求解公切線問題一般思路:曲線的公切線問題,主要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行解決,關(guān)鍵是抓住切線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化.主要應(yīng)用在求公切線方程,切線有關(guān)的參數(shù).常用到以下三個(gè)基本關(guān)系:①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;②切點(diǎn)在切線上;③切點(diǎn)在曲線上.具體做法一:設(shè)公切線在y=f(x)上的切點(diǎn)P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切點(diǎn)P2(x2,g(x2)),則f'(x1)=g'(x2)=
具體做法二:設(shè)曲線C1:y=f(x)在點(diǎn)P1(x1,f(x1))處的切線為l1:y-f(x1)=f'(x1) (x-x1),整理可得y=f'(x1)·x-f'(x1)·x1+f(x1).設(shè)曲線C2:y=g(x)在點(diǎn)P2(x2,g(x2))處的切線為l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得y=g'(x2)·x-g'(x2)·x2+g(x2),由于l1,l2是相同的直線,從而求出公切線方程,公切線的條數(shù)等價(jià)于該方程組的解的個(gè)數(shù).需要注意,做法一直接利用斜率公式,因此不包含P1與P2重合的情況,做法二包含了P1與P2重合的情況,求解時(shí)要根據(jù)題意靈活選用.
角度一 求兩曲線的公切線方程
(2)(2024·四川綿陽高三模擬)已知f(x)=ex-1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),g(x)=ln x+1,則f(x)與g(x)的公切線的方程為  .?
y=ex-1或y=x
角度二 求與公切線有關(guān)的參數(shù)值或范圍問題
例2(2024·新高考Ⅰ,13)若曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,則a=    .?
解析 由y=ex+x,得y'=ex+1.當(dāng)x=0時(shí),y'=2.∴曲線y=ex+x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直線y=2x+1是曲線y=ln(x+1)+a的切線.
例3(2022·全國甲,文20)已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(diǎn)(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范圍.
解 (1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.當(dāng)x1=-1時(shí),f(-1)=0,故y=f(x)在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程為y=2x+2.又y=2x+2與y=g(x)相切,將直線y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由Δ=4-4(a-2)=0,得a=3.
角度三 求公切線條數(shù)問題
例4(2024·廣西南寧一模(1)問)已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=ln x,若直線l與函數(shù)f(x)和g(x)的圖象均相切,試討論直線l的條數(shù).
令t(x)=-xex+1,則t'(x)=-(x+1)ex,當(dāng)x>-1時(shí),t'(x)0,t(x)=h'(x)單調(diào)遞增,又當(dāng)x0,t(1)=1-e0,又h(2)=3-e2

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