1、函數(shù)的概念
（1）一般地，給定非空數(shù)集，，按照某個對應(yīng)法則，使得中任意元素，都有中唯一確定的與之對應(yīng)，那么從集合到集合的這個對應(yīng)，叫做從集合到集合的一個函數(shù)．記作：，．集合叫做函數(shù)的定義域，記為，集合，叫做值域，記為．
（2）函數(shù)的實質(zhì)是從一個非空集合到另一個非空集合的映射．
（3）函數(shù)表示法：函數(shù)書寫方式為，
（4）函數(shù)三要素：定義域、值域、對應(yīng)法則．
（5）同一函數(shù)：兩個函數(shù)只有在定義域和對應(yīng)法則都相等時，兩個函數(shù)才相同．
2、基本的函數(shù)定義域限制
求解函數(shù)的定義域應(yīng)注意：
（1）分式的分母不為零；
（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：
（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；
（4）零次冪或負(fù)指數(shù)次冪的底數(shù)不為零；
（5）三角函數(shù)中的正切的定義域是且；
（6）已知的定義域求解的定義域，或已知的定義域求的定義域，遵循兩點：①定義域是指自變量的取值范圍； = 2 \* GB3 ②在同一對應(yīng)法則∫下，括號內(nèi)式子的范圍相同；
（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域．
3、基本初等函數(shù)的值域
（1）的值域是．
（2）的值域是：當(dāng)時，值域為；當(dāng)時，值域為．
（3）的值域是．
（4）且的值域是．
（5）且的值域是．
4、分段函數(shù)的應(yīng)用
分段函數(shù)問題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即分段函數(shù)問題，分段解決．
【典型例題】
例1．（2024·山東濰坊·高三階段練習(xí)）下列四個圖形中，不是以為自變量的函數(shù)的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根據(jù)函數(shù)定義，在定義域內(nèi)，對于任意的，只能有唯一確定的與其對應(yīng)，ABC滿足要求，
D選項，在定義域內(nèi)對于，有兩個確定的與其對應(yīng)，D錯誤.
故選：D
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則實數(shù)的值等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】令，解得或由此解得，
故選：D
例3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由題意得，，解得函數(shù)滿足，解得，
即函數(shù)的定義域為.
故選:A
例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函數(shù)的定義域為，得，
因此函數(shù)中，，解得或，
所以函數(shù)的定義域為.
故選：D
例5．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意可得，恒成立，
當(dāng)時，即，很顯然不滿足，
當(dāng)時，有，解得.
綜上可得，.
故選：B
例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是一次函數(shù)，且，則的解析式為
A．或B．或
C．或D．或
【答案】A
【解析】設(shè)，由題意可得，即
，求出和的值，即可得的解析式.設(shè)，則，
即對任意的恒成立，
所以，解得：或，
所以的解析式為或，
故選：A
例7．（多選題）（2024·全國·高三專題練習(xí)）下列各項不能表示同一個函數(shù)的是（ ）
A．與B．與
C．與D．與
【答案】ABD
【解析】對于A:定義域為，定義域為，A不能表示同一個函數(shù),A選項正確；
對于B:與解析式不同，B不能表示同一個函數(shù)，B選項正確；
對于C:解析式及定義域都相同，C選項是同一函數(shù)，C選項不正確；
對于D:定義域為，定義域為，D不能表示同一個函數(shù)，D選項正確；
故選:ABD.
例8．（多選題）（2024·海南省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的值可以是（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】BC
【解析】當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得，又，所以舍去．
綜上所述，或．
故選：BC
例9．（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)滿足關(guān)系式，則 .
【答案】6
【解析】因為，所以，
解得，所以.
故選：6
例10．（2024·北京房山·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是 .
【答案】
【解析】由題意可得、，故且，
故該函數(shù)定義域為.
故答案為：.
例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最值.
(1)的最大值.
(2)的最大值.
【解析】（1）
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最大值是.
（2）設(shè)，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，等號成立.
故的最大值為.
例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）求值域(用區(qū)間表示)：
(1)，①；②；
(2)；
(3).
【解析】（1），
①當(dāng)時，，
∴值域為[7，28]；
②當(dāng)時，，
∴值域為[3，12]．
（2）令，則，
因為，所以，即，
所以函數(shù)的值域為；
（3），
因為，所以
所以函數(shù)的值域為(∞，1)∪(1，+∞).
例13．（2024·天津河西·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求的值域；
(2)若的定義域為，求實數(shù)的值；
(3)若的定義域為，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）當(dāng)時，，
所以的值域為.
（2）因為的定義域為，
所以-2和1是方程的兩個根，
故，解得，檢驗符合，故,.
（3）當(dāng)時，，定義域為，符合題意；
當(dāng)時，，定義域不為，不符合題意；
當(dāng)時，由題意，在上恒成立，
令，解得，
綜上所述，實數(shù)的取值范圍.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，將換成，可得，
即，
聯(lián)立方程組，解得，
所以.
故選：B.
2．（2024·黑龍江佳木斯·佳木斯一中校考模擬預(yù)測）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立.奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).著名的“康托三分集.（Cantr）”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具體典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的開區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的開區(qū)間段，記為第二次操作；….如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的開區(qū)間段.操作過程不斷地進(jìn)行下去.以至無窮，剩下的區(qū)間集合即“康托三分集”.第三次操作后，從左到右第四個區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】第一次操作剩下：；
第二次操作剩下：；
第三次操作剩下：；
即從左到右第四個區(qū)間為.
故選：C.
3．（2024·山東濱州·高三校考階段練習(xí)）已知的定義域為，則的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因為定義域為，所以的定義域為，解得，
由分母不為，得，即，所以函數(shù)定義域為：.
故選：.
4．（2024·湖北省直轄縣級單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則的定義域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為函數(shù)的定義域為，
所以滿足，即，
又，即，
所以，解得.
所以函數(shù)的定義域為.
故選：D.
5．（2024·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【解析】由函數(shù)的定義域為，得對恒成立．
當(dāng)時，恒成立；
當(dāng)時，，解得．
綜上所述的取值范圍為．
故選：C．
6．（2024·吉林通化·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是R，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依題意，，不等式恒成立，
當(dāng)時，恒成立，則，
當(dāng)時，有，解得，則，因此
所以的取值范圍是.
故選：C
7．（2024·寧夏固原·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的圖象是一條開口向下的拋物線，對稱軸為，
所以該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，又，
所以，即函數(shù)的值域為.
故選：B.
8．（2024·全國·高三對口高考）已知函數(shù)的值域是，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，畫出圖像，如圖所示，
令，則，解得或，
令，則，解得（舍去）或，
對于A：當(dāng)時，結(jié)合圖像，得，故A錯誤；
對于B：當(dāng)時，結(jié)合圖像，得，故B錯誤；
對于C：當(dāng)時，結(jié)合圖像，得，故C錯誤；
對于D：當(dāng)時，結(jié)合圖像，得，故D正確；
故選：D．
9．（2024·全國·高三對口高考）若二次函數(shù)滿足，且，則的表達(dá)式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，
∵，則，
又∵，
令，則，∴，即，，
令，則，，即，，
∴，，.
故選：D.
10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）一次函數(shù)滿足：，則( )
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【解析】設(shè)，
，
∴，解得，∴，∴．
故選：C．
11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，則=（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，則 ，則，
所以，
故選：D.
12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若滿足關(guān)系式，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，
在中，，
∴，
故選：B.
13．（2024·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則的解析式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意，函數(shù)，
所以的解析式是.
故選：B
14．（2024·江西上饒·高三婺源縣天佑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列四組函數(shù)：① ；② ；③； ④；其中表示同一函數(shù)的是（ ）
A．②④B．②③C．①③D．③④
【答案】B
【解析】① ，兩個函數(shù)對應(yīng)法則不一樣，不是同一函數(shù)；
②，兩個函數(shù)定義域和對應(yīng)法則一樣，是同一函數(shù)；
③，兩個函數(shù)定義域和對應(yīng)法則一樣，是同一函數(shù)；
④，兩個函數(shù)定義域不一樣，不是同一函數(shù).
故選：B.
15．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】因為，所以.
故選：A.
16．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】函數(shù)，則，
所以.
故選：A
17．（2024·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，則實數(shù)m的值為（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】函數(shù)，，
所以.
故選：B
18．（2024·江蘇徐州·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)且，則等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依題意，或，解得，
所以.
故選：B
19．（2024·四川宜賓·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．8B．9C．22D．26
【答案】C
【解析】,
因為，所以,
所以.
故選：.
二、多選題
20．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）給定數(shù)集，，滿足方程，下列對應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】ABD
【解析】對于A，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，A正確；
對于B，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，B正確；
對于C，，取，，不符合函數(shù)定義，C錯誤；
對于D，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，D正確.
故選：ABD
21．（2024·重慶黔江·高三重慶市黔江中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知集合，，下列從集合到集合的各個對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】選項A，，集合中的每一個元素在集合中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，故A正確；
選項B，，集合中的每一個元素在集合中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，故B正確；
選項C，，集合中的每一個元素在集合中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，故C正確；
選項D，，集合中的1，在集合中沒有元素與之對應(yīng)，故D錯誤；
故選：ABC
22．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數(shù)關(guān)系的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】對于A：由圖象可知定義域不是，不滿足；
對于B：定義域為，值域為的子集，故符合函數(shù)的定義，滿足；
對于C：集合中有的元素在集合中對應(yīng)兩個值，不符合函數(shù)定義，不滿足；
對于D： 由函數(shù)定義可知D滿足．
故選：BD．
23．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)，且，則實數(shù)的值可能為（ ）
A．B．0C．2D．3
【答案】BCD
【解析】當(dāng)時，由，得，得，解得或，
當(dāng)時，由，得，得，解得（舍去）或，
綜上，，或，或，
故選：BCD
24．（2024·山東泰安·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的值可以為（ ）
A．B．3C．7D．8
【答案】AD
【解析】當(dāng)時，由，得，解得或（舍去），
當(dāng)時，由，得，解得，
綜上或，
故選：AD
25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的值可能是（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】AD
【解析】因為函數(shù)，且，
所以，解得：；或者，解得：.
故選：AD
26．（2024·云南·高三景東彝族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象是折線段，如圖所示，其中點，，的坐標(biāo)分別為，，，以下說法正確的是（ ）
A．B．的定義域為
C．為偶函數(shù)D．滿足的的取值集合為
【答案】ACD
【解析】由圖像可知，，故A正確.
由于的圖象，是將的圖象向右平移1個單位得到，
又的定義域為，所以的定義域為，故B錯誤.
是將的圖象向左平移1個單位長度得到，
由圖像可知，的圖象關(guān)于軸對稱，所以為偶函數(shù)，故C正確.
令，若，即，由圖像可知，或，即若，則或，
當(dāng)時，，當(dāng)時或，
故的取值集合為，所以D正確.
故選：ACD.
三、填空題
27．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式組的解集用區(qū)間表示為： ．
【答案】
【解析】∵不等式組 ，
∴，∴不等式組的解集為．
故答案為：．
28．（2024·北京東城·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為 .
【答案】
【解析】，
解得且，
函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
29．（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為 ．
【答案】
【解析】因為，所以，所以的定義域為，
要使有意義，需滿足，解得，
所以函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
30．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，求的定義域 .
【答案】
【解析】∵的定義域為，即，
∴，
故需，
∴．
∴的定義域為．
故答案為：
31．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，求的定義域 .
【答案】
【解析】因為函數(shù)的定義域為，
即，則，
故的定義域為．
故答案為：.
32．（2024·上?！じ呷虾Ｖ袑W(xué)校考期中）函數(shù)的值域是 ．
【答案】
【解析】由，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，
故函數(shù)的值域為.
故答案為：.
33．（2024·遼寧·高三大連二十四中校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的值域為 ．
【答案】
【解析】設(shè)，則且，根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)，
從而，所以．
故答案為：.
34．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三呂叔湘中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則函數(shù)的值域是 .
【答案】
【解析】∵.
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；
故函數(shù)的值域為.
故答案為：.
35．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為
【答案】
【解析】設(shè),則,
所以原函數(shù)可化為:,
由二次函數(shù)性質(zhì),當(dāng)時,函數(shù)取最大值,由性質(zhì)可知函數(shù)無最小值.
所以值域為:.
故答案為:.
36．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域為
【答案】
【解析】由已知得函數(shù)的定義域為，
，
，
又
，
，又，
故答案為：.
37．（2024·山西晉中·高三?？奸_學(xué)考試）若函數(shù)滿足，則 ．
【答案】/
【解析】因為，
所以有，
，得，
所以，
故答案為：
38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域是，且對任意正實數(shù)，y，都有恒成立，已知，則 .
【答案】－1
【解析】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案為：.
39．（2024·河南信陽·高三河南宋基信陽實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）已知滿足，則 ．
【答案】
【解析】因為，所以，
聯(lián)立，解得.
故答案為：.
40．（2024·河南·高三校聯(lián)考期末）已知，則 .
【答案】1
【解析】由已知時，，
所以，
又時，，
所以，
所以.
故答案為：.
四、解答題
41．（2024·全國·高三期末）已知二次函數(shù)滿足，且．求的解析式；
【解析】由，設(shè)，
由，則，
整理得，則，解得．
所以．
42．（2024·寧夏固原·高三?？茧A段練習(xí)）（1）已知，求函數(shù)的解析式；
（2）已知函數(shù)是一次函數(shù)，若，，求函數(shù)的解析式.
【解析】（1），
所以；
（2）設(shè)一次函數(shù)的解析式為，
則，解得，
所以.
43．（2024·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．
(1)已知，則的解析式為__________．
(2)已知滿足，求的解析式．
(3)已知，對任意的實數(shù)x，y都有，求的解析式．
【解析】（1）方法一（換元法）：令，則，．
所以，
所以函數(shù)的解析式為．
方法二（配湊法）：．
因為，所以函數(shù)的解析式為．
（2）將代入，得，
因此，解得．
（3）令，得，
所以，即．

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專題29 排列組合 -2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義：

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