一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.[2023·常德質(zhì)檢]已知f(x)是周期為4的奇函數(shù)，f(3)＝2，則f(9)＝( )
A.6 B. －6 C.2 D.－2
2.[2024·南通模擬]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且當(dāng)2＜x≤6時(shí)，f(x)＝3－x，則f(1)的值為( )
A.－2 B.2 C.－1 D.1
3.[2024·徐州模擬]已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是( )
A.f(π)＞f(－2)＞f(－3) B.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
C.f(π)＜f(－2)＜f(－3) D.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
4.[2024·青島檢測(cè)]定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x∈[0，1)時(shí)，f(x)＝3x－1，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，均有f(x)＋f(x＋1)＝1，則f(lg34)＝( )
A.3 B.2 C.eq \f(4,3) D.eq \f(2,3)
5.[2024·江蘇省八市聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，y＝f(x)＋ex是偶函數(shù)，y＝f(x)－3ex是奇函數(shù)，則f(x)的最小值為( )
A.e B.2eq \r(2) C.2eq \r(3) D.2e
6.[2024·湖南師大附中模擬]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(3)＝0，則不等式(2x－5)f(x－1)＜0的解集為( )
A. (－∞，－2)∪(eq \f(5,2)，4) B. (4，＋∞)
C (－2，eq \f(5,2))∪(4，＋∞) D. (－∞，－2)
7.[2024·遼寧省五校聯(lián)考]已知f(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，f(x＋2)為奇函數(shù)，f(2x＋1)為偶函數(shù)，則( )
A.f(－x)＋f(x)＝0 B.f(－x)＝f(x)
C.f(x)＝f(x＋4) D.f(1－x)＝f(x)
8.[2024·衡陽模擬]定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(2－x)，且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x5.設(shè)直線y＝eq \f(x－2,11)與函數(shù)y＝f(x)的圖象相交于點(diǎn)P(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)(n∈N*)，記ti＝xi－yi，則eq \(∑,\s\up12(n),\s\d4(i＝1))ti＝( )
A.18 B.20 C.22 D.24
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.[2024·廣西北海調(diào)研]已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，若f(1)＝－1，則滿足f(x－2)≥－1的x的值可能為( )
A.－1 B.0C.1 D.2
10.[2024·贛州模擬]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，且f(x)是單調(diào)函數(shù)，f(1)＝eq \f(1,2)，則( )
A.f(0)＝0 B.f(－1)＜f(2)
C.f(－eq \f(1,2))＝－1 D.f(x2－x＋2)＞f(1)
11.[2023·湖南九校聯(lián)考]已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＋f(x)＝0，且y＝f(2－x)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確的是( )
A.函數(shù)f(x)的周期為2 B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(1，0)對(duì)稱
C.函數(shù)f(x)為偶函數(shù) D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝3對(duì)稱
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.[2024·常德模擬]已知定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為2，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝lg2(x＋1)，則f(13)＋f(－14)＝________.
13.[2024·棗莊模擬]已知函數(shù)y＝f(x)是定義在[－4，4]上的減函數(shù)，且f(a＋1)＞f(2a)，則a的取值范圍是______.
14.[2023·煙臺(tái)質(zhì)檢]已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)，滿足f(x＋2)＝－f(x)，若eq \(∑,\s\up12(2 023),\s\d4(k＝1))f(k)＝－1，則f(0)的值為________.
抽象函數(shù)問題 (突破練)
1.D [∵f(x)是周期為4的奇函數(shù)，
∴f(9)＝f(1)＝－f(－1)＝－f(3)＝－2，
故選D.]
2.A [∵定義在R上的函數(shù)f(x)滿足
f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
又當(dāng)2＜x≤6時(shí)，f(x)＝3－x，
∴f(1)＝f(5)＝3－5＝－2.故選A.]
3.B [因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以
f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).
又當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，
且π＞3＞2，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，
即f(π)＞f(－3)＞f(－2).故選B.]
4.D [由f(x)＋f(x＋1)＝1，
得f(x＋1)＝1－f(x)，
則f(lg34)＝1－f(lg34－1)
＝1－f(lg3eq \f(4,3))＝1－(3lg3eq \f(4,3)－1)
＝1－eq \f(4,3)＋1＝eq \f(2,3).故選D.]
5.B [因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)＋ex為偶函數(shù)，
則f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，
即f(x)－f(－x)＝e－x－ex①，
又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)－3ex為奇函數(shù)，
則f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，
即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x②，
聯(lián)立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，
由基本不等式可得
f(x)＝ex＋2e－x≥2eq \r(ex·2e－x)＝2eq \r(2)，
當(dāng)且僅當(dāng)ex＝2e－x時(shí)，即當(dāng)x＝eq \f(1,2)ln 2時(shí)，
等號(hào)成立，故函數(shù)f(x)的最小值為2eq \r(2).
故選B.]
6.C [依題意，
函數(shù)的大致圖象如圖.
因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(3)＝0，
所以f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，
且f(－3)＝0，則當(dāng)x＞3或x＜－3時(shí)，
f(x)＜0；當(dāng)－3＜x＜3時(shí)，f(x)＞0，
不等式(2x－5)f(x－1)＜0化為
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＞0,f（x－1）＜0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＜0,f（x－1）＞0))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＞0,x－1＞3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＞0,x－1＜－3))或
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－5＜0,－3＜x－1＜3))，解得x＞4或x∈?或
－2＜x＜eq \f(5,2)，即－2＜x＜eq \f(5,2)或x＞4，
即原不等式的解集為(－2，eq \f(5,2))∪(4，＋∞).故選C.]
7.C [因?yàn)閒(x＋2)為奇函數(shù)，所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)①，因?yàn)閒(2x＋1)為偶函數(shù)，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，用x替換2x得到f(－x＋1)＝f(x＋1)②.
在②中，用x＋1替換x得到
f[－(x＋1)＋1]＝f(x＋2)，
即f(x＋2)＝f(－x)，代入①式得：
f(－x＋2)＝－f(－x)，
即f(x＋2)＝－f(x)，
則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).故選C.]
8.C [因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，
得f(－x)＋f(x)＝0.
由f(x)＝f(2－x)，得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，則f(－x)＝－f(x)＝－f(2－x)，所以f(x)＝－f(2＋x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即4為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.
又f(x)＝f(2－x)，且f(x)＝－f(2＋x)，
故f(2－x)＝－f(2＋x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出y＝f(x)的圖象與直線y＝eq \f(x－2,11)，如圖所示，
由圖可知它們共有11個(gè)不同的交點(diǎn)，且除交點(diǎn)(2，0)外，其余10個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2，0)中心對(duì)稱，不妨設(shè)x1＜x2＜x3＜…＜x11，則y1＜y2＜y3＜…＜y11，
所以x1＋x11＝x2＋x10＝…＝x5＋x7＝4，
x6＝2，y1＋y11＝y(tǒng)2＋y10＝…＝y(tǒng)5＋y7＝0，
y6＝0，所以eq \(∑,\s\up12(11),\s\d4(i＝1))ti＝eq \(∑,\s\up12(11),\s\d4(i＝1))xi－eq \(∑,\s\up12(11),\s\d4(i＝1))yi＝5×4＋2－0＝22.故選C.]
9.CD [因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(1)＝－1，則f(x－2)≥－1?f(|x－2|)≥f(1)，因此|x－2|≤1，即－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3，所以選項(xiàng)A、B不滿足，C、D滿足.故選CD.]
10.ABD [因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿足
f(－x)＋f(x)＝0，所以f(x)是奇函數(shù)，從而f(0)＝0，所以A正確；
因?yàn)閒(x)是單調(diào)函數(shù)，且0＝f(0)＜f(1)＝eq \f(1,2)，所以f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
故f(－1)＜f(2)，所以B正確；
由B項(xiàng)分析可得f(eq \f(1,2))＜f(1)＝eq \f(1,2)，
又f(－eq \f(1,2))＝－f(eq \f(1,2))＞－eq \f(1,2)，
所以C錯(cuò)誤；
由于x2－x＋2＝(x－eq \f(1,2))2＋eq \f(7,4)＞1，
且f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
故f(x2－x＋2)＞f(1)，所以D正確.
故選ABD.]
11.BC [依題意，R上的函數(shù)f(x)，f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，函數(shù)f(x)的周期為4，A錯(cuò)誤；
因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(2－x)是偶函數(shù)，則f(2－x)＝f(2＋x)，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱，且f(2－x)＝－f(x)，
即f(2－x)＋f(x)＝0，
函數(shù)f(x)圖象關(guān)于(1，0)對(duì)稱，B正確；
由f(2－x)＝f(2＋x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，C正確；
由f(x＋2)＋f(x)＝0得
f(x＋3)＋f(1＋x)＝0，
由f(2－x)＝f(2＋x)得
f(3－x)＝f(1＋x)，
因此f(x＋3)＋f(3－x)＝0，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3，0)對(duì)稱，D錯(cuò)誤，故選BC.]
12.1 [由題設(shè)f(x)是周期為2的函數(shù)，
所以f(13)＋f(－14)＝f(1)＋f(0)
＝lg22＋lg21＝1.]
13.(1，2] [∵函數(shù)y＝f(x)是定義在[－4，4]上的減函數(shù)，
且f(a＋1)＞f(2a)，
∴－4≤a＋1＜2a≤4，
解得1＜a≤2.]
14.1 [因?yàn)閒(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期為4，
所以f(2)＝－f(0)，f(3)＝－f(1)，
f(4)＝－f(2)＝f(0)，
即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)－f(0)－f(1)＋f(0)＝0.
若eq \(∑,\s\up12(2 023),\s\d4(k＝1))f(k)＝－1，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋
f(4)＋…＋f(2 023)＝－1，
即505×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－1，
可得f(1)＋f(2)＋f(3)
＝f(1)－f(0)－f(1)＝－1，所以f(0)＝1.]
小題速練9

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