1.以選擇題、填空題的形式考查抽象函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，難度中檔偏上；2.以選擇題、填空題的形式考查嵌套函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)或由零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)等，難度中檔或偏上.
1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示.
當(dāng)x≤0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x>0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1，0]∪[1，3].故選D.
法二(構(gòu)造函數(shù)法)　令f(x)＝1－sin πx，
則g(x)＝f′(x)＝－πcs πx，g(x＋2)＝－πcs(2π＋πx)＝－πcs πx，滿足題設(shè)條件，可得只有選項(xiàng)B，C正確.
3.(多選)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(xy)＝y(tǒng)2f(x)＋x2f(y)，則A.f(0)＝0B.f(1)＝0C.f(x)是偶函數(shù)D.x＝0為f(x)的極小值點(diǎn)
取x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＝0＋0＝0，故A正確；取x＝y(tǒng)＝1，則f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正確；取x＝y(tǒng)＝－1，則f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0；取y＝－1，則f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故C正確；由于f(0)＝0，且函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以x＝0可能為函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也可能為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，也可能不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，故D不正確.綜上，選ABC.
由y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，可得g(2＋x)＝g(2－x).在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替換x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x).在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替換x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).
由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，f(－1)＋f(1)＝－2，得f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，
研究抽象函數(shù)性質(zhì)的方法(1)用賦值法研究抽象函數(shù).(2)利用數(shù)形結(jié)合法研究抽象函數(shù).(3)利用函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系推理論證研究抽象函數(shù).
設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)＝1，且對任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，則f(1)＝________；f(2 025)＝________.
令x＝y(tǒng)＝0，得f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1－1＋2＝2.令y＝1，則f(x＋1)＝2f(x)－2－x＋2＝2f(x)－x，即f(x＋1)＝2f(x)－x.①又f(yx＋1)＝f(y)f(x)－f(x)－y＋2，令y＝1代入，得f(x＋1)＝2f(x)－f(x)－1＋2，即f(x＋1)＝f(x)＋1.②聯(lián)立①②得f(x)＝x＋1，所以f(1)＝2，f(2 025)＝2 026.
考向1　賦值法研究抽象函數(shù)
由題意，定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，則f(x)為R上的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞增，又函數(shù)g(x)滿足g(1－x)＝g(1＋x)，則函數(shù)g(x)關(guān)于直線x＝1對稱，且在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，1)上單調(diào)遞增，
考向2　數(shù)形結(jié)合法研究抽象函數(shù)
對于A，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(0)＝－2，則f(x)不會是奇函數(shù)，A錯誤；
考向3　利用函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系推理論證
則有f(－x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，B正確；
1.求函數(shù)在特定點(diǎn)的函數(shù)值、最值以及解析式，或判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及周期性，往往在條件等式中對變量賦予一些具體的值，構(gòu)造出所需要的條件，其中賦予的具體的值常常起到橋梁的作用.2.數(shù)形結(jié)合可通過畫圖使抽象函數(shù)形象化，根據(jù)奇偶性、周期性等性質(zhì)畫出示意圖，摘取有效信息，結(jié)合圖象解題.3.函數(shù)的對稱軸、對稱中心及周期性，三者已知其中兩個，可推出另外一個.
對于A，令a＝b＝0，則f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正確；對于B，令a＝b＝1，則f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，則f(1)＝0，故B正確；對于C，令a＝b＝－1，則f(1)＝－f(－1)－f(－1)＝－2f(－1)，所以f(－1)＝0，又令a＝－1，b＝x，則f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，故C錯誤；
(2)(多選)(2024·煙臺調(diào)研)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(－1，0]上單調(diào)遞增，f(1＋x)＝f(1－x)，且圖象關(guān)于(2，0)對稱，則關(guān)于f(x)的說法正確的是A.f(0)＝f(2)B.f(0)＝f(－2)C.周期T＝2D.在(2，3)上單調(diào)遞減
由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)的對稱軸為x＝1，所以f(0)＝f(2)，A正確；又由f(1＋x)＝f(1－x)知f(2＋x)＝f(－x)，因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于(2，0)對稱，則f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期為4，所以f(－2)＝f(2)，
又f(0)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故B正確，C錯誤；因?yàn)閒(x)在(－1，0]上單調(diào)遞增，且T＝4，所以f(x)在(3，4]上單調(diào)遞增，又圖象關(guān)于(2，0)對稱，所以f(x)在(0，1]上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(x)關(guān)于x＝1對稱，所以f(x)在(1，2]上單調(diào)遞減，又因?yàn)殛P(guān)于(2，0)對稱，可得f(x)在(2，3)單調(diào)遞減，故D正確.
嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)或范圍，?？疾槎魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)相關(guān)零點(diǎn)，與函數(shù)的圖象性質(zhì)交匯.對于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.
又x

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