抽象函數(shù)是指沒(méi)有具體地給出解析式,只給出它的一些特征或性質(zhì)的函數(shù);抽象函數(shù)型綜合問(wèn)題,一般通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)表述,綜合考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的理解和接受能力,考查對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力,考查學(xué)生對(duì)于一般和特殊關(guān)系的認(rèn)識(shí),是考查學(xué)生能力的較好途徑.抽象函數(shù)問(wèn)題既是高考的難點(diǎn),又是近幾年高考的熱點(diǎn).
例1(1)(多選題)(2023新高考Ⅰ,11)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則(　　)A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函數(shù)D.x=0為f(x)的極小值點(diǎn)
解析 對(duì)于選項(xiàng)A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,用特值法,函數(shù)f(x)=0,為常數(shù)函數(shù),且滿(mǎn)足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常數(shù)函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn),所以D錯(cuò)誤.故選ABC.
(2)(2024遼寧撫順一模)已知定義域?yàn)閧x|x≠0}的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x≠0,y≠0,有f(x+y)[f(x)+f(y)]=f(x)f(y),f(1)=2,且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,則下列結(jié)論正確的是(　　)A.f( )=6B.f(2x)=2f(x)C.f(x)為奇函數(shù)D.f(x)在區(qū)間(0,+∞)是單調(diào)遞增函數(shù)
假設(shè)存在x0時(shí),f(x)>0,所以產(chǎn)生矛盾,即xf(2)=1,故D錯(cuò)誤.故選C.
(2)(2024吉林模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), f(0)=1,f(3x+1)=-f(-3x+1),則 f(k)=(　　)A.-2B.-1C.0D.1
解析(方法一)令x=0,由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)=1,可得f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函數(shù).因?yàn)閒(3x+1)=-f(-3x+1),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱(chēng),(方法二)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),f(0)=1,令x=0,則f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),故f(x)為偶函數(shù);又f(3x+1)=-f(-3x+1),令x=0,則f(1)=-f(1),所以f(1)=0,又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,即f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng),則f(2)=-f(0)=-1.
f(x+1)+f(-x+1)=0,即f(x+2)=-f(-x),又結(jié)合f(x)為偶函數(shù),則f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4為f(x)的周期,故f(3)=f(-1)=f(1)=0,f(4)=f(0)=1,故 f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2 024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=1+506×(0-1+0+1)=1,故選D.
抽象函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
例3(1)(多選題)(2024山東聊城一模)設(shè)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù),其導(dǎo)數(shù)為g(x),若f(3x+1)是奇函數(shù),且對(duì)于任意的x∈R,f(4-x)=f(x),則對(duì)于任意的k∈Z,下列說(shuō)法正確的是(　　)A.4k都是g(x)的周期B.曲線(xiàn)y=g(x)關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱(chēng)C.曲線(xiàn)y=g(x)關(guān)于直線(xiàn)x=2k+1對(duì)稱(chēng)D.g(x+4k)是偶函數(shù)
解析 由f(3x+1)是奇函數(shù),故有f(3x+1)=-f(-3x+1),即有f(x+1)=-f(-x+1),故f'(x+1)=f'(-x+1),即g(x+1)=g(-x+1),故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),由f(4-x)=f(x),則-f'(4-x)=f'(x),即-g(4-x)=g(x).故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱(chēng).由-g(4-x)=g(x),則-g(3-x)=g(x+1),又g(x+1)=g(-x+1),故g(-x+1)=-g(3-x),即有g(shù)(x+1)=-g(3+x),則g(x+3)=-g(x+5),故g(x+3)=-g(x+5)=-g(x+1),即g(x+1)=g(x+5),故g(x)=g(x+4),故g(x)的周期為4.對(duì)于A,當(dāng)k=0時(shí),4k=0,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,由g(x)周期為4,故g(4k-x)=g(-x),又-g(4-x)=g(x),故-g(-x)=g(x),故g(-x)=-g(x)=g(4k-x),故曲線(xiàn)y=g(x)關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱(chēng),故B正確;對(duì)于C,由g(x)的周期為4,故g(4k+2-x)=g(2-x),又g(x+1)=g(-x+1),故g(x)=g(-x+2)=g(4k+2-x),故曲線(xiàn)y=g(x)關(guān)于直線(xiàn)x=2k+1對(duì)稱(chēng),故C正確;對(duì)于D,由選項(xiàng)B得-g(x)=g(4k-x),故-g(-x)=g(4k+x),又g(x)的周期為4,故有-g(-x)=-g(4k-x),故g(4k+x)=-g(4k-x),又x∈R,即g(x+4k)都是奇函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選BC.
(2)(多選題)(2024山東青島期末)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為R,若f(x)是奇函數(shù),f(2)=-f(1)≠0,且對(duì)任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),則(　　)
解析 因?yàn)閒(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),令x=y=1,得f(2)=2f(1)f'(1),又因?yàn)閒(2)=-f(1)≠0,所以f'(1)=- ,故A正確;因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以f(0)=0,且f'(x)為偶函數(shù).令y=1,可得f(x+1)=f(x)f'(1)+f'(x)f(1).①再用-x代替x,可得f(1-x)=f(-x)·f'(1)+f'(-x)f(1)=-f(x)f'(1)+f'(x)f(1),則f(x-1)=f(x)f'(1)-f'(x)f(1).②①+②,得f(x+1)+f(x-1)=2f(x)·f'(1),則f(x+1)=-f(x)-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x+1)-f(x),f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+f(x)-f(x+1)=f(x),所以f(x)是周期為3的周期函數(shù),所以f(6)=f(3)=f(0)=0,故B正確;
針對(duì)訓(xùn)練1.(多選題)(2024安徽安慶二模)已知定義在R上的函數(shù)f(x),滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)0時(shí),f(x)0,則有f(x+y)-f(x)=f(y)-1,其中x+y>x,f(y)-1x2時(shí),f(x1)-f(x2)

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