(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，
所以.
當時，，所以在上單調(diào)遞增；
當時，令得，令得，
所以在上單調(diào)遞減：在上單調(diào)遞增.
綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）因為對恒成立，
即對恒成立.
設，其中，
所以，，
設，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因為，，
所以，存在，使得，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以.
因為，則，
設，其中，則，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，則，則，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，所以.
所以實數(shù)a的取值范圍為.
例2．（2022·福建師大附中高三階段練習）設， 其中．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)令， 若在上恒成立， 求的最小值．
【解析】（1），
①當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減；
②當時，在上單調(diào)遞增，且當時，，
所以當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增．
（2）因為，
所以若，，與在上恒成立矛盾，
所以，
則，
令，
則由可知在上單調(diào)遞減，
又當時，，，
，
又，
，使得，
，，
，
，
且當時，單調(diào)遞增；
當時，單調(diào)遞減，
，
又，
，解得，
令，
則在上恒大于0，
在上單調(diào)遞增，
．
例3．（2022·廣東廣州·一模）已知函數(shù)，.
(1)若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合；
(2)若函數(shù)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】（1）當時，顯然滿足題意
當時，若函數(shù)只有一個零點，
即只有一個根，因為1不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為
只有一個根，
即直線與函數(shù)（且）的圖像只有一個交點.
，令，得，
在和上，，在上，，
所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
在時有極小值，圖像如圖所示：
由圖可知：若要使直線與函數(shù)的圖像只有一個交點，
則或，
綜上.
（2）恒成立，
等價于，
令（），
，
①若時，，
所以在上單調(diào)遞增，
，即，滿足，
②若時，則，，
所以在上單調(diào)遞增，
當時，，不成立
故不滿足題意.
③若時，令，，
，，
，單調(diào)遞減，
，單調(diào)遞增，
只需即可，
，，
令
，在上單調(diào)遞增，
，時，，
，，
所以在上單調(diào)遞增，
，即，
綜上：
例4．（2022·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若在有兩個極值點，求證：．
【解析】（1）由，
求導得，
易知恒成立，故看的正負，即由判別式進行判斷，
①當時，即，，則在上單調(diào)遞增；
②當時，即或，
令時，解得或，
當時，，
則在上單調(diào)遞減；
當或，，
則在和上單調(diào)遞增；
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；
當或時，在上單調(diào)遞減，
在和上單調(diào)遞增.
（2）在上由兩個極值點，
或，且為方程的兩個根，即，，
，，即，
將，代入上式，可得：
，
由題意，需證，令，
求導得，
當時，，則在上單調(diào)遞減，即，
故.
例5．（2022·上海交大附中高三開學考試）已知，，若曲線和曲線都過點，且在點處有相同的切線.
(1)當時，求、、的值;
(2)求證：當且僅當時，函數(shù)存在最小值.
(3)已知存在，使得對一切恒成立，求滿足的的最小值.
【解析】（1）當時，，，則，，
由題意可得，即，解得.
（2）由已知，則.
（i）當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不存在最小值；
（ii）當時，由可得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
由可得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
故當時，函數(shù)存在最小值；
（iii）當時，由可得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由可得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故當時，函數(shù)存在最大值，無最小值.
綜上所述，當且僅當時，函數(shù)存在最小值.
（3）存在，使得對一切恒成立，則.
由（2）可知，當且僅當時，函數(shù)存在最小值，且，
由已知可得，則，
所以，，
由題意可得，因為，可得，
令，可得，
令，其中，
，當且僅當t = 0.5時取等，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
因為，，
所以，存在使得，由可得，
且，且，
所以，使得的最小值為.
例6．（2022·江蘇·南京市第一中學高三階段練習）已知函數(shù).
(1)若任意，，求a的取值范圍；
(2)若任意，，求a的取值范圍.
【解析】（1）當時，令 ，則，當時， ，所以 在 上單調(diào)遞增，故 ，故對任意的，，
由題意可知，對任意，，而當 時， ,
則當時，，
記，則，當時，，當 時， ，因此 在 單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故 ，故 ,
綜上可知：，
（2）記 ，
則，
記 ，則 ， 在時單調(diào)遞增，且
當 時， ，故在時單調(diào)遞增，且 ，故在時單調(diào)遞增，則 ，此時滿足題意，故
當 時，存在 ，使得當 時 當時， ，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且 ，故存在 ，使得當 時 當時， ，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，不滿足對任意的 ，，故舍去，
綜上可知：
例7．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）當時，，
求導，
設，
則，
令 ，解得： ；，，
∴ 在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
則，
∴在（0，+∞）上恒成立，
∴的遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間；
（2），
由（1）知：＝，
又因為在（1，+∞）單調(diào)遞增，
則g（x）≥g（1）＝2，
①當a≤2時，，在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴，滿足題意．
②當a＞2時，設，則，
當時，，
∴在[1，+∞）遞增， ，，
∴?，使，
∵在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當時，＜0，即＜0，所以在上單調(diào)遞減，
又，
∴當時，，不滿足題意．
∴的取值范圍為，
綜上可知：實數(shù)的取值范圍（﹣ ，2]．
例8．（2022·湖南·永興縣童星學校高三階段練習）已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），.
(1)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）有兩個零點，
關于的方程有兩個相異實根，
，
有兩個零點即有兩個相異實根.
令，
則，
得，得
在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
，
又
當時，，當時，，當時，
有兩個零點時，實數(shù)的取值范圍為；
（2），所以
原命題等價于對一切恒成立，
對一切恒成立，
令，
令，
則
在上單增，
又，
使，即①，
當時，，即在遞減
當時，，即在遞增，
由①知，
，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
即
實數(shù)的取值范圍為.
例9．（2022·遼寧·大連二十四中高三階段練習）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最值；
(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)求證：．
【解析】（1）函數(shù)的定義域為.

，
令 即

記

，恒成立，即 在 是遞增函數(shù).
即恒成立
解得
在 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

，故無最大值.
的最小值為：，無最大值.
（2） 恒成立.
即恒成立.
在 恒成立
即在 恒成立
令

令，即
整理得：
令
在 恒成立
在上單調(diào)遞增.
，
使得即
當時，當時，
當時，當時，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

構(gòu)造函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，
所以，即
因此，實數(shù)的取值范圍是.
（3）設
，在上恒成立.
在上單調(diào)遞增且
在上恒成立.
在上恒成立.（其中，）.
即
則
故
例10．（2022·江蘇南通·高三開學考試）已知函數(shù).
(1)求證：函數(shù)存在唯一的極大值點；
(2)若恒成立，求的值.
【解析】（1）證明：因為，故，令，易得在上為減函數(shù)，且，，故在上有唯一零點.
故在上，上單調(diào)遞增；在上，上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在唯一的極大值點.
（2）恒成立即，設，則.
，，易得在定義域上為增函數(shù)，且，，故在上有唯一零點.
故在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增.
又，且，若恒成立，則為極大值點，此時，解得，此時在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，故恒成立.
故.
例11．（2022·安徽·高三開學考試）已知函數(shù).
(1)若在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍;
(2)若，求證:.
【解析】（1），
在上是增函數(shù)，在上恒成立，可得在上恒成立.
令，則，
當時，在上是增函數(shù)，，
，解得或，
即實數(shù)的取值范圍是；
（2），令，則，
在上單調(diào)遞增，
因為，，所以存在時，，
存在，使得，即，
所以當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，
當且僅當即時等號成立，
當，
例12．（2022·安徽·高三開學考試）已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(2)若，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，，
當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，令，解得；
當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由題意得，，即．
令，則，
當時，單調(diào)遞減，∴．
①當時，，則恒成立，∴為增函數(shù)，∴；
②當時，，
∵，，
∴存在，使，且時，單調(diào)遞減，
∴，與矛盾，舍去．
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．
例13．（2022·湖北·襄陽五中高三開學考試）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)當時，，求a的取值范圍．
【解析】（1）由可得，
當時，，
當時，，當時，，
從而的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當時，由得，，，
①若，即時，恒成立，故在R上單調(diào)遞增：
②若，即時，由可得，或．
令可得，
此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
③若，即時，由可得，或，
令可得，
此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當時，在R上單調(diào)遞增；
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）不等式，可得對恒成立，
即對任意的恒成立，
令，
則，
令，則，則在上單調(diào)遞減，
又，故在上有唯一的實根，
不妨設該實根為，
故當時，，，單調(diào)遞增；
當時，，，單調(diào)遞減，
故，
又因為，所以，，，
所以，
由題意知，解得，故a的取值范圍為．
另（2）由不等式，可得對恒成立，
即，對任意的恒成立，
令，，則，
故當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
故，
由題意知，解得，故a的取值范圍為．
例14．（2022·廣東·汕頭市達濠華僑中學高三階段練習）已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程；
(2)當時，關于的不等式恒成立，求滿足條件的實數(shù)的最大整數(shù)值.
【解析】（1）函數(shù)的定義域為，，
則在處的切線斜率，又
所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：，即，
（2）即，
又，所以，可得對于恒成立，
令，則.
再令，則，
所以在上單調(diào)遞增；又，，
所以使，即，使，
當時，，；當時，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，又因為，所以實數(shù)的最大整數(shù)值是4.
例15．（2022·江蘇·句容碧桂園學校高三開學考試）已知函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，是否存在整數(shù)，都有恒成立，若存在求出實數(shù)m的最小值，若不存在說明理由．
【解析】（1）∵，
當，，
∴在單調(diào)遞增
當時，，
令，得，得
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
綜上：時，在單調(diào)遞增；
當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
（2）∵，
∴，
∴，
∴
令，
∴
令，
∴在單調(diào)遞減，
∵
∵
∴，使得，即，
當，，，單調(diào)遞增，
當，，，單調(diào)遞減，
∴，
∵，，
∴，
∴m的最小值為3
例16．（2022·河南·南陽中學高三階段練習（理））已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若有極值點，且關于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值．
【解析】（1）因為定義域為，
所以，
當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知，若有極值點，
則，且，所以，所以，
因為關于的不等式恒成立，
所以在上恒成立．
設，則，
設，，所以在上單調(diào)遞減，
，
．
所以存在，使得，且當時，，即，單調(diào)遞增，
當時，，即，單調(diào)遞減，
所以，其中滿足，
所以，設的最小值為，則，
由得，．
當時，，所以，即．
所以整數(shù)的最小值為3．
例17．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其導函數(shù)為.
(1)若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍：
(2)當時，證明：在區(qū)間上有且只有兩個零點.
【解析】（1），
由題意得：在上恒成立，即在上恒成立，
由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，
所以
（2）當時，.
設，則
令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
又，，
故存在，使得，
當時，，即，在上單調(diào)遞增；
當時，，即，在上單調(diào)遞減；
又，，，
所以在和上各有一個零點，
從而在上有且僅有兩個零點.
例18．（2022·重慶十八中兩江實驗中學高三階段練習）設函數(shù)，，其導函數(shù)為．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若，為整數(shù)，且當，，求的最大值．
【解析】（1）因為的定義域為R，．
當時，則，在R上單調(diào)遞增；
當時，則，解得，
當x變化時，，變化如下表：
綜上，當時，在R上單調(diào)遞增；
當時，的單調(diào)減區(qū)間是，增區(qū)間是；
（2）由于，
∴．
故當時，等價于，
令，則．
由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
而，，
∴在存在唯一的零點，
故在存在唯一的零點．設此零點為m，則．
當時，；當時，，
∴在的最小值為．
又由，可得，
∴．
由于，
故整數(shù)的最大值為2．
例19．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市恒昌中學校高三開學考試）已知函數(shù).
(1)若有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)當時，證明：.
【解析】（1）的定義域為，，由題意在上有兩解，
即，即有兩解.
令，即的圖象與直線有兩個交點.
，得，當時，，遞增；
當時，，遞減，，，
時，；時，，
，，
a的取值范圍是.
（2）當時，，即證，即證，
令，，令，則，
當時，，在遞增.
，，
存在唯一的，使得，
當時，，遞減；
當時，，遞增，
.
又，，，
，
，.
例20．（2022·湖南·長沙市明德中學二模）已知函數(shù)．
(1)求證：；
(2)是否存在唯一實數(shù)，使得成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【解析】(1)證明：要證 ，
即證，即證，
令，可得，
當時，，單調(diào)遞減，
當，，單調(diào)遞增，
所以，所以.
(2)假設存在唯一實數(shù)，使得，即，
問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)存在唯一實數(shù)根.
令，
則，
（1）當時，，在上單調(diào)遞減，，
所以在內(nèi)無零點；
（2）當時，令，
可得，
①當，即時，，在單調(diào)遞減，
且，即，
在單調(diào)遞增，，所以在內(nèi)無零點.
②若，即時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，
所以，所以，在上單調(diào)遞增，，所以在無零點；
③若，即時，，在單調(diào)遞減，
因為，，
由，所以，使得，
當時，，則，單調(diào)遞減，，
所以在內(nèi)無零點.
當時，，則，單調(diào)遞增，
由（1）知，，
所以，
令，則，
取時，，，
在內(nèi)存在唯一零點，所以在內(nèi)存在唯一零點.
綜上所述，存在唯一實數(shù)，使，的取值范圍為.
例21．（2022·江西·贛州市第三中學模擬預測（文））已知函數(shù).
(1)若曲線與直線相切，求a的值；
(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍.
【解析】(1)的定義域為，.
令，得，又，
所以曲線的斜率為1的切線為，
由題意知這條切線即，故.
(2)存在，使得成立，即存在，使得成立.
設，則.
設，則.
當時，，當時，，
所以.
若，則，即，所以單調(diào)遞增，
故當時，，不符合題意.
若，，，
所以存在，使得，
當時，，即，在上單調(diào)遞減，
所以當時，，符合題意.
綜上可知，的取值范圍是.
例22．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)當a＝0時，若存在使得關于x的不等式成立，求k的最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）
【解析】（1）函數(shù)的定義域R，求導得：，
若，由，得，
當時，，當時，，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
若，則對任意都有，則在R上單調(diào)遞增，
若，當時，，當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當時，在R上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）當a=0時，令，則，令，
則，則當時，，在上單調(diào)遞增，
當時，，在上單調(diào)遞減，
因，，則存在，使得，即，
則當時，，當時，，
又當時，，所以當時，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，，
．
若存在使得關于x的不等式成立，且k為整數(shù)，得，
所以k的最小整數(shù)值為0.
x
－
0
＋
單調(diào)減
極小值
單調(diào)增

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