1.掌握多邊形和正多邊形的定義；
2.掌握多邊形的角平分線的規(guī)律；
3.掌握圓的相關(guān)計算問題.
知識點01 多邊形
三角形、四邊形、五邊形、六邊形等都是多邊形，它們都是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形.
【說明】（1）內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角.
（2）外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.
（3）連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
（4）各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形，所以正多邊形同時具有各邊相等，各角相等的性質(zhì).
知識點02 多邊形的對角線
知識點03 圓
（1）圓上任意兩點 A，B 間的部分叫做圓弧，簡稱弧，記作 AB，讀作“圓弧 AB ”或“弧 AB ”；
（2）圓的周長公式：；圓的面積公式：.
題型01 多邊形的概念與分類
【典例1】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）下列圖形中，不是多邊形的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖所示的圖形中，屬于多邊形的有（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【變式2】（2023春·七年級單元測試）下列判斷：（1）各邊長相等的多邊形是正多邊形；（2）各角都相等的多邊形是正多邊形；（3）等邊三角形是正多邊形：（4）長方形是正多邊形．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
題型02 多邊形對角線的條數(shù)問題
【典例2】（2023秋·八年級課時練習(xí)）已知過多邊形的某一個頂點可以作2023條對角線（不是一共有2023條對角線），則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
【變式1】（2023春·山東淄博·六年級統(tǒng)考期中）從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出條對角線，它們將五邊形分成個三角形，則的值為( )
A．9B．8C．6D．5
【變式2】（2022·廣東深圳·坪山中學(xué)?？寄M預(yù)測）多邊形的對角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
題型03 對角線分成三角形個數(shù)問題
【典例3】（2021秋·陜西渭南·八年級校考階段練習(xí)）從一個多邊形的某個頂點出發(fā)，分別連接這個點與其余各頂點，可以把這個多邊形分割成5個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式1】（2023秋·八年級課時練習(xí)）要使得一個多邊形具有穩(wěn)定性，從多邊形一條邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，連接各個頂點轉(zhuǎn)化得到2023個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．2021B．2025C．2024D．2026
【變式2】（2023秋·八年級課時練習(xí)）（1）從四邊形的一個頂點出發(fā)，可以引 條對角線，將四邊形分成 個三角形，四邊形共有 條對角線；
（2）從五邊形的一個頂點出發(fā)，可以引 條對角線，將五邊形分成 個三角形，五邊形共有 條對角線；
（3）從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以引 條對角線，將六邊形分成 個三角形，六邊形共有 條對角線；
（4）從n邊形的一個頂點出發(fā)，可以引 條對角線，將n邊形分成 個三角形，n邊形共有 條對角線．
題型04 用七巧板拼圖形
【典例4】（2023秋·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）用邊長為的正方形紙板，制成一副七巧板，將它拼成“小天鵝”圖案，其中陰影部分的面積是（ ）．

A．B．C．D．
【變式1】（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示的七巧板起源于我國先秦時期，由古算書《周髀算經(jīng)》中關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)過歷代演變而成，19世紀(jì)傳到國外，被稱為“唐圖”（意為“來自中國的拼圖”）．圖2是由邊長為2的正方形分割制作的七巧板拼擺而成的“葉問蹬”圖，則圖中拍起的“腿”（即陰影部分）的面積為 ．

【變式2】（2023春·江西鷹潭·九年級?？茧A段練習(xí)）七巧板被西方人稱為“東方魔術(shù)”，如圖所示的兩幅圖是由同一個七巧板拼成的．已知七巧板拼成的大正方形（如圖）的邊長為，若圖2的“小狐貍”圖案中陰影部分面積記為．則 ．

題型05 平面鑲嵌
【典例5】（2023春·廣東佛山·八年級校考期末）在平面圖形正三角形、正六邊形、正四邊形、正五邊形中，能單獨鑲嵌平面的有（ ）種圖形．
A．1B．2C．3D．4
【變式1】（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）小明家住黃山市，小明的爸爸剛在市區(qū)買了一套住房，帶著小明去選地磚準(zhǔn)備裝修，看著滿目美麗的正三角形，正方形、正六邊形、正八邊形地磚，不知道選哪種好，但是爸爸告訴小明：有一種地磚是不能單獨鋪滿地面的，必須與另外一種形狀的地磚混合使用，讓小明指出這種地磚，小明略加思考便選出來了，小明選擇的地磚的形狀是（ ）
A．正三角形B．正方形C．正八邊形D．正六邊形
【變式2】（2020秋·廣東惠州·八年級惠州市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，張明同學(xué)設(shè)計了四種正多邊形的瓷磚圖案，這四種瓷磚圖案中，不能鋪滿地面的是（ ）
A．B．C．D．
題型06 圓的周長和面積問題
【典例6】（2023春·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一塊四邊形綠化園地，四角都做有半徑為R的圓形噴水池，則這四個噴水池占去的綠化園地的面積為（ ）

A．B．C．D．不能確定
【變式1】（2023秋·四川綿陽·八年級校聯(lián)考開學(xué)考試）滾鐵環(huán)有助于提高人體的平衡性、肢體的協(xié)調(diào)性以及眼力，可以提高四肢活動能力．如圖，直徑為4分米的鐵環(huán)從原點O沿數(shù)軸滾動一周（無滑動）到達點，則 分米．

【變式2】（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，大螞蟻沿著大圓爬一圈，小螞蟻沿著兩個小圓各爬了一圈．誰爬的路程長？請通過計算說明．
一、單選題
1．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）五邊形經(jīng)過一個頂點可以引（ ）條對角線．
A．0B．1C．2D．3
2．（2023秋·河南周口·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，一個多邊形的邊數(shù)恰好是從一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)的倍，則這個多邊形的邊數(shù)是( )
A．5B．9C．8D．6
3．（2023春·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）有足夠多的如下4種邊長相等的正多邊形瓷磚圖案進行平面鑲嵌，則不能鋪滿地面的是（ ）

A．①②④B．①②C．①④D．②③
4．（2023秋·河南南陽·七年級校聯(lián)考期末）七巧板被西方人稱為“東方魔板”．如圖的兩幅圖是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的邊長為，則“一帆風(fēng)順”圖中陰影部分的面積為（ ）

A．B．C．D．
5．（2023秋·重慶巫溪·八年級統(tǒng)考期末）我們學(xué)習(xí)多邊形后，發(fā)現(xiàn)凸多邊形的對角線有一定的規(guī)律，①中的四邊形共有2條對角線，②中的五邊形共有5條對角線，③中的六邊形共有9條對角線，…，請你計算凸十邊形對角線的總條數(shù)（ ）

A．54B．44C．35D．27
二、填空題
6．（2023春·山東濟南·六年級統(tǒng)考期末）若從邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引5條對角線，則 ．
7．（2023秋·山西臨汾·七年級山西省臨汾市第三中學(xué)校?？计谀氖呅蔚囊粋€頂點出發(fā)，連結(jié)這個頂點與其余各頂點，可分割成 個三角形．
8．（2023春·七年級課時練習(xí)）用三個正多邊形鑲嵌，已知其中兩個的邊數(shù)均為5，則第三個正多邊形的邊數(shù)為 ．
9．（2023春·山東泰安·六年級統(tǒng)考期中）過某個多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成2023個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)為 ．
10．（2023秋·江蘇南京·九年級校考開學(xué)考試）如圖，從A地到B地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個小半圓．有一天，一只貓和一只老鼠同時從A地到B地．老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），就沿著4個小半圓行走．假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么 先到達B地

三、解答題
11．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）從一個多邊形一邊上的一點（不是頂點）出發(fā)，分別連接這個點與各個頂點，可以把這個多邊形分割成若干個三角形，請你觀察下圖，并完成后面的填空.
當(dāng)多邊形的邊數(shù)是4時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
當(dāng)多邊形的邊數(shù)是5時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
當(dāng)多邊形的邊數(shù)是6時，可以把多邊形分割成_______個三角形；
……
你能看出多邊形邊數(shù)與分割成的三角形的個數(shù)之間有什么規(guī)律嗎？
12．（2023秋·全國·八年級課堂例題）（1）如圖①，O為四邊形內(nèi)一點，連接，可以得到幾個三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？

（2）如圖②，點O在五邊形的邊上（不與端點重合），連接，可以得到幾個三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？
（3）如圖③，過點A作六邊形的對角線，可以得到幾個三角形？它與邊數(shù)有何關(guān)系？
（4）若是任意一個n（，且n為整數(shù)）邊形，上述三種情況分別可以將n邊形分割成多少個三角形？
13．（2023春·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）觀察探究及應(yīng)用；
(1)觀察下列圖形并完成填空．
如圖①一個四邊形有2條對角線；
如圖②一個五邊形有5條對角線；
如圖③一個六邊形有______條對角線；
如圖④一個七邊形有______條對角線；

(2)分析探究：由凸n邊形的一個頂點出發(fā)，可做______條對角線，一個凸n邊形有______條對角線；
(3)應(yīng)用：一個凸十二邊形有______條對角線．
14．（2023秋·江西九江·七年級統(tǒng)考期末）探究歸納題：
（1）試驗分析：
如圖1，經(jīng)過A點可以作1條對角線；同樣，經(jīng)過B點可以作1條對角線；經(jīng)過C點可以作1條對角線；經(jīng)過D點可以作1條對角線．通過以上分析和總結(jié)，圖1共有________條對角線；
（2）拓展延伸：運用（1）的分析方法，可得：圖2共有________條對角線；圖3共有________條對角線；
（3）探索歸納：對于n邊形（n＞3），共有________條對角線；（用含n的式子表示）
（4）特例驗證：十邊形有________對角線．
名稱
三角形
四邊形
五邊形
六邊形
n邊形
圖示
頂點
3
4
5
6
n
從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)
0
1
2
3
n-3
對角線的總條數(shù)
0
2
5
9
分割成三角形的個數(shù)
0
2
3
4
n-3

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4.5 多邊形和圓的初步認(rèn)識

版本： 北師大版（2024）

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