初中數(shù)學(xué)北師大版（2024）七年級(jí)上冊(cè)3.5 探索與表達(dá)規(guī)律優(yōu)秀練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2.提高觀察圖形、探索規(guī)律的能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí).
知識(shí)點(diǎn)01 規(guī)律探究常見(jiàn)的數(shù)字規(guī)律
知識(shí)點(diǎn)02 規(guī)律探究方法總結(jié)
1.規(guī)律探究的核心是找出每個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的位次（即n）之間的關(guān)系；
2.若數(shù)列為分?jǐn)?shù)數(shù)列，則分子分母分開(kāi)找規(guī)律；
3.若數(shù)列是正負(fù)交替排列，則在答案前加上；若數(shù)列是負(fù)正交替排列，則在答案前加上；
4.若是選擇題，則可以用代值法，再利用排除法選出正確答案即可.
知識(shí)點(diǎn)03 高斯求和定理
.
題型01 數(shù)字類規(guī)律探索之排列問(wèn)題
【典例1】（2023·浙江衢州·?？家荒＃┯^察下列數(shù)據(jù)：，，，，，…，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第個(gè)數(shù)據(jù)是（）
A．B．C．D．
【變式1】（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)?？计谥校┮唤M數(shù)據(jù)，，，，…請(qǐng)按這種規(guī)律寫出第十個(gè)數(shù)是．
【變式2】（2022秋·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校?開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)按右圖的規(guī)律排列，其余位置數(shù)字均為．

（1）第行第列的數(shù)字是．
（2）數(shù)字在圖中的第行，第列．
題型02 數(shù)字類規(guī)律探索之末尾數(shù)字問(wèn)題
【典例2】（2022秋·江蘇連云港·七年級(jí)校考階段練習(xí)）觀察下列算式：，，，，，，，…歸納各計(jì)算結(jié)果中個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，可得的個(gè)位數(shù)字是（）
A．1B．3C．9D．7
【變式1】（2023春·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）觀察下列算式：①；②；③尋找規(guī)律，并判斷的值的末位數(shù)字為（）
A．1B．3C．5D．7
【變式2】（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問(wèn)題是常見(jiàn)解題策略之一．已知數(shù)，則這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)為（）
A．3B．4C．5D．6
【變式3】（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期末）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測(cè)種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過(guò)分裂來(lái)繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型來(lái)表示，即：，，，，，……，請(qǐng)你推算的個(gè)位數(shù)字是（）
A．8B．6C．4D．2
題型03 數(shù)字類規(guī)律探索之新運(yùn)算問(wèn)題
【典例3】（2022·湖南株洲·統(tǒng)考二模）定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運(yùn)算：（1）當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為；（2）當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果是（其中k是使是奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如：取，第一次經(jīng)F運(yùn)算是29，第二次經(jīng)F運(yùn)算是92，第三次經(jīng)F運(yùn)算是23，第四次經(jīng)F運(yùn)算是74，……；若，則第2020次運(yùn)算結(jié)果是（）
A．1B．2C．7D．8
【變式1】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）a是不為2的有理數(shù)，我們把稱為a的“哈利數(shù)”．如：3的“哈利數(shù)”是，的“哈利數(shù)”是，已知，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，是的“哈利數(shù)”，．．．，依此類推，則（）
A．B．C．D．
【變式2】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知整數(shù)，，，，……滿足下列條件：，，，…，以此類推，則的值為，的值為
題型04 數(shù)字類規(guī)律探索之等式問(wèn)題
【典例4】（2022秋·江西九江·七年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察下面的變形規(guī)律：
；；；
解答下面的問(wèn)題：
(1)若為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想 ______ ；
(2)計(jì)算．
(3)計(jì)算；．
【變式1】（2022秋·湖南永州·七年級(jí)?？计谥校┯^察算式：按規(guī)律填空：．
【變式2】（2023春·安徽合肥·七年級(jí)?？计谀┯^察算式：①；②；③；④；，
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決下列問(wèn)題：
(1)寫出第個(gè)算式：______；
(2)寫出第個(gè)算式：______；
(3)計(jì)算：．
題型05 圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)字問(wèn)題
【典例5】（2022秋·湖北黃岡·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，根據(jù)圖形中數(shù)的規(guī)律，可推斷出a的值為（）
A．128B．216C．226D．240
【變式1】（2023春·貴州畢節(jié)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中的值為196，則（）

A．12B．13C．14D．15
【變式2】（2022秋·河南周口·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，則第（為正整數(shù)）個(gè)三角形中，用表示的式子為（）

A．B．C．D．
題型06 圖形類規(guī)律探索之?dāng)?shù)量問(wèn)題
【典例6】（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）用大小一樣的黑白兩種顏色的小正方形紙片，按如圖的規(guī)律擺放：
(1)第5個(gè)圖案有張黑色小正方形紙片；
(2)第n個(gè)圖案有張黑色小正方形紙片；
(3)第幾個(gè)圖案中白色紙片和黑色紙片共有81張？
【變式1】（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用棋子擺方陣，那么，圖⑥要擺枚棋子，圖n要擺枚棋子．
【變式2】（2023·安徽淮北·淮北市第二中學(xué)?？级＃┤鐖D，利用黑白兩種顏色的五邊形組成的圖案，根據(jù)圖案組成的規(guī)律回答下列問(wèn)題：
(1)圖案④中黑色五邊形有______個(gè)，白色五邊形有______個(gè)；
(2)圖案中黑色五邊形有______個(gè)，白色五邊形有______個(gè)；（用含的式子表示）
(3)圖案中的白色五邊形可能為2023個(gè)嗎？若可能，請(qǐng)求出的值；若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
一、單選題
1．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列各單項(xiàng)式：，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第10個(gè)單項(xiàng)式是（）
A．B．C．D．
2．（2023秋·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一列數(shù)，，…，其中，，，…，，則（）
A．B．1C．2020D．
3．（2023春·河南信陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，用棋子擺出下列一組圖形，如果按照這種規(guī)律擺下去，那么第10個(gè)圖形里棋子的個(gè)數(shù)為（）

A．72B．66C．56D．78
4．（2023春·云南臨滄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，用字母“”、“”按一定規(guī)律拼成圖案，其中第個(gè)圖案中有個(gè)，第個(gè)圖案中有6個(gè)，第個(gè)圖案中有個(gè)，……，按此規(guī)律排列下去，第個(gè)圖案中字母的個(gè)數(shù)為( )

A．B．C．D．
5．（2023春·福建寧德·七年級(jí)校聯(lián)考期中）我國(guó)宋代數(shù)學(xué)文楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示的一角形解釋了二項(xiàng)和的乘方展開(kāi)式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”．請(qǐng)你利用楊輝三角，
計(jì)算的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是（）
…………1
…………1 1
…………1 2 1
…………1 3 3 1
…………1 4 6 4 1
A．B．15C．D．20
【答案】C
【分析】根據(jù)圖中規(guī)律，可得的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)，再根據(jù)的展開(kāi)式中，系數(shù)的絕對(duì)值與的展開(kāi)式中的系數(shù)相同，符號(hào)從左往后為奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)．
【詳解】解：由題意可知，下排每個(gè)數(shù)等于上方兩個(gè)數(shù)字的絕對(duì)值之和，
的展開(kāi)式系數(shù)從左往右分別是，
的展開(kāi)式系數(shù)從左往右分別是，
根據(jù)圖中，可知含有項(xiàng)的項(xiàng)為從左往右第四項(xiàng)，且符號(hào)為負(fù)，
故的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，通過(guò)觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022秋·四川南充·七年級(jí)?？计谥校┱麛?shù)按圖中的規(guī)律排列．由圖知，數(shù)字6在第二行，第三列，請(qǐng)寫出數(shù)字2021在第行，第列．

7．（2023春·山東泰安·六年級(jí)?？计谥校┯^察下列各式，探索規(guī)律：
；；；；；
用含正整數(shù)n的等式表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律為．
8．（2023春·黑龍江綏化·七年級(jí)?？计谀┯^察下列算式：，，，，，，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，你認(rèn)為的末位數(shù)字是．
9．（2023春·河北石家莊·七年級(jí)行唐一中?？奸_(kāi)學(xué)考試）觀察下列圖形的構(gòu)成規(guī)律，按此規(guī)律，第6個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為個(gè)，第n個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為個(gè)．

10．（2022秋·江蘇宿遷·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知整數(shù)滿足下列條件：，，，，…，（為正整數(shù)）依此類推，則的值為．
三、解答題
11．（2022春·黑龍江哈爾濱·六年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校校考階段練習(xí)）觀察下列三行數(shù)：
，4，，16，，64，……
0，6，，18，，66，……
，1，，4，，16……
(1)第①行數(shù)第七個(gè)數(shù)是，那么第二行數(shù)第七個(gè)數(shù)是_____，第三行第七個(gè)數(shù)是_____．
(2)列式計(jì)算：取每行的第9個(gè)數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的和．
12．（2023春·云南昭通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）小明計(jì)算：的過(guò)程如下：
解：令
則
得
∴
請(qǐng)參照小明的方法，計(jì)算：．
13．（2023春·安徽阜陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列圖形，完成下列問(wèn)題．

(1)數(shù)一數(shù)，完成下列表格．
(2)若有條直線相交，則最多有交點(diǎn)__________個(gè)．（用含的代數(shù)式表示）
14．（2022秋·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）觀察下列各式：，，，回答下面的問(wèn)題：
(1) （寫出算式即可）；
(2)計(jì)算的值；
(3)計(jì)算的值．
15．（2022秋·江蘇宿遷·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）探索規(guī)律：觀察下面※由組成的圖案和算式，解答問(wèn)題：

(1)請(qǐng)猜想_________；
(2)請(qǐng)猜想_________；
(3)請(qǐng)用上述規(guī)律計(jì)算：的值．
16．（2023秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）找規(guī)律，完成下列各題：

(1)如圖①，把正方形看作，．
(2)如圖②，把正方形看作，．
(3)如圖③，把正方形看作，．
(4)計(jì)算：．
(5)計(jì)算：．
17．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）用若干個(gè)“○”與“▲”按如圖方式進(jìn)行拼圖：

(1)觀察圖形，尋找規(guī)律，并將下面的表格填寫完整：
(2)根據(jù)你所觀察到的規(guī)律，分別寫出圖中“○”與“▲”的個(gè)數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．
18．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）為迎接七一建黨節(jié)，某社區(qū)黨委在廣場(chǎng)上設(shè)計(jì)了一座三角形展臺(tái)，需在它的每條邊上擺放上相等盆數(shù)的鮮花進(jìn)行裝飾．若每條邊上擺放兩盆鮮花，共需要3盆鮮花；若每條邊上擺放3盆鮮花，共需要6盆鮮花；……，按此要求擺放下去（如圖所示，每個(gè)小圓圈表示一盆鮮花）．
(1)填寫下表：
(2)寫出需要的鮮花總盆數(shù)y與n之間的關(guān)系式：__________
(3)能否用盆鮮花作出符合要求的擺放？如果能，請(qǐng)計(jì)算出每條邊上應(yīng)擺放的盆數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
規(guī)律總結(jié)
數(shù)列形式
1，3，5，7，9，···，
2，4，6，8，10，···，
4，7，10，13，16，···，
2，5，8，11，14，···，
2，4，8，16，32，···，
3，5，9，17，33，···，
2，5，10，17，26，···，
0，3，8，15，24，···，
，，，，，，···，
，，，，，，···，
1，3，6，10，15，21，···，
斐波那契數(shù)列
1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始每個(gè)數(shù)等于與它相鄰的前兩個(gè)數(shù)之和
直線的條數(shù)
交點(diǎn)的個(gè)數(shù)
圖1
圖2
圖3
圖4
○的個(gè)數(shù)
3
9
21
______
▲的個(gè)數(shù)
1
4
10
______
每條邊上擺放的盆數(shù)（n）
2
3
4
5
6
…
需要的鮮花總盆數(shù)（y）
3
6
9
_____
_____
…

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