1.(多選題)給出下列三個等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝
f(x)＋f(y)f(x)f(y)，f(x＋y)＝1－f(x)f(y)
.下列函數(shù)中，滿足其中任何一個等
A.f(x)＝3xC.f(x)＝lg2x
B.f(x)＝sin xD.f(x)＝tan x
解析：選項 A，函數(shù)滿足 f(x＋y)＝f(x)f(y)；選項 B 不滿足其中任何一個等式；選項 C，函數(shù)滿足 f(xy)＝f(x)＋f(y)；
選項 D，函數(shù)滿足 f(x＋y)＝
f(x)＋f(y)1－f(x)f(y)
2.(選修 1－2P46 第 3 題改編)下列四類函數(shù)中，有性質(zhì)“對
任意的 x>0，y>0，函數(shù) f(x)滿足 f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(
A.冪函數(shù)C.指數(shù)函數(shù)
B.對數(shù)函數(shù)D.余弦函數(shù)
解析：假設(shè) f(x)＝ax，f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).答案：C
3. 已知 f(x ＋y) ＋f(x －y) ＝2f(x)·f(y) ，且 f(x)≠0 ，則 f(x) 是
A.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)
解析：令 x＝y(tǒng)＝0，則 2f(0)＝2[f(0)]2，因為 f(x)≠0，所以f(0)＝1.令 x＝0，則 f(y)＋f(－y)＝2f(y)，f(y)＝f(－y)，f(x)為偶函數(shù).故選 B.答案：B
4.(2008 年四川)函數(shù) f(x)滿足 f(x)·f(x＋2)＝13，若 f(1)＝2，
5.(2014 年陜西)下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的
單調(diào)遞增函數(shù)是(A.f(x)＝x3
解析：由 f(x＋y)＝(x＋y)3，f(x)f(y)＝x3·y3＝(xy)3，得 f(x＋y)≠f(x)f(y)，所以 A 錯誤；又函數(shù) f(x)＝3x 是定義在 R 上的增函數(shù).故選 B.答案：B
由 f(x＋y)＝3x＋y，f(x)f(y)＝3x·3y＝3x＋y，得 f(x＋y)＝f(x)f(y).
1.已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)對任意實數(shù) x，y，恒有 f(x)(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；(2)求證：f(x)在 R 上是減函數(shù)；(3)求 f(x)在[－3，6]上的最大值與最小值.
(1)證明：令 x＝y(tǒng)＝0，可得 f(0)＋f(0)＝f(0＋0)＝f(0)，從而
令 y＝－x，可得 f(x)＋f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝0，即 f(－x)＝－f(x)，故 f(x)為奇函數(shù).
(2)證明：對任意 x1，x2∈R，不妨設(shè) x1>x2，則 x1－x2>0，于是 f(x1－x2)0，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).∵偶函數(shù)圖象關(guān)于 y 軸對稱，∴f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù).
(6)解：∵f(x(x－3))＝f(x)＋f(x－3)≤2，由①②得 2＝1＋1＝f(2)＋f(2)＝f(4)＝f(－4)，ⅰ.若 x(x－3)>0，∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，
ⅱ.若 x(x－3)0.則 f(x1－x2)>1.
即 f(x1－x2)＝
∴f(x)是 R 上的增函數(shù).方法二，設(shè) x1＜x2，則 x2－x1＞0.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1).∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.又 f(x1)＞0，∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1).∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是 R 上的增函數(shù).
f(0)＝1?f(－x)＝
(6)解：由 f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1，得 f(3x－x2)＞f(0).∵f(x)是 R 上的增函數(shù)，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.∴實數(shù) x 的取值范圍是{x|00，則 f(x1－x2)>1，f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函數(shù)f(x)是增函數(shù).
已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)，對任意實數(shù) x，y 滿足：f(x＋y)＝f(x)f(y)，若 x∈(0，＋∞)時，0

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