專題08 冪函數(shù)與二次函數(shù)-2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1、冪函數(shù)的定義
一般地，（為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù)．
2、冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1；②的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù)．
（3）冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
4、二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對(duì)稱軸方程．
（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
5、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（1）單調(diào)性與最值
= 1 \* GB3 ①當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，； = 2 \* GB3 ②當(dāng)時(shí)，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，；．
（2）與軸相交的弦長(zhǎng)
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，．
6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處．
對(duì)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則．
【方法技巧與總結(jié)】
1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：
①當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；
②當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出；
③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似畫出．
2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系
（1）方程有兩個(gè)不等正根
（2）方程有兩個(gè)不等負(fù)根
（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為
3、一元二次方程的根的分布問題
一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)．
設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示．
4、有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像．
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——?jiǎng)虞S定區(qū)間和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸．即注意對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成： = 1 \* GB3 ①軸處在區(qū)間的左側(cè)； = 2 \* GB3 ②軸處在區(qū)間的右側(cè)； = 3 \* GB3 ③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論．
（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)．
【典型例題】
例1．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若且，則它的圖象可能是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由且，得，
所以函數(shù)是二次函數(shù)，圖象開口向上，排除A，C；
又，所以排除B；只有D符合.
故選：D.
例2．（2024·高三·河南·開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋裕?br>因?yàn)?，所以?br>故，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，實(shí)數(shù)的最小值為.
故選：D
例3．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則實(shí)數(shù)a的值是（）
A．B．3C．D．1
【答案】C
【解析】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，
因此，即，解得，
所以實(shí)數(shù)a的值是.
故選：C
例4．（2024·高三·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則t的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，則，，有最小值.
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開口向下，無最小值；
當(dāng)時(shí)，無最小值；
當(dāng)時(shí)，若在上有最小值，則對(duì)稱軸，解得.
故選：A
例5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)滿足對(duì)于任意的，，且.若，則的最大值與最小值之和是（）
A．B．C．4D．
【答案】C
【解析】設(shè)，
因?yàn)?，令，得，故，所以?br>令，得，故，即，
又，即，故，，所以，
由，得，設(shè)，，即，，
則
，
所以的最大值與最小值之和為，
故選：C
例6．（2024·高三·全國(guó)·期末）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是直線，
由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得，解得，
故選：D．
例7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】當(dāng)時(shí)，，在定義域R上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時(shí)，的圖象的對(duì)稱軸為直線，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以且，解得．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故選：D
例8．（2024·高一·浙江·單元測(cè)試）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以，解得，
故選：B
例9．（2024·高三·上海靜安·期末）下列冪函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的是（請(qǐng)?zhí)钊肴空_的序號(hào)）．
①； ②； ③ ； ④ ．
【答案】②
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，故④不滿足題意,
因?yàn)樵搩绾瘮?shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以圖象不關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故①不滿足題意；
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，故②滿足題意；
因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，故③不滿足題意.
故答案為：②.
例10．（2024·高一·重慶·期末）已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的值可以是．
【答案】（答案不唯一）
【解析】舉例，則，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)知其為奇函數(shù)，
且在上單調(diào)遞減，滿足題意.
故答案為：（答案不唯一）.
例11．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且的圖像恒過定點(diǎn)P，且P在冪函數(shù)的圖像上，則．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，的值與無關(guān)，且，故，設(shè)
將代入，解得，故
故答案為：
例12．（2024·高三·上海普陀·期中）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為 .
【答案】
【解析】設(shè)此冪函數(shù)的表達(dá)式為，
依題意可得，，即，解得，
所以此冪函數(shù)的表達(dá)式為.
故答案為：.
例13．（2024·高一·吉林長(zhǎng)春·期末）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則．
【答案】
【解析】由冪函數(shù)的定義知，，即，解得或，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，所以.
故答案為：
例14．（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則函數(shù)解析式為．
【答案】或
【解析】是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)，
且在上為增函數(shù)，
且為偶數(shù)，
解得或，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
故答案為：或
例15．（2024·江蘇南京·二模）冪函數(shù)滿足：任意有，且，請(qǐng)寫出符合上述條件的一個(gè)函數(shù) ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取，則定義域?yàn)镽，且，
，，滿足.
故答案為：.
例16．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù) .
①在上恒成立；②是偶函數(shù)；③.
【答案】（答案不唯一，形如均可）
【解析】由②知，函數(shù)可以是奇函數(shù)，由①知，函數(shù)在上可以是減函數(shù)，
由③結(jié)合①②，令，顯然，滿足①；是偶函數(shù)，滿足②；
，滿足③，
所以.
故答案為：
例17．（多選題）（2024·高三·海南?？凇ら_學(xué)考試）如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，圖像過點(diǎn)，對(duì)稱軸為，給出下面四個(gè)結(jié)論正確的為（）

A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】因?yàn)閳D像與軸交于兩點(diǎn)，所以，即，故A正確；
對(duì)稱軸為，即，所以，故B錯(cuò)誤；
結(jié)合圖像，當(dāng)時(shí)，，即，故C錯(cuò)誤；
由對(duì)稱軸為知，，根據(jù)拋物線開口向下，知，所以，
即，故D正確.
故選：AD
例18．（多選題）（2024·高二·山東濱州·階段練習(xí)）對(duì)數(shù)函數(shù)（且）與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】選項(xiàng)A，B中，由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象得，則二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)，其對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為0，，選項(xiàng)A中，由圖象得，從而，選項(xiàng)A可能；
選項(xiàng)B中，由圖象得，與相矛盾，選項(xiàng)B不可能．
選項(xiàng)C，D中，由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象得，則，二次函數(shù)圖象開口向下，D不可能；
選項(xiàng)C中，由圖象與x軸的交點(diǎn)的位置得，與相矛盾，選項(xiàng)C不可能．
故選：BCD．
【過關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，則在上單調(diào)遞增.
因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：，解得4.
故選：
2．（2024·高三·安徽·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)是上的偶函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)是上的偶函數(shù)，
則，解得或，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，合乎題意.
所以，，則，其對(duì)稱軸方程為，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得.
故選：B．
3．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則＝（）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，
所以，所以.
故選：C
4．（2024·高一·黑龍江雙鴨山·期中）是冪函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)（）
A．2B．C．4D．2或
【答案】A
【解析】由于是冪函數(shù)，所以，解得或，
由于在上是減函數(shù)，所以，故，
因此，
故選：A
5．（2024·高一·云南曲靖·期中）已知冪函數(shù)的圖象在上單調(diào)遞減，則的取值是（）
A．1B．-3C．1或-3D．2
【答案】A
【解析】∵為冪函數(shù)，∴或；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不滿足題意.
綜上可知：.
故選：A.
6．（2024·四川成都·一模）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，解得.
故選：C.
7．（2024·高一·廣東深圳·期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該冪函數(shù)在第一象限的大致圖象是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，所以，所以，
所以，因?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，且增加的速度越來越緩慢，
故該冪函數(shù)在第一象限的大致圖象是B選項(xiàng).
故選：B.
8．（2024·高一·陜西安康·期末）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為
由冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，解得
，其定義域?yàn)椋沂窃龊瘮?shù)，
當(dāng)時(shí)，其圖象在直線的上方，故 C滿足題意.
故選：C
9．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知為冪函數(shù)，則（）．
A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減
C．在上單調(diào)遞增D．在上單調(diào)遞減
【答案】B
【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，
所以或，
對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
對(duì)于，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；
故只有B選項(xiàng)“在上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．
故選：B
10．（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然不符合題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：函數(shù)的定義域?yàn)椋@然不符合題意，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：函數(shù)的定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，又在上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：函數(shù)的定義域?yàn)椋譃槠婧瘮?shù)，且在上函數(shù)是上凸遞增，故D正確.
故選：D
二、多選題
11．（2024·高三·黑龍江齊齊哈爾·期末）設(shè)，，則（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由且，
，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，故取不到，
所以，A錯(cuò)，B對(duì)；
，且，
所以，C對(duì)，D錯(cuò).
故選：BC
12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)滿足對(duì)于任意的且．若，則下列說法正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】設(shè)二次函數(shù)，
因?yàn)椋?，可得，故，所以?br>令，得，故，即；
又因?yàn)椋?，解得，所以?br>由，可得，
設(shè)，即，
從而，故A錯(cuò)誤，B正確；
又由
，所以C錯(cuò)誤、D正確．
故選：BD．
13．（2024·高三·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，則以下正確的是（）
A．，B．，
C．，D．
【答案】BCD
【解析】因?yàn)椋鋱D象為開口向上的拋物線，
，即無實(shí)數(shù)根，
故，，即，故B正確，A錯(cuò)誤；
C：由B正確可知：，故C正確；
D：因?yàn)?，故?br>所以，故D正確．
故選：BCD
14．（2024·高三·山西晉中·階段練習(xí)）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)A；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圖象可能為選項(xiàng)C.
故選：AC.
15．（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）
A．B．C．1D．2
【答案】AB
【解析】不妨設(shè)，則，
根據(jù)題意，可得恒成立，
即恒成立，
令，
則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，符合題意；
當(dāng)時(shí)，要使在上單調(diào)遞減，
則解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故選：AB
16．（2024·高一·福建福州·期中）已知函數(shù)，則（）
A．B．
C．的最小值為1D．的圖象與軸有1個(gè)交點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】令，得，則，得，
故，，，A正確，B錯(cuò)誤.
，所以在上單調(diào)遞增，
，的圖象與軸只有1個(gè)交點(diǎn)，C正確，D正確.
故選：ACD
17．（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）現(xiàn)有4個(gè)冪函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)可能成立的是（）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】AB
【解析】對(duì)于冪函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，若的圖象在的上方，則，若的圖象在的下方，則，
所以，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，指數(shù)越大，圖象越高，所以，
綜上，，AB選項(xiàng)正確.
故選：AB
18．（2024·高三·云南·階段練習(xí)）若，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】需要，不能滿足，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有，B選項(xiàng)正確；
由冪函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，有，即，C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
19．（2024·高一·山東·階段練習(xí)）已知，則下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】，故，
對(duì)選項(xiàng)A：，同時(shí)除以得到，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：取，，，錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C：，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，，故，正確；
故選：ACD
20．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）函數(shù)的大致圖象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由題意知，則，當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以的大致圖象不可能為C，
而當(dāng)為其他值時(shí)，A，B，D均有可能出現(xiàn)，
不妨設(shè)，定義域?yàn)?，此時(shí)A選項(xiàng)符合要求；
當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)椋遥?br>故函數(shù)為奇函數(shù)，所以B選項(xiàng)符合要求，
當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，且?br>故函數(shù)為偶函數(shù)，所以D選項(xiàng)符合要求.
故選：ABD
三、填空題
21．（2024·高三·上海·專題練習(xí)）請(qǐng)寫出一個(gè)函數(shù) 使之同時(shí)具有如下性質(zhì)：
（1）函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）的值域?yàn)椋?br>【答案】（答案不唯一）．
【解析】根據(jù)題意，要求函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
而的值域?yàn)椋梢詾槎魏瘮?shù)，
如，
故答案為：（答案不唯一）．
22．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)? ．
【答案】
【解析】令，因?yàn)?，所以，則，
所以原函數(shù)可化為，其對(duì)稱軸為，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：.
23．（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以圖象的對(duì)稱軸為直線，
則的最小值為.
不等式對(duì)恒成立等價(jià)于，.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，則，解得，
故的取值范圍是.
故答案為：
24．（2024·高二·上海楊浦·期末）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 .
【答案】/
【解析】為開口向下的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為，
故答案為：
25．（2024·高一·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）函數(shù)的最小值是．
【答案】
【解析】函數(shù)，
令，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值.
故答案為：
26．（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的最小值點(diǎn)為，則．
【答案】8
【解析】由題意可得函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為，
又函數(shù)的最小值點(diǎn)為，則，即，
所以，則．
故答案為：8．
27．（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的范圍為．
【答案】
【解析】由題意可得對(duì)任意的恒成立，
即對(duì)任意的恒成立.
令，，
，，則,
所以,所以實(shí)數(shù)m的范圍為.
故答案為:.
28．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫出一個(gè)冪函數(shù)滿足以下條件：①定義域?yàn)椋虎跒樵龊瘮?shù)；③對(duì)任意的，，都有，則．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由題意可知的定義域?yàn)?，且在上為增函?shù)；
下面證明該函數(shù)滿足③：
取任意的，，
，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即，即滿足③，
故答案為：
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
單調(diào)性
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在上單調(diào)遞增
在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
根的分布
圖像
限定條件
在區(qū)間內(nèi)
沒有實(shí)根
在區(qū)間內(nèi)
有且只有一個(gè)實(shí)根
在區(qū)間內(nèi)
有兩個(gè)不等實(shí)根

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