技巧1：二元一次方程組的五種特殊解法
技巧2：二元一次方程組中六種類型數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用
技巧3：二元一次方程(組)的解的五種常見應(yīng)用
【題型】一、二元一次方程組的有關(guān)概念
【題型】二、用代入法解二元一次方程組
【題型】三、用加減法解二元一次方程組
【題型】四、用整體消元法解二元一次方程組
【題型】五、同解方程組
【題型】六、列二元一次方程組
【考綱要求】
1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化為用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)的形式，能舉例說明二元一次方程及其中的已知數(shù)和未知數(shù)；
2、理解二元一次方程組和它的解等概念，會(huì)檢驗(yàn)一對數(shù)值是不是某個(gè)二元一次方程組的解。
【考點(diǎn)總結(jié)】一、二元一次方程組
【注意】
解二元一次方程組的步驟
（1）代入消元法
① 變：將其一個(gè)方程化為y=ax+b或者為x=ay+b的形式
② 代：將y=ax+b或者為x=ay+b代入另一個(gè)方程
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：將求得的未知數(shù)值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一個(gè)未知數(shù)的值
⑤ 答:寫出答案
（2）加減消元法
① 化：將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等(互為相反數(shù))的形式,
② 加減：將變形后的方程組通過加減消去一個(gè)未知數(shù)
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：將求得的知數(shù)的值代入方程組中任意一個(gè)方程求另一個(gè)未知數(shù)的值
解二元一次方程組的方法選擇
當(dāng)方程組中某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或者-1時(shí)，選用代入消元法；
當(dāng)方程組中某一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0時(shí)，選用代入消元法；
方程組中同一個(gè)知數(shù)的數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，選用加減消無法
（4）當(dāng)兩個(gè)方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，選用加減消元法
【技巧歸納】
技巧1：二元一次方程組的五種特殊解法
【類型】一、引入?yún)?shù)法解二元一次方程組
1．用代入法解方程組：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,5)＋\f(y,6)＝0，①,3（x－y）－4（3y＋x）＝85.②))
【類型】二、特殊消元法解二元一次方程組
題型1：方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之差的絕對值相等
2．解方程組：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2 015x＋2 016y＝2 017，①,2 016x＋2 017y＝2 018.②))
題型2：方程組中兩未知數(shù)系數(shù)之和的絕對值相等
3．解方程組：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(13x＋14y＝40，①,14x＋13y＝41.②))
【類型】三、利用換元法解二元一次方程組
4．解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3（x＋y）＋4（x－y）＝20，,\f(x＋y,4)－\f(x－y,2)＝0.))
【類型】四、同解交換法解二元一次方程組
5．已知關(guān)于x，y的方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax－by＝4，,3x－y＝5))與方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by＝16，,4x－7y＝1))的解相同，求(a－b)2 018的值．
【類型】五、運(yùn)用主元法解二元一次方程組
6．已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－3y－3z＝0，,x－3y－z＝0))(x，y，z均不為0)，求eq \f(xy＋2yz,x2＋y2－z2)的值．
技巧2：二元一次方程組中六種類型數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用
【類型】一、整體思想
1．先閱讀，然后解方程組．
解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，①,4（x－y）－y＝5②))時(shí)，
由①，得x－y＝1，③
然后再將③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，
從而進(jìn)一步求得x＝0.所以方程組的解為eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1.))這種方法被稱為“整體代入法”．請用這樣的方法解下面的方程組：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－3y－2＝0，,\f(2x－3y＋5,7)＋2y＝9.))
2．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，求x＋y＋z的值．
【類型】二、化繁為簡思想
3．閱讀下面解方程組的方法，然后解決問題：
解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(19x＋18y＝17，①,17x＋16y＝15②))時(shí)，我們?nèi)绻苯涌紤]消元，會(huì)很繁瑣，而采用下面的解法則是輕而易舉的．
解：①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③
③×16，得16x＋16y＝16，④
②－④，得x＝－1，將x＝－1代入③，得y＝2.
所以原方程組的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))
請用上述方法解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2 018x＋2 017y＝2 016，,2 016x＋2 015y＝2 014.))
【類型】三、方程思想
4．已知(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，求x＋y的值．
5．若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，求(n＋1)m＋2 018的值．
【類型】四、換元思想
6．解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)＋\f(x－y,3)＝6，,4（x＋y）－5（x－y）＝2.))
【類型】五、數(shù)形結(jié)合思想
7．如圖，母親節(jié)那天，很多同學(xué)給媽媽準(zhǔn)備了鮮花和禮盒，從圖中信息可知，買5束鮮花和5個(gè)禮盒共需多少元？
【類型】六、分類組合思想
8．若方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4x－y＝5，,ax＋by＝－1))與eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋y＝9，,3ax－4by＝18))有公共解，求a，b的值．
技巧3：二元一次方程(組)的解的五種常見應(yīng)用
【類型】一、已知方程(組)的解求字母的值
1．若關(guān)于x，y的方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝m，,x＋my＝n))的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))則|m－n|的值為( )
A．1 B．3 C．5 D．2
2．已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝2))是關(guān)于x，y的二元一次方程2ax－by＝2的兩組解，求a，b的值．
【類型】二、已知二元一次方程組與二元一次方程同解求字母的值
3．已知關(guān)于x，y的方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝3m，,x－y＝9m))的解也是方程3x＋2y＝17的解，求m的值．
【類型】三、已知二元一次方程組的解滿足某一關(guān)系求字母的值
4．已知m，n互為相反數(shù)，關(guān)于x，y的方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx＋ny＝60，,3x－y＝8))的解也互為相反數(shù)，求m，n的值．
【類型】四、已知兩個(gè)二元一次方程組共解求字母的值
5．關(guān)于x，y的方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋5y＝－6，,ax－by＝－4))與eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－5y＝16，,bx＋ay＝－8))有相同的解，求(2a＋b)2 018的值．
【類型】五、已知二元一次方程組的誤解求字母的值
6．在解方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2ax＋y＝5，,2x－by＝13))時(shí)，由于粗心，甲看錯(cuò)了方程組中的a，得解為eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,2)，,y＝－2；))乙看錯(cuò)了方程組中的b，得解為eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－7.))
(1)甲把a(bǔ)錯(cuò)看成了什么？乙把b錯(cuò)看成了什么？
(2)求出原方程組的正解．
【題型講解】
【題型】一、二元一次方程組的有關(guān)概念
例1、若 SKIPIF 1 < 0 是二元一次方程組 SKIPIF 1 < 0 的解，則x＋2y的算術(shù)平方根為（ ）
A．3B．3，－3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，－ SKIPIF 1 < 0
【題型】二、用代入法解二元一次方程組
例2、二元一次方程組 SKIPIF 1 < 0 的解是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【題型】三、用加減法解二元一次方程組
例3、由方程組 SKIPIF 1 < 0 可得出x與y之間的關(guān)系是( )．
A．x＋y＝1B．x＋y＝－1C．x＋y＝7D．x＋y＝－7
【題型】四、用整體消元法解二元一次方程組
例4、若方程組 SKIPIF 1 < 0 的解是 SKIPIF 1 < 0 ，則方程組 SKIPIF 1 < 0 的解是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【題型】五、同解方程組
例5、已知關(guān)于x，y的方程組 SKIPIF 1 < 0 ，與 SKIPIF 1 < 0 ，有相同的解，則a，b的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【題型】六、列二元一次方程組
例6、《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，紙書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車：若每輛車乘坐2人，則有9人步行，問人與車各多少？設(shè)有x人，y輛車，可列方程組為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二元一次方程組（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）
一、單選題
1．（2022·廣東·深圳外國語學(xué)校模擬預(yù)測）“綠水青山就是金山銀山”，某地準(zhǔn)備購買一些松樹和柏樹綠化荒山，已知購買2棵松樹和3棵柏樹需要120元，購買2棵松樹比1棵柏樹多20元，設(shè)每棵松樹x元，每棵柏樹y元，則列出的方程組正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·天津河北·一模）方程組 SKIPIF 1 < 0 的解是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·天津紅橋·三模）方程組 SKIPIF 1 < 0 的解是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·上海楊浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·山東威海·一模）已知關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的二元一次方程組 SKIPIF 1 < 0 的解為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空題
6．（2022·湖南婁底·二模）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣道題：一支竿子一條索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托．如果一托為5尺，那么索長與竿子長之和為______尺．
7．（2022·江蘇無錫·二模）已知方程組 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為______．
三、解答題
8．（2022·廣東·廣州市第一二三中學(xué)模擬預(yù)測）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程組 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，采用了一種“整體代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
將③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程組的解為 SKIPIF 1 < 0
請你模仿小軍的“整體代入”法解方程組，解方程 SKIPIF 1 < 0 ．
二元一次方程組（提升測評）
一、單選題
1．（2022·廣東·江門市新會(huì)東方紅中學(xué)模擬預(yù)測）若最簡二次根式 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 能合并，則a、b的值分別是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
2．（2022·福建·平潭翰英中學(xué)一模）已知 SKIPIF 1 < 0 是二元一次方程組的解，則 SKIPIF 1 < 0 的立方根為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022··二模）我們知道二元一次方程組 SKIPIF 1 < 0 的解是 SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)給出另一個(gè)二元一次方程組 SKIPIF 1 < 0 ，它的解是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·福建寧德·二模）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有二人共車九人步；三人共車，二車空．問：人與車各幾何？譯文：若每輛車都坐2人，則9需要步行：若每輛車都坐3人，則兩輛車是空的，問：車與人各多少？設(shè)有x輛車，y人，根據(jù)題意，列方程組是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·廣東·揭陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）如果關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方程組 SKIPIF 1 < 0 的解是整數(shù)，那么整數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
二、填空題
6．（2022·江蘇南通·二模）我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，原文：今有人盜庫絹，不知所失幾何．但聞草中分絹，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．問人、絹各幾何？注釋：（娟）紡織品的統(tǒng)稱；（人得）每人分得；（匹）量詞，用于紡織品等，（盈）：剩下．若設(shè)賊有x人，庫絹有y匹，則可列方程組為______．
三、解答題
7．（2022·廣東·華南師大附中三模）解下列方程組：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ；
(4) SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2022·浙江溫州·二模）為促進(jìn)學(xué)生體育活動(dòng)，學(xué)校計(jì)劃采購一批球類器材，當(dāng)每班購進(jìn)5個(gè)排球和6個(gè)籃球時(shí)花費(fèi)360元；購進(jìn)10個(gè)排球和2個(gè)籃球時(shí)花費(fèi)270元．
(1)求排球和籃球的單價(jià)．
(2)為擴(kuò)充器材室儲(chǔ)備，現(xiàn)還需購買120個(gè)排球和籃球，其中排球的數(shù)量不少于籃球數(shù)量的 SKIPIF 1 < 0 ，如何購買總費(fèi)用最少．
(3)經(jīng)調(diào)查，為滿足不同學(xué)生的需要，學(xué)校準(zhǔn)備新增購進(jìn)進(jìn)價(jià)為每個(gè)60元的足球，籃球和排球的仍按需購進(jìn)，進(jìn)價(jià)不變，排球是籃球的4倍，共花費(fèi)9000元，則學(xué)校至少可以購進(jìn)多少個(gè)球類器材？二
元
一
次
方
程
組
定義
(1)概念：具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組．
(2)一般形式：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＝c1，,a2x＋b2y＝c2))(a1，a2，b1，b2均不為零)．
(3)二元一次方程組的解
一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．
解法
代入法解二元一次方程組的一般步驟：
從方程組中任選一個(gè)方程,將方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來;
將這個(gè)代數(shù)式代入另一個(gè)方程,消去一個(gè)未知數(shù),得到含有一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程;
解這個(gè)一元一次方程,求出一個(gè)未知數(shù)的值;
d. 將所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組的任一方程中,求出另一個(gè)未知數(shù)的值,從而得到方程組的解.
加減法解二元一次方程組的一般步驟:
a. 方程組的兩個(gè)方程中,如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)又不相等,就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊,使 它們中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù);
b. 把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加,消去一個(gè)未知數(shù),得到一個(gè)一元一次方程;
c. 解這個(gè)一元一次方程;
d. 將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中,求出另一個(gè)未知數(shù),從而得到方程組的解.
常見
運(yùn)用
題型
解應(yīng)用題的步驟：①審清題意;②找等量關(guān)系;③設(shè)未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗(yàn)根;⑦作答.
工作(或工程)問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間
利息問題：利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金+利息
行程問題：路程=速度×?xí)r間;其中,相遇問題:s甲+s乙=s總;
追及問題：(同地異時(shí))前者走的路程=追者走的路程;(異地同時(shí))前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程
利潤問題：利潤=賣價(jià)-進(jìn)價(jià)；利潤率= SKIPIF 1 < 0 ×100%.
數(shù)字問題：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=100×百位數(shù)字+10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字

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中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納與分層練習(xí)專題15 圖形的初步認(rèn)識（2份，原卷版+解析版）

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中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納與分層練習(xí)專題14 反比例函數(shù)（2份，原卷版+解析版）

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中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納與分層練習(xí)專題01 有理數(shù)（2份，原卷版+解析版）

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