第05講 難點探究專題：幾何圖形中動角問題(3類熱點題型講練) 目錄 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc23545" 【考點一 幾何圖形中動角定值問題】  PAGEREF _Toc23545 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc22091" 【考點二 幾何圖形中動角數(shù)量關系問題】  PAGEREF _Toc22091 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc13592" 【考點三 幾何圖形中動角求運動時間問題】  PAGEREF _Toc13592 \h 11  【考點一 幾何圖形中動角定值問題】 例題：（2023秋·湖南懷化·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖是的平分線，是的平分線，， (1)求的度數(shù). (2)當射線在的內(nèi)部線繞點轉(zhuǎn)動時，射線、的位置是否發(fā)生變化？說明理由. (3)在（2）的條件下，的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求其度數(shù)；如果變化，說出其變化范圍. 【答案】(1) (2)發(fā)生變化，理由見解析 (3)不變， 【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，進而根據(jù)即可求解； （2）根據(jù)，則轉(zhuǎn)動時同樣在動，同理也在動； （3）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求解． 【詳解】（1）解：∵是的平分線，是的平分線，， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴轉(zhuǎn)動時同樣在動， 同理同樣轉(zhuǎn)動； （3）不變同樣35°； 解：當射線在的內(nèi)部線繞點轉(zhuǎn)動時， ∵是的平分線，是的平分線，， ∴， ∴． 【點睛】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算是解題的關鍵． 【變式訓練】 1．（2021春·廣東深圳·七年級深圳中學校考開學考試）如圖，將兩塊直角三角板的角和一個角的頂點疊放在一起，將三角板繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的直角邊始終在的內(nèi)部，在旋轉(zhuǎn)過程中 ?? (1)若時，______°； (2)善于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中， ①和②的度數(shù)均各為一個定值，請你寫出這兩個定值， 定值：①______；②______． (3)作和的平分線，，在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個定值；若變化，請求出變化的范圍． 【答案】(1)9 (2)，； (3) 【分析】（1）由角的和差關系可得：，再代入數(shù)據(jù)可得答案； （2）由在的內(nèi)部，如圖，，，再代入數(shù)據(jù)可得答案； （3）由角平分線的定義可得，，結(jié)合（1）得：，（2）得：，可得，從而可得答案． 【詳解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）∵在的內(nèi)部，如圖， ?? ∴ ； ∴ ； （3）∵，分別平分和， ?? ∴，， ∵由（1）得：， 由（2）得：， ∴ ． 【點睛】本題考查的是角的和差運算，角的動態(tài)定義，角平分線的定義，熟練的利用角的和差運算是解本題的關鍵． 2．（2023秋·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）將一副三角板中含有60°角的三角板的頂點和另一塊含有45°角的三角板的頂點重合于一點，繞著點轉(zhuǎn)動含有60°角的三角板，拼成如圖的情況，請回答問題： (1)如圖1，當點在射線上時，直接寫出的度數(shù)是____________度； (2)①如圖2，當為的角平分線時，求出此時的度數(shù)； ②如圖3，當為的角平分線時，求出此時的度數(shù)； (3)若只在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，作平分線交于點，再作的平分線交于點，在轉(zhuǎn)動過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個值；若變化，請說明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)的值不會發(fā)生變化，，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)三角板中角度的特點進行求解即可； （2）①根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)進行求解即可；②根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)進行求解即可； （3）分別用表示出 ．再根據(jù)角平分線的定義表示出，，再根據(jù)進行求解即可． 【詳解】（1）解：由題意得， ∴， 故答案為：； （2）解：①由題意得，， ∵為的角平分線， ∴， ∴； ②由題意得，， ∵為的角平分線， ∴， ∴； （3）解：的值不會發(fā)生變化，，理由如下： 由題意得，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． 【點睛】本題主要考查了三角板中角度的計算，角平分線的定義，熟知三角板中角度的特點是解題的關鍵． 3．（2023秋·重慶·七年級校考期末）如圖1，將一副三角板的兩個銳角頂點放到一塊，，，，分別是，的角平分線． (1)當繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)至射線與重合時（如圖2），則的大小為 ； (2)如圖3，在（1）的條件下，繼續(xù)繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，當時，則的大小為 ； (3)在繞點順時針旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時，請你畫出圖形，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若變化請說明理由，若不變請求出的度數(shù)． 【答案】(1) (2) (3)的度數(shù)不變，為，圖形見解析 【分析】（1）利用角平分線的定義得到即可求解； （2）通過角的轉(zhuǎn)化得到即可求解； （3）通過角的轉(zhuǎn)化得到即可求解． 【詳解】（1）∵，， ∴， ∵，分別是，的角平分線， ∴， ∴ （2）∵，分別是，的角平分線， ∴， ∴ ； （3）的度數(shù)不變，為，作圖見下圖． ∵，分別是，的角平分線， ∴， ∴ ； ∴的度數(shù)不變，為． 【點睛】本題考查了角平分線的定義和角的和差轉(zhuǎn)化，解題關鍵是能利用角平分線的定義得到關于的表達式，再利用角的和差關系進行計算即可． 【考點二 幾何圖形中動角數(shù)量關系問題】 例題：（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知為直線上一點，射線、、位于直線上方，在的左側(cè)，，． ?? (1)如圖1，當平分時，求的度數(shù)； (2)點在射線上，若射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（且），．當在內(nèi)部（圖2）和的兩邊在射線的兩側(cè)（圖3）時，和的數(shù)量關系是否改變，若改變，說明理由，若不變，求出其關系． 【答案】(1) (2)不改變，，理由見解析 【分析】（1）由平分，則，由，得到，最后得到； （2）分兩種情況，在內(nèi)部時，令，則，，結(jié)論成立；的兩邊在射線的兩側(cè)時．令，則，，，進而結(jié)論得證． 【詳解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）①在內(nèi)部時． 令，則，， ∴， ∴； ②的兩邊在射線的兩側(cè)時．令， 則，，， ∴， ∴． 綜上可得，和的數(shù)量關系不改變， 【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及角的有關計算，解決問題的關鍵是根據(jù)角的和差關系進行計算． 【變式訓練】 1．（2023春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學實踐活動課上，“奮進”小組準備研究如下問題：如圖，點A，O，B在同一條直線上，將一直角三角尺如圖1放置，使直角頂點重合于點O，是直角，OE平分． ?? 問題發(fā)現(xiàn)： (1)如圖1，若，則的度數(shù)為______； (2)將這一直角三角尺如圖2放置，其他條件不變，探究和的度數(shù)之間的關系，寫出你的結(jié)論，并證明． 【答案】(1) (2)，證明見解析 【分析】（1）先求解再利用角平分線的含義求解再利用角的和差關系可得答案； （2）先求解，再利用角平分線的定義可得，再利用角的和差關系可得結(jié)論； 【詳解】（1）解： 平分 故答案為：； （2）． 理由：因為是直角 所以 所以 因為平分 所以 所以 所以． 【點睛】本題考查的是角平分線的含義，角的和差運算，掌握“幾何圖形中角的和差關系”是解本題的關鍵． 2．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）如圖，點O在直線上，在直線上方，且，射線在內(nèi)部，． (1)如圖1，若是的平分線，求的度數(shù)； (2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當?shù)拇笮“l(fā)生變化時，與的數(shù)量關系保持不變．請你用等式表示出與的數(shù)量關系，并說明理由． 【答案】(1) (2)，理由見解析 【分析】（1）根據(jù)補角的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得答案； （2）設，則，再利用，然后整理可得結(jié)論． 【詳解】（1）∵是的平分線， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）， 設，則， ∵， ∴， ∴， ∴． 【點睛】此題主要考查了鄰補角、角平分線的定義，正確把握定義是解題關鍵． 3．（2022秋·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，O是直線上的一點，是直角，平分． (1)若時，則的度數(shù)為__________； (2)將圖①中的繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其它條件不變，探究和的度數(shù)之間的關系，寫出你的結(jié)論，并說明理由； (3)將圖①中的繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，其他條件不變．直接寫出和的度數(shù)之間的關系：__________． 【答案】(1) (2)，理由見解析 (3) 【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度數(shù)； （2）由是直角，平分可得出，則得，從而得出和的度數(shù)之間的關系； （3）根據(jù)（2）的解題思路，即可解答． 【詳解】（1）由已知得， 又是直角，平分， ， 故答案為：； （2）； 理由：是直角，平分， ， 則得， 所以得：； （3）； 理由：平分， ， 則得， 所以得：． 【點睛】本題考查的知識點是角平分線的定義、及角的計算，解題的關鍵是正確運用好有關性質(zhì)準確計算角的和差倍分． 【考點三 幾何圖形中動角求運動時間問題】 例題：（2023秋·湖北襄陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，點依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線繞點沿道時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，直線保持不動，如圖2，設旋轉(zhuǎn)時間為(的值在到之間，單位：秒)． ?? (1)當時，求的度數(shù)； (2)在運動過程中，當?shù)诙芜_到時，求的值； (3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的，使得射線與射線的夾角為？如果存在，請直接寫出的值：如果不存在，請說明理由． 【答案】(1) (2)秒 (3)存在，秒或秒 【分析】（1）當時，，，根據(jù)平角減去，即可求解； （2）根據(jù)題意，當?shù)诙芜_到時，則，解方程即可求解； （3）當射線與射線第一次夾角為時，兩條射線共旋轉(zhuǎn)，當射線與射線第二次夾角為時，兩條射線共旋轉(zhuǎn)，分別解方程即可求解． 【詳解】（1）解：當時，，， 所以， 答：的度數(shù)是； （2）根據(jù)題意，當?shù)诙芜_到時， ，解得， 答：當?shù)诙芜_到時，的值是秒； （3）存在這樣的，使得射線與射線的夾角為，理由如下： 當射線與射線第一次夾角為時，兩條射線共旋轉(zhuǎn)， 所以，解得； 當射線與射線第二次夾角為時，兩條射線共旋轉(zhuǎn)， 所以，解得，綜上所述，的值是秒或秒． 【點睛】本題考查了結(jié)合圖形中的角度計算，一元一次方程的應用，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵． 【變式訓練】 1．（2023秋·甘肅蘭州·七年級?？计谀┤鐖D，O為直線上一點，過點O作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點O處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方． ?? (1)將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，恰好平分．求t的值；并判斷此時是否平分？說明理由； (2)在（1）的基礎上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞O點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間平分？請說明理由． 【答案】(1)；平分，理由見解析 (2)的值為或 【分析】（1）根據(jù)的度數(shù)求出的度數(shù)，根據(jù)互余得出的度數(shù)，進而求出時間t即可；根據(jù)題意和圖形得出，，再根據(jù)，即可得出平分； （2）根據(jù)題意和圖形得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出結(jié)果即可． 【詳解】（1）解：旋轉(zhuǎn)前, 當平分時，， 則, 解得：， 結(jié)論：平分, 理由：∵， 又∵， ∴, ∴平分； （2）解： 若平分， ?? 則 ， ∴， ∴， 當停止時, 平分, 則有, ?? ∴, 綜上所述，滿足條件的的值為或． 【點睛】本題考查角平分線的定義、角的和差定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會構建方程解決問題. 2．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，是內(nèi)部的一條射線，且． ?? (1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)； (2)如圖2所示，是直角，從點O出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)； (3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒． ①直接寫出和的數(shù)量關系； ②若，當，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，由此即可得到答案； （2）先求出，則，進一步求出，由角平分線的定義得到，進而可得； （3）①先求出，，根據(jù)題意可得，由此求出，，則；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【詳解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由題意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，當時，． 【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，正確理解題意是解題的關鍵． 3．（2023秋·廣東惠州·七年級校考階段練習）解答下列問題． ?? (1)【探索新知】 如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有個角：，和，若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”． ①一個角的平分線 這個角的“巧分線”．（填“是”或“不是”） ②如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則 ．（用含的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果） (2)【深入研究】 如圖2，若，且射線繞點從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，當與與成時停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時間為秒． ①當為何值時，射線是的“巧分線”． ②若射線同時繞點以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，并與同時停止．請直接寫出當射線是的“巧分線”時的值． 【答案】(1)①是；②或或 (2)①或或；②或或 【分析】（1）①根據(jù)巧分線定義即可求解； ②分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解； （2）①分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可； ②分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可． 【詳解】（1）解：①一個角的平分線是這個角的“巧分線”； 故答案為：是 ②∵， 當是的角平分線時， ∴； 當是三等分線時，較小時， ∴； 當是三等分線時，較大時， ∴； 故答案為：或或； （2）解：①∵是的“巧分線”， ∴在內(nèi)部，所以轉(zhuǎn)至左側(cè)， ∵與成時停止旋轉(zhuǎn)，且，旋轉(zhuǎn)速度為． ∴． 當時，如圖所示： ?? ， 解得； 當時，如圖所示： ?? ， 解得； 當時，如圖所示： ?? ， 解得． ∵或或均在的范圍內(nèi)， ∴綜上可得：當為或或時，射線是的“巧分線”； ②依題意有：在的內(nèi)部， ∴，， 當時，如圖所示： ?? ， 解得； ②當時，如圖所示： ?? ， 解得； ③當時，如圖所示： ?? ， 解得． ∴當t為或或時，射線是的“巧分線”． 【點睛】本題是一道閱讀理解型的題目，主要考查了角之間的數(shù)量關系，巧分線定義，學生的閱讀理解能力及知識的遷移能力，解題的關鍵是理解“巧分線”的定義．

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