(jīng)過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.
【變式10-1】2. （2023上·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學考試）已知拋物線與拋物線在第一象限交于點.
(1)已知為拋物線的焦點，若的中點坐標為，求；
(2)設為坐標原點，直線的斜率為.若斜率為的直線與拋物線和均相切，證明為定值，并求出該定值.
【變式10-1】3. （2023·全國·高三專題練習）設拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設為E上一點，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．
【變式10-1】4.（2023·河北滄州·校考模擬預測）已知橢圓過點，點與關于原點對稱，橢圓上的點滿足直線與直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)直線與橢圓相交于兩點，已知點，點與關于原點對稱，討論：直線的斜率與直線的斜率之和是否為定值？如果是，求出此定值；如果不是，請說明理由.
【變式10-1】5. （2023上·四川成都·高三成都七中?？奸_學考試）已知，．
(1)證明：總與和相切；
(2)在（1）的條件下，若與在y軸右側相切于A點，與在y軸右側相切于B點．直線與和分別交于P，Q，M，N四點.是否存在定直線使得對任意題干所給a，b，總有為定值？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由．
題型11斜率差定值問題
【例題11】（2023上·湖南長沙·高三周南中學校考階段練習）已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若為雙曲線的左焦點，過點作直線交的左支于兩點.點，直線交直線于點.設直線的斜率分別，求證：為定值.
【變式11-1】1. （2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線C：經(jīng)過點，右焦點為，且，，成等差數(shù)列.
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的右支交于P，Q兩點（P在Q的上方），PQ的中點為M，M在直線l：上的射影為N，O為坐標原點，設的面積為S，直線PN，QN的斜率分別為，，證明：是定值.
【變式11-1】2. （2023上·湖南永州·高三永州市第一中學校考階段練習）已知為坐標原點，橢圓的左?右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，當?shù)闹荛L取得最大值8時，.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點作斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點，若，直線與直線交于點，記直線的斜率分別為，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.
題型12斜率積定值問題
【例題12】（2023上·江西南昌·高三江西師大附中?？茧A段練習）已知雙曲線的實軸長為4，離心率為．過點的直線l與雙曲線C交于A，B兩點．
(1)求雙曲線C的標準方程；
(2)已知點，若直線QA，QB的斜率均存在，試問其斜率之積是否為定值？請給出判斷與證明．
【變式12-1】1. （2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考階段練習）已知橢圓：的離心率為，的左右焦點分別為，，是橢圓上任意一點，滿足.拋物線：的焦點與橢圓的右焦點重合，點是拋物線的準線上任意一點，直線，分別與拋物線相切于點.
(1)若直線與橢圓相交于，兩點，且的中點為，求直線的方程；
(2)設直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
【變式12-1】2. （2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習）已知橢圓的焦距為，且過點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過點的直線與橢圓相交于兩點，設直線的斜率分別為，試探究是否為定值？請說明理由.
【變式12-1】3. （2023上·四川成都·高三石室中學校考階段練習）動圓與圓：外切，與圓：內(nèi)切.
(1)求動圓的圓心的軌跡方程；
(2)直線：與相交于兩點，過上的點作軸的平行線交線段于點，直線的斜率為（O為坐標原點），若，判斷是否為定值？并說明理由.
【變式12-1】4. （2023上·甘肅金昌·高三永昌縣第一高級中學?？茧A段練習）已知離心率為的橢圓與x軸，y軸正半軸交于兩點，作直線的平行線交橢圓于兩點.
(1)若的面積為1，求橢圓的標準方程；
(2)在（1）的條件下，記直線的斜率分別為，，求證：為定值；
【變式12-1】5.（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學考試）在直角坐標系中，點到點的距離與到直線：的距離之比為，記動點的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過上兩點，作斜率均為的兩條直線，與的另兩個交點分別為，.若直線，的斜率分別為，，證明：為定值.
題型13斜率比定值問題
【例題13】（2023上·上海寶山·高三上海交大附中校考階段練習）我們約定，如果一個橢圓的長軸和短軸分別是另一條雙曲線的實軸和虛軸，則稱它們互為“姊妹”圓錐曲線.已知橢圓：，雙曲線是橢圓的“姊妹”圓錐曲線，，分別為，的離心率，且，點M，N分別為橢圓的左、右頂點，設過點的動直線l交雙曲線右支A，B兩點，若直線AM，BN的斜率分別為，.
(1)求雙曲線的方程；
(2)試探究與的是否定值.若是定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由；
(3)求的取值范圍.
【變式13-1】1. （2023上·湖北荊州·高三沙市中學校考階段練習）已知雙曲線的實軸長為，左右兩個頂點分別為，經(jīng)過點的直線交雙曲線的右支于兩點，且在軸上方，當軸時，.
(1)求雙曲線方程.
(2)求證：直線的斜率之比為定值.
【變式13-1】2. （2021上·廣東深圳·高二深圳中學?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點是，過點F的直線交橢圓C于A，B兩點，若線段AB中點Q的坐標為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知是橢圓C的下頂點，如果直線y=kx+1（k≠0）交橢圓C于不同的兩點M，N，且M，N都在以P為圓心的圓上，求k的值；
(3)過點作一條非水平直線交橢圓C于R、S兩點，若A，B為橢圓的左右頂點，記直線AR、BS的斜率分別為k1、k2，則是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【變式13-1】3. （2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知橢圓：的焦距為4，左、右頂點分別為、，左、右焦點分別為、，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，的周長為12.
(1)記直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值；
(2)記的面積為，的面積為，求的最大值.
【變式13-1】4. （2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）已知橢圓：的三個頂點構成邊長為4的等邊三角形．
(1)求的標準方程；
(2)已知直線的傾斜角為銳角，分別與軸、軸相交于點，，與相交于，兩點，且為線段的中點，關于軸的對稱點為，直線與的一個交點為．
（i）證明：直線與的斜率之比為定值；
（ii）當直線的傾斜角最小時，求的方程．
1. （2023·廣東佛山·?？寄M預測）已知點為直線上的動點，過點作射線（點位于直線的右側）使得，設線段的中點為，設直線與軸的交點為.
(1)求動點的軌跡的方程.
(2)設過點的兩條射線分別與曲線交于點，設直線的斜率分別為，若，請判斷直線的斜率是否為定值以及其是否過定點，若斜率為定值，請計算出定值；若過定點，請計算出定點.
2. （2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎獧E圓的右焦點為，有兩個不同的點P、在橢圓上運動，且的最小值為，橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知直線與橢圓在第一象限交于點A，若的內(nèi)角平分線的斜率不存在.探究：直線的斜率是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
3. （2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考模擬預測）已知圓心為D的動圓經(jīng)過定點，且內(nèi)切于圓．
(1)求動點D的軌跡C的方程；
(2)直線與C相交于兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段于點Q，直線的斜率為k（O為坐標原點），的面積為，的面積為，若，判斷：是否為定值？并說明理由．
4．（2023·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預測）已知雙曲線 的左、右焦點分別為，，是的左頂點，的離心率為2．設過的直線交的右支于、兩點，其中在第一象限．

(1)求的標準方程；
(2)若直線、分別交直線于、兩點，證明：為定值；
(3)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；否則，說明理由．
5. （2020·江蘇揚州·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，橢圓過點，且橢圓的離心率為.直線與橢圓相交于兩點，線段的中垂線交橢圓于兩點.

(1)求的標準方程；
(2)求線段長的最大值；
(3)證明：為定值，并求此定值.
6. （2023·全國·校聯(lián)考三模）已知橢圓的上、下焦點分別為，，離心率為，過點作直線（與軸不重合）交橢圓于，兩點，的周長為.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若點A是橢圓的上頂點，設直線，，的斜率分別為，，，當時，求證：為定值.
7. （2023·山東·山東省實驗中學校考一模）在平面直角坐標系xOy中，點P到點的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，記點P的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點F且斜率不為零的直線l交橢圓E：于A，B兩點，交曲線C于M，N兩點，若為定值，求實數(shù)λ的值．
8. （2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知分別為橢圓的左，右頂點，為其右焦點，，且點在橢圓上．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若過的直線與橢圓交于兩點，且與以為直徑的圓交于兩點，證明：為定值．
9. （2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知一動點C與定點的距離與C到定直線l：的距離之比為常數(shù).
(1)求動點C的軌跡方程；
(2)過點F作一條不垂直于y軸的直線，與動點C的軌跡交于M，N兩點，在直線l上有一點，記直線PM，PF，PN的斜率分別為，，，證明：為定值.
10. （2022·湖北十堰·丹江口市第一中學?？寄M預測）已知雙曲線的左、右頂點分別為，右焦點為，點P為C上一動點（異于兩點），直線和直線與直線分別交于M，N兩點，當垂直于x軸時，的面積為2．
(1)求C的方程；
(2)求證：為定值，并求出該定值．
11. （2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C：的離心率為，且過點．
（1）求的方程：
（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．
12. （2019·全國·高考真題）已知點A，B關于坐標原點O對稱，│AB│ =4，⊙M過點A，B且與直線x+2=0相切．
（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑．
（2）是否存在定點P，使得當A運動時，│MA│－│MP│為定值？并說明理由．
13. （2018·北京·高考真題）已知拋物線C：=2px經(jīng)過點（1，2）．過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；
（Ⅱ）設O為原點，，，求證：為定值．
與線段長度有關的定值問題通常是先引入?yún)?shù)，利用距離公式或弦長公式得到長度解析式，再對解析式化簡，得出結果為定值
與面積有關的定值問題通常是利用面積公式把面積表示成某些變量的表達式，再利用題中條件化簡，
與向量有關的定值問題常見類型一是求數(shù)量積有關的定值問題，二是根據(jù)向量共線，寫出向量系數(shù)的表達式，再通過計算得出與向量系數(shù)有關的定值結論.
與代數(shù)式有關的定值問題，一般是依題意設條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值
（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡，得到定值；
（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
與斜率有關的定值問題常見類型是斜率之積商或斜率之和差為定值，求解時一般先利用斜率公式寫出表達式，再利用題中條件或韋達定理化簡.

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